山东青岛第三十九中2026届高三下学期2月阶段性测试数学试题（含答案）

青岛39中2026届高三阶段性测试数学试题一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合A={x∣0<A.{1,2}B.{2.已知复数z满足z−1z+1A.12C.323.在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,已知角α的终边在第一象限,且cosα=13,将角α的终边按照逆时针方向旋转60∘,得到角βA.1+2C.22+4.若圆x−12+y2=4与抛物线A.12,C.32,5.已知数列an的前n项和为Sn,且Sn+A.65B.105C.210D.2306.已知函数fx=x3+x2+a−1A.0,+∞B.−∞,0C.17.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1,F2,A是C的左顶点，PA.32B.63C.18.若存在a>0,对任意的x∈0,+∞,都有xlnxA.−1eB.e2C.二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.已知实数a,b,c满足A.ab≤bcC.1c−10.已知函数fx=asin2x+bA.fx的最小正周期为B.fx+C.fx在−πD.fx在−π12,11.甲、乙、丙3人进行传球游戏，每次抛一枚均匀的硬币，若正面朝上，则持球者不传球；若反面朝上，则持球者等可能地将球传给其余2人之一.初始时球在甲手中，记第n次抛硬币后球在甲手中的概率为pn,球在乙手中的概率为qn,在前n次抛硬币的过程中3人之间传球的次数为XA.p1=2q1B.三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.若向量a,b满足a+b=a−b，且13.若1+x24=a14.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知数列an的前n项和为Sn,且(1)求an(2)设bn=log2an，记Tn为数列bn16.如图，在四棱锥C−ABB1A1中，底面ABB1A1是正方形，AB⊥AC，点M，(1)证明:MN//平面ACA(2)若AC=2AB，平面ABB1A1⊥平面ABC，求平面17.已知a,b,c分别是△ABC内角A(1)若c=2,a=1(2)若AD=DB,cosB=218.已知双曲线C:x2a2−y(1)求C的方程；(2)记C的右顶点为A，点R在线段AP(不含端点)上运动，垂直于x轴的直线RM交C于点Mx1,y1(M在第一象限),点S满足MR=RS,设直线AS与(i)用x1,y1表示直线AS(ii)证明直线MN过定点.19.已知函数fx=ax+9x(1)求a的值；(2)设l是曲线y=fx的切线，证明:l与直线x=−2,(3)设a1=12,1.A逐一检查集合B中各元素,其中只有1、2满足0<x<32.B复数z满足z−1z+1得z=1+i1−i故选:B3.C因为α是第一象限角,所以sinα>0,所以sinα=所以sinβ故选:C.4.B圆x−12+y2=抛物线C:y2=2px圆x−12+y2则有1−−p2=2,解得p2=1故选:B5.B因为Sn+2=2Sn+1−Sn+4,所以所以an+1−an=4,所以an所以a2所以a故选:B.6.D设函数fx=x3+x2+因为这两点都在函数fx的图象上,所以有y两式相减得:x0整理并化简得:2x03+2因为x0≠0,所以x02令gx=1−x2,所以gx在所以gx又因为x0≠0,所以所以a<故选:D7.D已知椭圆C:x2a2+y2b2=1的左、右焦点为F1−c,0,F2c,0,左顶点A−a,0.因为△又△PF1A为等腰三角形,P若PF1=AF1,则2c=a−若PF1=PA,可得2c=a2+3c2,即若AF1=PA,可得a−化简得2ac=−2c2,因为c>0,所以a因此,椭圆的离心率为13故选:D8.C任意的x∈0,+∞,都有则有b≤xlnx+2a令fx=xlnxf′x=lnx+1−a0<x<ea−1时,x>ea−1时,f′f因此存在a>0,使令ga=2a−ea−1a0<a<1+ln2时ga>1+ln2时g′a有ga所以a=1+ln2时,b故选:C9.BC因为a<b<c,对于A,若b<0,则ab>bc,故对于B,a又ac<0,所以所以0≤a+c2<a−对于C,因为c>b>a,所以−b所以1c−a<1c对于D,当a=−1,b=1故D错误;故选:BC10.ABD对于A:因为函数fx关于直线x=π6对称,所以f由f′x=2acos2x−2bsin所以fx=3bsin2x对于B:因为fx所以fx+5π12是奇函数,对于C:由x∈−π3,π6得2x+π6若b<0,则fx单调递减,对于D:令fx=0,则2x+π由−π12<kπ2−π12<所以k=1,2,3,即fx在故选:ABD.11.ACD初始时球在甲手中,即p0=1,q0=0,第一次抛硬币:若正面朝上若反面朝上(概率为12)，球传给乙或丙，各占12，所以q1=12×12=14第n次抛硬币后,球在甲手中的概率为pn其中rn−1表示球在丙手中的概率,且由对称性知qn=rn,则因pn−1+qn−1p同理qn=12qn−1+又由pn=14pn−1+14可得pn−1则pn−13=16×14n−1,即pn=13+23×14n,同理qn=13−13×14n故选:ACD.12.5因为a+b=a−b,所以两边平方得a2+b2+2a故答案为:513.0由1+x24=则有1+即a0故答案为:014.9π.设圆锥底面半径为r,高为h,则h>过正方体ABCD−A1B1C1D1由题意可得:SO=正方体ABCD−A1B1C1面对角线AC=22,所以由O1C1//ON即2r=h−2所以圆锥的体积V=令Vh=2π3⋅2<h<6时,h>6时,V所以,h=6时,圆锥的体积有最小值故答案为:9π15.(1)当n=1时,当n≥2时,Sa即an所以an是首项为2,公比为2的等比数列,所以a(2)bn=T所以1T所以i=命题得证.16.(1)取AC中点D,连接A1因为D,N为AC所以DN为△ABC所以DN=12AB在正方形ABB1A1中，M为所以A1M//AB所以A1M//DN所以四边形DNMA1所以A1又MN⊄平面ACA1,A所以MN//平面AC(2)由于平面ABB1A1⊥平面ABC,平面ABB1A1∩平面以A为原点，AC,AB,AA1不妨设AB=1,则有设平面BCB1的法向量n1⋅BB1=0n1得n1=设平面AMN的法向量n2n2⋅AM=0n2⋅AN得n2设平面BCB1与平面AMN夹角为则cosθ所以平面BCB1与平面AMN夹角的余弦值为17.13(2)14(1)因为a2所以cosC因为0∘<C<180因为asinA=csin所以sinA=12,又a<c,所以sin105所以S△(2)因为AD=DB，所以D为AB由题设a2+b2−c2=2ab及余弦定理可得sin设∠BCD=α，在△BCD中，有在△ACD中，有DAsin①②相除，得:sin45∘−αsinα所以cosαsinα=4所以∠BCD的正切值为118.(1)由题意可知2a=解得a=故C的方程为x2(2)(i)因为A2,0,P3,52由于Mx1,y1因为MR=RS,所以所以k0(ii)由(i)可知kAN即y1由题意可知,直线MN的斜率显然存在,设直线MN:y=kx+m,联立x5xy1所以m=所以直线MN:所以直线MN过定点2,19.(1)因为函数fx=ax+9x所以fx可得ax+9x+2整理得2ax+4a=4x+8,所以(2)设切线l与曲线y=fx的切点为x0,fx0,因为f′令x=−2,可得y=2x0+14x因为S=所以l与直线x=−2,y=2(3)解法一:令gx=xfx，则g′x=12×1xfx+xf′x因为f′x=−5x+22<因为a1=12>若an=3,由an=2an−与a1=12当an>3时,fangan>g3