热点题型3-4 导数与三角函数的综合（学生版）-2026新高考数学热点题型全解全练

导数与三角函数的综合题型01三角函数型函数单调性的证明解｜题｜策｜略1很多函数问题都是从求其单调性入手，在某个区间(a,b)内，若f'(x)>0，则函数2函数中存在三角函数，要求解不等式f'(x)<0(f'(1（25-26高三上·江苏苏州·开学考试）设函数f(x)=xsinx，若x1，x2∈A．x1<x2 B．x1>2（2025·山东青岛·三模）若α3+cosα-π2+t=0A．1 B．12 C．13 D3（2025·福建·模拟预测）已知函数fx(1)讨论函数fx在区间0,π(2)求函数fx题型02比较含三角函数值的数值大小解｜题｜策｜略1解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个：（1）判断各个数值所在的区间；（2）利用函数的单调性直接解答.2对于类似sin32、8sin18等三角函数值的估值，有时候用到三角函数sinx1（25-26高三上·湖南岳阳·月考）已知a=sin32，b=34A．a>c>b B．b>a>c C．b>c>a D．a>b>c2（25-26高三·湖北荆州·月考）8sin18A．8sin18C．127128>8sin3（25-26高三·山东·开学考试）设a=sin0.2,b=0.2cosA．a<b<c B．a<c<bC．b<a<c D．c<b<a4（2023·北京房山·二模）已知函数f(x)=sin(1)求曲线y=f(x)在x=π(2)当x∈(0,π]时，求函数f(x)(3)证明：sin题型03比较含三角函数的式子大小—直接构造函数法解｜题｜策｜略1解答比较式子大小问题，简单的话直接构造函数，再利用函数单调性比较；2构造函数，最简单的是作差法或作商法得到，若不行结合图形进行见到的变形或放缩.1（25-26高三·北京·期中）若x∈π6,1，a=2x，b=sinx，c=x，则aA．c<a<b B．c<b<a C．b<a<c D．b<c<a2（2023·河北唐山·三模）已知3m=e且a=cosm，b=1-12A．a>b>cB．c>a>bC．c>b>a D．b>a>c3（25-26高三上·江苏扬州·月考）已知函数g(x)=12sinx-x3，若α∈(0,π12)，a=g((sinα)sinA．a>b>c B．a>c>b C．c>a>b D．b>a>c题型04比较含三角函数的式子大小—同构法解｜题｜策｜略1根据题目中给出的不等式判断式子大小，可观察不等式的形式，通过变形做到不等式左右两边是“结构相似”，从而构造函数，再利用函数单调性得到参数关系；2若不等式难以发现那“相似的结构”，有时可能要用到一些常见的同构变形：x+ln⁡x=ln⁡1（24-25高三·广西南宁·开学考试）已知α,β∈-π2,πA．α<β B．a2<β2 C．2（2025·广西·一模）已知α,β∈R，则“α+β>0”是“α+β>cosα-cosβA．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3（2025·山东济南·一模）已知0<α<β<π2，则（A．sinα-sinβ<α-βC．αsinβ<βcos题型05比较含三角函数的式子大小—放缩法解｜题｜策｜略1若在构造函数的过程中，找不到“相似的结构”，但又好像差一点，可以想办法进行适当的放缩；2了解一些常见的不等式，有助于想到放缩：elnx≤3利用数形结合的方法，有时会找到“切线放缩”的方法，了解一些函数的凹凸性有所帮助；1（2023·河北·三模）已知a=1718,b=A．c>b>a B．c>a>bC．d>a>m D．a>d>m2（25-26高三上·湖北·月考）已知α∈0,π6，β∈0,πA．β4<α<βC．α2<β<α D3（2025·全国·模拟预测）已知α∈0,π3，β∈0,πA．β<α<2β B．αC．α4<β<α题型06用求导公式构造函数比较大小解｜题｜策｜略1遇到一些类似f'xcosx2掌握求导公式是基础，若不等式化简成gx>03注意sinx'=cos1（24-25高三·四川广元·月考）已知f'x是函数fx的导函数，且∀x∈A．32fπC．fπ4<2（25-26高三上·陕西西安·月考）已知定义在(0,π2)上的函数f(x)，f'(x)是f(x)A．f(π6)>C．3f(π63（24-25高三·四川阿坝·月考）已知f'x是函数fx的导函数，且∀x∈A．32fπC．fπ4<题型07三角函数型中导数几何意义的应用解｜题｜策｜略函数交点问题或不等式问题，利用数形结合转化为函数图像的相切关系，注意是否能够利用导数的几何意义求解。1（2024·江西上饶·二模）函数f（x）＝k=sin|x|x（k＞0）有且仅有两个不同的零点θ，φ（θA．sinφ＝φcosθ B．sinφ＝－φcosθC．sinθ＝θcosφ D．sinθ＝－θcosφ2（25-26高三·安徽黄山·期中）已知函数f(x)=cosx-kx在(0,+∞)恰有两个不同的零点A．cosβ=βsinβC．cosβ=-βsinβ3（2024·广东·一模）已知函数fx=cosπ2+x,x≤0eA．[0,+∞) B．0,e C．0,1 D．[e,+∞)题型08三角函数极值问题解｜题｜策｜略1若在点x=a附近的左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0,则a称为函数y=f(x)的极小值点，若在点x=b附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，则b称为函数y=f(x)的极大值点，2求函数的极值的方法解方程f'(x)=0，当(1)如果在x0附近的左侧f'(x)>0，右侧f(2)如果在x0附近的左侧f'(x)<0，右侧1（25-26高三·全国·单元测试）设函数f(x)＝xsinx在x＝x0处取得极值，则(1＋x)(1＋cos2x0)的值为()A．1 B．3C．0 D．22（25-26高三上·江苏盐城·月考）已知函数fx=sinωx+acosωx，fπ2A．a=±3 B．a=±1 C．ω=6n-323（24-25高三上·山东济南·月考）已知ω>0，若函数fx=sinωx+π6在A．43,73 B．43,题型09三角函数最值问题解｜题｜策｜略1函数y=f(x(1)求函数y=f((2)将函数y=f(x)2函数的最值问题，本质是单调性问题，其解题思路与函数单调性差不多。1（24-25高三·重庆城口·月考）若函数fx=asinx+13sinA．2 B．1 C．0 D．22（2025·四川宜宾·三模）函数fx=sin2xesin2xA．球O的表面积随x增大而增大 B．球O的体积随x增大而减小C．球O的表面积最小值为4πe2 D．球O3（2025高三·全国·专题练习）已知x,y,θ∈R，若ey-1≤y-x-1ex+1题型10三角函数零点问题解｜题｜策｜略利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由fx=0分离变量得出a=gx，将问题等价转化为直线1（2025·安徽淮南·模拟预测）若α是f(x)=sinx-xcosx在(0,2π)内的一个零点，则对于A．sinxx≥sinαα B．cos2（2025·湖北·三模）已知fx=aex-eA．π2,+∞ B．π2,+∞ C．3（2024·内蒙古赤峰·二模）已知x∈(1)将sinx，cosx，x，(2)令fx=xex+xcosx-2sin题型11三角函数型不等式的证明解｜题｜策｜略1证明三角函数型不等式，最简单的方法是直接构造函数，利用函数单调性证明；2也可以把证明的不等式构造出两个函数，利用函数的最值或凹凸性证明；3放缩法也是常见的方法之一。1（2025·陕西安康·一模）已知函数f(x)=(x+m)⋅e(1)若fx在(-∞,1)(2)当m=-1时，证明：对任意的x∈R，f(x)>cos2（24-25高三上·辽宁丹东·月考）已知函数fx(1)当α=π4时，求fx(2)当α∈0,π4，x∈3（25-26高三上·广西南宁·月考）已知函数fx(1)求曲线y=fx在点0,f(2)若对任意x∈π2,π，(3)若函数gx=-x+lncosx题型12恒成立求参---三角函数型之直接法解｜题｜策｜略恒成立求参数，直接构造含参的函数是思路较为简便的方法，但是要注意计算量与对参数分类讨论是否难度较大等问题。1（2025·山西太原·一模）已知函数f(x)=x-alnx，(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当x∈(0,+∞)时，若f(x)≥cos2（25-26高三上·湖北黄冈·期中）已知函数fx=e(1)求fx(2)若曲线y=fx在x0,fx0(3)若对任意的x∈0,+∞,fx题型13恒成立求参---三角函数型之分离参数法解｜题｜策｜略1恒成立求参问题，分离参数法有其优点，构造的函数不含参数，不存在分类讨论的可能；2但是要注意构造的函数是否会出现计算量较大，或者求不出最值等问题。1（2025高三·全国·专题练习）对于任意的θ∈0,π2，不等式fθ=2（2024·福建龙岩·一模）已知函数f(x)=4|x|+cosπx，对于x∈[0,2]，都有fax-ex+1⩽3A．12e2-1,12e2 B3（25-26高三上·陕西咸阳·月考）(1)讨论函数fx=ex-ax-1(2)当x∈0,+∞时，证明：(3)若对任意x∈0,+∞，都有sinx+cos题型14恒成立求参---三角函数型之放缩法解｜题｜策｜略1恒成立求参数问题，放缩法难度较大，技巧性较强；2一般多要结合图形，利用函数的凹凸性与切线进行放缩；了解一些函数图形有所帮助：3了解常见不等式有所帮助：

elnx≤1（24-25高三上·陕西咸阳·月考）设函数fx=x32+8,gxA．1,172 B．1,6 C．122（24-25高三·上海·开学考试）已知k∈R，存在θ∈R，当x∈0,+∞时，都有cosθx-k+题型15恒成立求参---三角函数型之必要性探路法解｜题｜策｜略往往可以利用题目中第一问的提示，得到参数a的临界值，先证明求a在与临界值有关的一个区间内是能够满足题意，再证明在其范围之外是不成立的。1（25-26高三上·广东湛江·月考）已知函数fx(1)求fx在0,3(2)若对于任意的x∈0,+∞，exf2（2024·全国·模拟预测）已知函数fx=ax-3(1)求证：2tan(2)若fx<sin2x题型16含n三角函数型不等式证明解｜题｜策｜略1对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：①通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；②利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．③根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．2含n的不等式，可利用数学归纳法证明；3含n的不等式，往往会利用到裂项求和或者放缩法等，了解以下公式有所帮助：1n(n+1)=1n-1（24-25高三·吉林延边·月考）下列不等式错误的序号是．①1②3③sin④sin2（25-26高三上·陕西·月考）已知fx(1)求fx(2)证明：sin13（25-26高三上·山东德州·月考）已知函数fx=xln(1)求实数a的取值范围；(2)已知n∈N*，证明：题型17新定义问题解｜题｜策｜略1判断是否符合新定义，只需要严谨根据新定义判断便可，理解新定义中各参数的次序和含义是关键；2利用一些特例，找其共性，有助于理解所给的新定义。1（24-25高三·湖北武汉·期中）我们比较熟悉的网络新词，有“yyds”、“内卷”、“躺平”等，定义方程fx=f'x的实数根x叫做函数fx的“躺平点”．若函数gx=ex+x+2，hx=lnx，φx=2025x2A．a<c<b B．c<a<b C．a<b<c D．c<b<a2（2025·四川·三模）定义二元函数fm,nm,n∈R，且同时满足：①fm,1(1)求fπ(2)当0<m<π时，比较fm,nn∈(3)若x=0为gx=ln附：参考公式：sinαcoscosαcos3（24-25高三·河南信阳·期中）电脑或计算器计算e'，lnx，sinx，cosx等函数的函数值，是通过写入“泰勒展开式”程序或芯片完成的．“泰勒展开式”的内容为：如果函数f(x)在含有x0的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数，且在开区间(a，b）内具有n+1阶导数，则对于闭区间[a,b]上的任意一点x=x0，有f(x)=fx0+f'x01!x-x0+f''x02!x-x02+r(3)x(1)利用麦克劳林公式估算sinl、cos1(2)当x≥0时，比较cosx与1-(3)若x≥slant0,e（建议用时：90分钟）1（2025·河南·二模）已知a=esin1-1，b=A．12<b<1<a B．C．12<b<a<1 D2（2024·四川内江·三模）∀x∈0,1，记a=sinxx，b=sinx2x2，c=A．a>c>b B．b>c>aC．b>a>c D．a>b>c3（25-26高三上·全国·月考）定义在-π2,0上的函数fx，其导函数为f'A．3f-πC．3f-π4