2026届上海大同中学高三下学期数学摸底考试卷（含答案）

大同中学2025-2026学年第二学期高三年级数学摸底考2026.3一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1.关于的不等式的解集为______．2.抛物线的焦点到准线的距离是______．3.已知球的体积为，则球的表面积为______．4.已知扇形的圆心角为，面积为3，则扇形弧长为______．5.样本数据：，，，，，，，，，的75百分位数为______．6.有4名护士和2名医生站在一排，两名医生相邻，则不同的排法总数为______．7.已知数列通项公式，则数列的前9项和为______．8.若函数为奇函数，则函数，的值域为______．9.已知向量，，若与的夹角不超过，则的范围是______．10.如图，已知函数的图象是圆心在原点的单位圆的两段弧，则不等式的解集为______．11.如图，正方体绕直线旋转，直线旋转至直线，则直线与直线所成角的大小为______．12.若函数的定义域内存在区间，且，则称函数具有“性质”．下列说法正确的有______，①具有“性质”的一次函数存在且有无数个②具有“性质”的二次函数存在且有无数个③存在，使函数具有“性质”④对任意，函数都具有“性质”二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项、考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.“”是“不等式在上恒成立”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件14.已知复数，的模长为1，且，则（）A. B.1 C. D.15.已知点，，在曲线上，记，则存在函数，对曲线上任意一点都有（）A. B. C. D.16.已知圆锥曲线的对称中心为原点，若对于上的任意一点，均存在上两点，，使得原点到直线，和的距离都相等，则称曲线为“完美曲线”．现有如下两个命题：①任意椭圆都是“完美曲线”；②存在双曲线是“完美曲线”．下列判断正确的是（）A.①是真命题，②是假命题 B.①是假命题，②是真命题C.①②都是真命题 D.①②都是假命题三、解答题（本大题共有5题，满分78分）．17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，将直角三角形绕直角边所在直线旋转一周形成圆锥．已知圆锥的底面半径为3cm，圆锥的侧面积．设、是底面圆周上的两点，线段不经过点．（1）求圆锥的体积；（2）二面角的大小为，求直线与平面所成角的大小．18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数，其中．（1）解关于的不等式；（2）若存在唯一的实数，使得，，依次成等差数列，求实数的取值范围.19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）某公司生产的糖果每包标识“净含量500g”，但公司承认实际的净含量存在误差．已知每包糖果的实际净含量（单位：g）服从正态分布．（1）随机抽取一包该公司生产的糖果，求其净含量误差超过5g的概率（精确到0.001）；（2）随机抽取3包该公司生产的糖果，记其中净含量小于497.5g的包数为．求的分布和期望（精确到0.001）．参考数据：，，，其中为标准正态分布函数．20.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知椭圆的方程为，右顶点为，上顶点为，椭圆的中心位于坐标原点，两个椭圆的离心率相等．（1）若椭圆的方程是，焦点在轴上，求的值；（2）设椭圆的焦点在轴上，直线与相交于点、，若，求的标准方程；（3）设椭圆的焦点在轴上，点在上，点在上．若存在是等腰直角三角形，且，求的长轴的取值范围．21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）．已知函数，其中，．若点在函数的图像上，且经过点的切线与函数图像的另一个交点为点，则称点为点的一个“上位点”，现有函数图像上的点列，，，，，使得对任意正整数，点都是点的一个“上位点”．（1）若，请判断原点是否存在“上位点”，并说明理由；（2）若点的坐标为，请分别求出点、的坐标；（3）若的坐标为，记点到直线的距离为，问是否存在实数和正整数，使得无穷数列、、、严格减？若存在，求出实数的所有可能值；若不存在，请说明理由．

参考答案一、填空题1.;2.;3.;4.;5.;6.;7.;8.;9.;10.；11.12.①②③11.如图，正方体绕直线旋转，直线旋转至直线，则直线与直线所成角的大小为______．【答案】【解析】根据题意，将绕直线旋转得到，则（或其补角）就是直线与的所成角，如图.

在正方体中，.设，在Rt中，，可得，所以．

在中，，所以是等边三角形，可得．

在中，由余弦定理得，所以．

故答案为．12.若函数的定义域内存在区间，且，则称函数具有“性质”．下列说法正确的有______，①具有“性质”的一次函数存在且有无数个②具有“性质”的二次函数存在且有无数个③存在，使函数具有“性质”④对任意，函数都具有“性质”【答案】①②③【解析】假设具有＂性质＂的一次函数存在，设为，

由，可得，

即有方程有两个不等的实根，可得，而这样的有无数个，

则具有＂性质＂的一次函数存在且有无数个，故①正确；假设具有＂性质＂的二次函数存在，设为由，可得，

即有方程有两个大于1且不等的实根，可得，且，解得而这样的有无数个，则具有＂性质＂的而次函数存在且有无数个，故②正确；

假设存在，使函数具有＂性质，即有在递增，可得，

首先考虑与相切于点，即有，且，解得，可得，方程有两个不等的正根，故③正确；

由于与在有一个解，只要考虑与相切于点，即有2，且，解得，可得时，方程只有一个小于0的根，故④错误．故答案为①②③.二、选择题13.A14.B15.D16.A16.已知圆锥曲线的对称中心为原点，若对于上的任意一点，均存在上两点，，使得原点到直线，和的距离都相等，则称曲线为“完美曲线”．现有如下两个命题：①任意椭圆都是“完美曲线”；②存在双曲线是“完美曲线”．下列判断正确的是（）A.①是真命题，②是假命题 B.①是假命题，②是真命题C.①②都是真命题 D.①②都是假命题【答案】A【解析】命题①：如图1，过椭圆上任意一点作以原点为圆心的圆的切线，分别交过圆于两点，连接．根据直线与圆的位置关系，当与圆相切时，满足给定条件．

当与圆相交时，因为圆的圆心是固定的原点，我们可以通过缩小圆的半径，使得圆逐渐靠近，直到与圆相切；同理，当与圆相离时，扩大圆的半径，也能使圆靠近直至相切．所以从直线与圆位置关系的动态调整角度可知，一定能找到合适的圆半径使得与圆相切，故①正确．命题②：如图2，当在双曲线顶点时，过作圆的切线，交双曲线于另外两点．

由双曲线的性质可知，双曲线在顶点附近的形状特点决定了，过顶点作圆的切线与双曲线相交得到的线段，其整体位置与以原点为圆心的圆是相离的.这是因为双曲线的渐近线性质以及顶点处的曲线走向，使得从顶点出发的切线与双曲线相交形成的线段不会与圆相切，所以②不正确．故选A.三、解答题17.（1）（2）18.（1）（2）19.（1）（2）分布列，期望如下，20.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知椭圆的方程为，右顶点为，上顶点为，椭圆的中心位于坐标原点，两个椭圆的离心率相等．（1）若椭圆的方程是，焦点在轴上，求的值；（2）设椭圆的焦点在轴上，直线与相交于点、，若，求的标准方程；（3）设椭圆的焦点在轴上，点在上，点在上．若存在是等腰直角三角形，且，求的长轴的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）由题知，与圆的离心率为，与圆的离心率为，

则，解得．

（2）由题知，，所以，直线的方程为．

设的方程为，，联立直线与与圆的方程得，，可得．由韦达定理可得，故，解得．所以的标准方程为．

（3）由题意，设的方程为，

由题意，且，任取上一点（不与点重合），则设，则，直线的方程为，故，

代人得由，解得，

由对称性，不妨设，代表直线方程可解得，

而点位于上，所以.

因为为上任意一点，所以为定值，化简得．

设为上任意一点，即有解．

整理得，，解得，所以．故的长轴长．21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）．已知函数，其中，．若点在函数的图像上，且经过点的切线与函数图像的另一个交点为点，则称点为点的一个“上位点”，现有函数图像上的点列，，，，，使得对任意正整数，点都是点的一个“上位点”．（1）若，请判断原点是否存在“上位点”，并说明理由；（2）若点的坐标为，请分别求出点、的坐标；（3）若的坐标为，记点到直线的距离为，问是否存在实数和正整数，使得无穷数列、、、严格减？若存在，求出实数的所有可能值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）不存在，理由见解析（2），，－（3）存在，【解析】（1）时，，所以，,所以函数过点的切线方程为，其与函数图像无其他交点，所以原点不存在＂上位点＂．

（2）设点的横坐标为为正整数，

则函数图像在点处的切线方程为

代入其＂