离散型随机变量及其分布列课件2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

第七章随机变量及其分布7.2离散型随机变量及其分布列(1)学习目标1.理解随机变量及离散型随机变量的含义.2.了解随机变量与函数的区别与联系.3.掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质.4.理解两点分布.摸球抽奖小实验——用数据刻画随机结果思考多少种获奖可能？每一种获奖结果概率是多少？有没有不获奖的情况？不透明袋子里装有3个红球、2个白球，这些球除颜色外完全相同规定：从中一次性随机摸出2个球，包含有红球就能获得奖励，红球越多奖励越丰厚摸球抽奖小实验——用数据刻画随机结果追问1、在这个摸球试验里，可能出现哪些结果？2、这些结果能不能用一个数字变量来表示？这就需要用到本节课要学习的知识离散型随机变量及其分布列

5、你最关心什么？知识回顾1.“随机试验”的概念一般地，一个试验如果满足下列条件：①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果;这种试验就是一个随机试验，为了方便起见，也简称试验.一般地,设A,B是非空的数集,如果使对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作：

随机试验的样本空间与实数集之间能否建立某种对应关系呢？问题提出求随机事件的概率时,我们往往需要为随机试验建立样本空间,并会涉及样本点和随机事件的表示问题,类似函数在数集与数集之间建立对应关系,如果我们在随机试验的样本空间与实数集之间建立某种对应,将不仅可以为一些随机事件的表示带来方便,而且能更好地利用数学工具研究随机试验.探究有些随机试验的样本空间与数值有关系,我们可以直接与实数建立关系.比如掷一枚骰子用实数𝑚(𝑚=1,2,3,4,5,6)表示“掷出的点数为𝑚”，请再一些例子.探究有些随机试验的样本空间与数值没有直接关系,可以根据问题的需要为每个样本点指定一个数值.

要求请再举一些例子类似地,掷一枚硬币,可将试验结果“正面朝上”用1表示,“反面朝上”用0表示随机调查学生的体育综合测试成绩,可将等级成绩优、良、中等、及格、不及格分别赋值5.4.3.2.1;等等,总结由上述例子可以得到：对于任何一个随机试验,总可以把它的每个样本点与一个实数对应。即通过引入一个取值依赖于样本点的变量X,来刻画样本点和实数的对应关系,实现样本点的数量化.因为在随机试验中样本点的出现具有随机性,所以变量X的取值也具有随机性。探究以下随机试验样本空间是什么？各个样本点与变量的值是如何对应的?试验1：从100个电子元件(至少含3个以上次品)中随机抽取三个进行检验，

变量

X

表示三个元件中的次品数；分析对于试验1:从100个电子元件(至少含3个以上次品)中随机抽取三个进行试验，变量

X表示三个元件中次品数;如果用0表示“元件为合格品”,1表示“元件为次品”,用0和1构成的长度为3的字符串表示样本点,则样本空间：Ω1={000

,

001

,

010

,

100

,

011

,

101

,

110

,

111},各样本点与变量X的值的对应关系如右图所示.探究以下随机试验样本空间是什么？各个样本点与变量的值是如何对应的?试验2：抛掷一枚硬币直到出现正面为止，变量

Y

表示需要的抛掷次数．分析对于试验2，如果用h表示“正面朝上”，t表示“反面朝上”，例如用tth表示第3次才出现“正面朝上”，则样本空间Ω2＝{h,th,tth,tth,‧‧‧}.

Ω2包含无穷多个样本点.各样本点与变量

Y的值的

对应关系如下图所示：思考以上两个随机试验，变量X，Y

有哪些共同的特征(1)每一个样本点都有唯一的一个实数与之对应；(2)取值依赖于样本点；(3)所有可能取值是明确的.定义

试验1中，随机变量的可能取值为0，1，2，3，共有4个值；

试验2中，随机变量的可能取值为1，2，3，…，有无限个取值，

但可以一一列举出来．定义可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量,我们称为离散型随机变量.通常用大写英文字母表示随机变量，例如X,Y,Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，例如x,y,z.小知识：随机变量的概念是俄国数学家切比雪夫（也翻译为契贝晓夫）（Chebyshev，1821-1894）在19世纪中叶建立和提倡使用的．典例分析下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量？并说明理由．(1)上海国际机场候机室中2018年10月1日的旅客数量；(2)2019年某天济南至北京的D36次列车到北京站的时间；(3)2019年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数；(4)体积为1000cm3的球的半径长．【解】(1)候机室中的旅客数量可能是：0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．(2)D36次济南至北京的列车，到达终点的时间每次都是随机的，可能提前，可能准时，亦可能晚点，故是随机变量．(3)在2019年5月1日到10月1日期间，所查酒驾的人数是随机变化的，也可能多，也可能少，因此是随机变量．(4)体积为1000cm3的球的半径长为定值，故不是随机变量．4.随机变量与函数的关系(1)相同点(2)不相同点

所谓随机变量，即是随机试验的试验结果和实数之间的一个对应关系，这种对应关系是人为建立起来的，但又是客观存在的这与函数概念的本质是一样的，只不过在函数概念中，函数f(x)的自变量x是实数，而在随机变量的概念中，随机变量X的自变量是试验结果,不一定是实数5.连续型随机变量

连续型随机变量是指可以取某一区间的一切值的随机变量,又称作连续型随机变量

知识概念你能总结随机变量X的特点吗？(1)可以用数量来表示;(2)试验前可以判断其可能出现的所有值;(3)在试验前不能确定取何值.判断下列是离散型随机变量还是连续型随机变量并写出下列各随机变量可能的取值，并说明随机变量所取值所表示的随机试验的结果：巩固练习（1）从10张已编号的卡片（从1号到10号）中任取1张，被取出的卡片的号数X.（2）一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球数X．（3）抛掷两个骰子，所得点数之和X．（4）接连不断地射击，首次命中目标需要的射击次数X

．

（5）某一自动装置无故障运转的时间X．（6）某林场树木最高达30米，此林场树木的高度X

．离散型连续型（X

＝1、2、3、···、10）（X＝0、1、2、3）（X＝2、3、4、···、12）（X＝1、2、3、···、n、···）（X取内的一切值）（X取内的一切值）离散型随机变量可能取的值为有限个或者说能将它的可取值按一定次序一一列出，而连续型随机变量可取某一区间的一切值，无法对其中的值一一列举．随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用大写英文字母X,Y,Z…表示。1、随机变量定义2、随机变量的分类①离散型随机变量:X的取值可一、一列出②连续型随机变量:X可以取某个区间内的一切值课堂小结——你学到了那些新知识呢？3.随机变量与函数的关系(1)相同点(2)不相同点

第七章随机变量及其分布7.2离散型随机变量及其分布列(2)学习目标1．理解取有限值的离散型随机变量的分布列及两点分布的概念及表示．2．掌握离散型随机变量的分布列的性质．3．会求某些简单的离散型随机变量的分布列(含两点分布)．思考:抛掷一枚骰子,所得的点数X有哪些值？取每个值的概率是多少？

新知探究X可能的取值有1,2,3,4,5,6列成表的形式X126543该表不仅列出了随机变量X的所有取值而且列出了X的每一个取值的概率．离散型随机变量的分布列及其性质1.概念:一般地,设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…,xn,我们称X取每一个值xi的概率P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n为X的概率分布列,简称分布列.2.表示:离散型随机变量的分布列可以用

或

表示.

表格图形解析式法：P（X=xi）=pi,i=1,2,3…,n表格法：Xx1x2…xk…xnPp1p2…pk…pn图象法:知识概念知识概念3.性质①pi

0,i=1,2,…,n;

②p1+p2+…+pn=

.

4.两点分布若随机变量X的分布列具有上表的形式,则称X服从两点分布或0-1分布,并称p=

为成功概率.

X01P

≥11-ppP(X=1)定义我们称

X服从两点分布（two-pointdistribution）或0-1分布．实际上，X为在一次试验中成功（事件A发生）的次数（0或1）．举例购买的彩券是否中奖，新生婴儿的性别，投篮是否命中等X01P0.950.05典例分析例1：一批产品中次品率为5%，随机抽取1件，定义求

X的分布列．解析2.某项试验的成功率是失败率的2倍,用随机变量X描述一次试验的成功次数,则P(X=0)等于(

)答案:B巩固练习例2.某学校高二年级有200名学生,他们的体育综合测试成绩分5个等级,每个等级对应的分数和人数如下表所示.从这200名学生中任意选取1人,求所选同学分数𝑋的分布列以及𝑃(𝑋≥4).等级不及格及格中等良好优秀分数12345人数2050604030

X12345P

典例分析典例分析

例3.一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌3台,B品牌7台.如果从中随机挑选2台，求这2台电脑中A品牌台数的分布列.解：设挑选的2台电脑中𝐴品牌的台数为𝑋,则𝑋的可能取值为0,1,2.根据古典概型的知识，可得𝑋的分布列

X012P超几何分布巩固练习.一袋中装有5只球,编号为1,2,3,4,5,在袋中同时取3只,以ξ表示取出的3只球中的最大号码,写出随机变量ξ的分布列.巩固练习

上表称为离散型随机变量𝑋的概率分布列,简称为𝑋的分布列.有时为了表达简单,也用等式𝑃(𝑋=𝑥𝑖

)=𝑝𝑖,𝑖=1,2,⋅⋅⋅,𝑛 表示𝑋的分布列.求分布列的步骤:(1)找出随机变量X的所有可能的取值(2)求出各取值的概率P(X=xi)=Pi(3)列成表格.课堂小结——你学到了那些新知识呢？离散型随机变量及其分布列课堂小结——你学到了那些新知识呢？课后作业作业1：完成教材：第60页练习1，2，3，4；作业2：配套辅导资料对应的《离散型随机变量及其分布列》.

解ABD解D解C解解(练习第60页)

1．举出两个离散型随机变量的例子．解：(1)抛掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的次数；(2)某公共汽车站1分钟内等车的人数．2．下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示？若能，请写出各随机变量可能的取值，并说明这些值所表示的随机试验的结果．(1)抛掷2枚骰子，所得点数之和；解：(1)抛掷两枚骰子所得点数之和，能用离散型随机变量表示，各随机变量可能的取值分别为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12．2表示抛掷两枚骰子得到的结果为11；3表示抛掷两枚骰子得到的结果为12；21；4表示抛掷两枚骰子得到的结果为13；22；31；5表示抛掷两枚骰子得到的结果为14；23；32；41；6表示抛掷两枚骰子得到的结果为15；51；24；42；33；2．下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示？若能，请写出各随机变量可能的取值，并说明这些值所表示的随机试验的结果．(1)抛掷2枚骰子，所得点数之和；7表示抛掷两枚骰子得到的结果为16；61；25；52；34；43；8表示抛掷两枚骰子得到的结果为26；62；35；53；44；9表示抛掷两枚骰子得到的结果为36；63；45；54；10表示抛掷两枚骰子得到的结果为46；64；55；11表示抛掷两枚骰子得到的结果为56；65；12表示抛掷两枚骰子得到的结果为66．解：2．下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示？若能，请写出各随机变量可能的取值，并说明这些值所表示的随机试验的结果．(2)某足球队在5次点球中射进的球数；(2)某足球队在5次点球中射进的球数能