2026年四川省达州市某中学自主招生数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026年四川省达州市某中学自主招生数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.-|-2025|的相反数是（）A.-2025 B. C. D.20252.汉字作为中华优秀传统文化的根脉和重要载体，在发展过程中演变出多种字体，给人以美的享受.下面是“遂宁之美”四个字的篆书，能看作是轴对称图形的是（）A. B. C. D.3.下列计算正确的是（）A.（3x）2=9x2 B.5x•2x=10x C.x6÷x2=x3 D.（x-2）2=x2-44.如图，一横一竖两块砖头放置于水平地面，其主视图为（）A.

B.

C.

D.5.统计数据显示，截至2025年3月15日电影《哪吒2》全球票房（含预售及海外）超150亿元，位列全球影史票房榜第五位.将数据150亿用科学记数法表示为（）A.150×108 B.15×109 C.1.5×1010 D.1.5×10116.如果关于x的分式方程+=2无解，那么实数m的值是（）A.m=1 B.m=-1 C.m=1或m=-1 D.m≠1且m≠-17.如图，在反比例函数y=-的图象上有一动点A，连接AO并延长交图象的另一支于点B，在第一象限内有一点C，满足AC=BC，当点A运动时，点C始终在函数y=的图象上运动．若tan∠CAB=2，则k的值为（）A.2

B.4

C.6

D.8

8.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的对称轴是直线x=1，且抛物线与x轴的一个交点坐标是（4，0），与y轴交点坐标是（0，m）且2＜m＜3.有下列结论：

①abc＜0；②9a-3b+c＞0；③；④关于x的一元二次方程ax2+（b-1）x+c-2=0必有两个不相等实根；⑤若点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在抛物线y=ax2+bx+c上，且n＜x1＜n+1＜x2＜n+2＜x3＜n+3，当y1＜y3＜y2时，则n的取值范围为.

其中正确的有（）A.2个 B.3个 C.4个 D.5个二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分。9.分解因式：a2-a=

．10.若代数式有意义，则实数x的取值范围是

.11.袋子中装有4个黑球2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同．在看不到球的条件下，随机地从这个袋子中摸出一个球，这个球为白球的概率是______．12.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-x-1的图象与反比例函数y=（k≠0）的图象在第二象限内交于点A，与x轴交于点B，点C坐标为（0，3），连接AC，BC，若AC=BC，则实数k的值为

.

13.等腰三角形纸片ABC中，AB=AC，将纸片沿直线l折叠，使点A与点B重合，直线l交AB于点D，交直线AC于点E，连接BE，若AE=5，tan∠AED=，则△BEC的面积为

.14.关于x的方程有实数根，则k的取值范围：

.15.若关于x的一元一次不等式组的解集为x≤4，且关于y的分式方程-=1的解均为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是

.16.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8.点P为边AC上异于A的一点，以PA，PB为邻边作▱PAQB，则线段PQ的最小值是

.17.已知二次函数y=-x2+x+6及一次函数y=-x+m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示），当直线y=-x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是______．

18.如图，正方形ABCD中，∠EAF=45°，BD分别交AE、AF于M、N，连MF、EF，下列结论：①MN2=BN2+DM2；②C△CEF=2CD；③AM=MF且AM⊥MF；④若E为CD中点，则F为BC三等分点.其中正确的是

.

三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。19.(本小题9分)

（1）计算：；

（2）先化简，再求值：，其中a从-2，-1，2，3中取一个合适的数代入求值.20.(本小题9分)

某校开展“共享阅读•向上人生”的读书活动，为了解学生对四类书籍（A体育类，B科技类，C文学类，D艺术类）的喜爱情况，在全校范围内随机抽取若干名学生进行了问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能在这四类书籍中选择一类），并将数据进行统计和整理，绘制了两幅不完整的统计图，根据图中信息，请回答下列问题：

（1）本次抽取调查的学生共有______人，估计该校2000名学生喜爱“B科技类”书籍的人数约为______人.

（2）请将条形统计图补充完整.

（3）在活动中，甲、乙、丙三名学生表现优秀，决定从这三名学生中随机选取两名学生参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中甲和乙的概率.21.(本小题9分)

定义：到三角形两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心，如图，若PA=PB，则点P为△ABC的准外心，已知，如图，在△ABC中，∠A为直角，BC=5，AB=3．

（1）若△ABC的一个准外心P在AC边上，试用尺规找出点P的位置（保留痕迹，不写作法）；

（2）求线段PA的长．

22.(本小题9分)

如图，过原点O的直线与反比例函数y=（k≠0）的图象交于A、B两点.一次函数y=mx+b（m≠0）的图象过点A与反比例函数交于另一点C，与x轴交于点M，其中A（-2，1），C（-1，n）.

（1）求一次函数y=mx+b的表达式，并求△AOM的面积；

（2）连结BC，在直线AC上是否存在点D，使以O、A、D为顶点的三角形与△ABC相似.若存在，求出点D坐标；若不存在，请说明理由.23.(本小题9分)

达州某冷饮店夏季热销凉虾和冰粉.凉虾每份售价6元，冰粉每份售价9元.已知某日共售出凉虾和冰粉50份，总收入为360元.

（1）求当天售出凉虾和冰粉各多少份？

（2）为提升利润，店铺调整冰粉售价.调研发现，冰粉售价每上涨1元，销量减少4份.设冰粉售价上涨x元，每份冰粉成本为5元；

①写出销售冰粉的日利润y（元）与x（元）的函数关系式；

②求x的取值范围.

（3）冰粉售价定为多少元时，日利润最大？最大利润是多少元？24.(本小题9分)

某校组织学生进行综合实践活动——测量太阳能路灯电池板的宽度.如图，太阳能电池板宽为AB，点O是AB的中点，OC是灯杆.地面上三点D，E与C在一条直线上，DE=1.5m,EC=5m.该校学生在D处测得电池板边缘点B的仰角为37°，在E处测得电池板边缘点B的仰角为45°.此时点A、B与E在一条直线上.

（1）求观测点E与电池板边缘点B之间的距离；

（2）求太阳能电池板宽AB的长度.（结果精确到0.1m.参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，≈1.41）25.(本小题12分)

在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，且在直线BC的上方.

（1）求抛物线的表达式.

（2）如图1，过点P作PD⊥x轴，交直线BC于点E，若PE=2ED，求点P的坐标.

（3）如图2，连接AC、PC、AP，AP与BC交于点G，过点P作PF∥AC交BC于点F.记△ACG、△PCG、△PGF的面积分别为S1，S2，S3.当取得最大值时，求sin∠BCP的值.26.(本小题12分)

【观察、猜想】

（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，DE⊥CF，则的值为______；

【类比探究】

（2）如图2，在矩形ABCD中，点E，F分别是边DC，BC上的点，连接AE，DF，且AE⊥DF于点G，若AB=10，BC=24，求的值；

【初步应用】

（3）如图3，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H.又AM⊥BN，点M，N分别在边BC，CD上，若，求的值；

【灵活运用】

（4）如图4，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=20，BC=CD=10，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，则的值为______.

1.【答案】D

2.【答案】D

3.【答案】A

4.【答案】D

5.【答案】C

6.【答案】C

7.【答案】D

8.【答案】B

9.【答案】a（a-1）

10.【答案】x＞3且x≠2025

11.【答案】

12.【答案】-6

13.【答案】或

14.【答案】且k≠2

15.【答案】12

16.【答案】4.8

17.【答案】-6＜m＜-2

18.【答案】①②③④

19.【答案】-5

-a-1，当a=3时，原式=-4

20.【答案】解：（1）200，800；

（2）喜爱C文学类的人数为：200-20-80-40=60（人），

将条形统计图补充完整如下：

（3）列表如下：甲乙丙甲（乙，甲）（丙，甲）乙（甲，乙）（丙，乙）丙（甲，丙）（乙，丙）共有6种等可能结果，其中恰好选中甲和乙的结果有2种，

∴恰好选中甲和乙的概率==．

21.【答案】解：（1）如图所示；

（2）∵BC=5，AB=3，

∴AC==4，

①若PB=BC，设PA=x，则x2+32=（4-x）2，

解得：x=，

即PA=，

②若PA=PC，则PA=2；

③若PA=PB，由图知，在△PAB中，不可能，

综上PA=2或．

22.【答案】解：（1）把A（-2，1）代入到中得：，

解得：k=-2，

∴反比例函数解析式为，

在中，当x=-1时，，

∴C（-1，2），

把A（-2，1），C（-1，2）代入到y=mx+b中得：，

解得，

∴一次函数y=mx+b的表达式为y=x+3，

在y=x+3中，当y=x+3=0时，x=-3，

∴M（-3，0），

∴OM=3，

∴；

（2）存在；

∵直线AB经过原点，

∴由反比例函数的对称性可得点B的坐标为B（2，-1），OA=OB，

∵A（-2，1），C（-1，2），

∴，BC=，

​​​​​​​AB=，

∴AC2+BC2=，，

∴AC2+BC2=AB2，

∴∠ACB=90°，

∵BC⊥AC，

∴OA与AC不垂直，

∵△OAD与△ABC相似，

∴只存在△OAD∽△BAC和△OAD∽△CAB这两种情况，

当△OAD∽△BAC时，则，∠ODA=∠BCA=90°，

∴，OD∥BC，

∴此时点D为AC的中点，

∴点D的坐标为，

当△OAD∽△CAB时，则，

，

∴，OD=，

设D（d,d+3），

∴，

解得：d=3，

∴d+3=6，

∴点D的坐标为（3，6）；

综上所述，点D的坐标为或（3，6）．

23.【答案】当天售出凉虾30份，冰粉20份

①y=-4x2+4x+80；②0≤x≤5

冰粉定价为9.5元时，日利润最大，最大利润为81元

24.【答案】观测点E与电池板边缘点B之间的距离为6.3m；

太阳能电池板宽AB的长度约为1.4m．

25.【答案】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），

∴，

解得：，

∴抛物线解析式为y=-x2+2x+3；

（2）∵当x=0时，y=-x2+2x+3=3，

∴C（0，3），

设直线BC的解析式为y=kx+n,

∴，

解得：，

∴直线BC的解析式为y=-x+3，

设P（m,-m2+2m+3），则PD=-m2+2m+3，

∵PD⊥x轴于点D，

∴E（m,-m+3），D（m,0），

∴DE=-m+3，

∴PE=PD-DE=-m2+2m+3-（-m+3）=-m2+3m,

∵PE=2ED，

∴-m2+3m=2（-m+3），

解得m1=2，m2=3（此时B，D重合，不合题意舍去），

∴m=2，

∴P（2，3）；

（3）∵PF∥AC，

∴△ACG∽△PFG，

∴，

∴，，

∴，

作AN∥BC交y轴于N，作PQ∥y轴交BC于Q，

∵直线BC的解析式为y=-x+3，AN∥BC，

∴直线AN的解析式为y=-x+b′，

将A（-1，0）代入y=-x+b′，得：0=-（-1）+b′，

解得：b′=-1，

∴直线AN的解析式为y=-x-1，

当x=0时，yN=-1，

∴N（0，-1），

∴ON=1，CN=ON+CO=4，

∵AN