热点题型8-4 平面解析几何中的二级结论、三定义在解题中的应用6大题型（解析版）

平面解析几何中的二级结论、三定义在解题中的应用6大题型目录第一部分考向速递洞察考向，感知前沿第二部分题型归纳梳理题型，突破重难题型01解析几何中的切线方程与切点弦方程题型02第三定义斜率关系题型03中点弦问题题型04焦半径问题题型05焦点弦问题题型06焦点三角形问题第三部分分层突破固本培优，精准提分A组·基础保分练B组·重难提升练1．（解析几何中的切线问题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】圆的方程化为，求出圆心和半径，利用直角三角形求出，结合二倍角公式可得的值．【详解】圆可化为，则圆心，半径为；设，切线为、，则，中，，所以．所以，故选：D2．（解析几何中的切线问题）已知椭圆上任意一点处的切线方程为.过点作椭圆：的两条切线与分别相切于，两点，设为坐标原点，则外接圆的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先设，，根据题意求出直线的方程为，进而再求，，再用待定系数法求出三角形的外接圆方程.【详解】设，，则在点处的切线方程为，点处的切线方程为，由于切线，均过点，则，，故直线的方程为.将直线与联立，消去得，解得，，代入直线的方程为，，，所以得，.设的外接圆方程为，将点代入可得，故，将，代入得，解得，，故的外接圆方程为.故选：A.3．（第三定义斜率关系）已知椭圆的右顶点为A，M，N为椭圆上关于y轴对称的两点（不同于点A），直线AM，AN的斜率之积为，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设，则，，由直线，的斜率之积为，结合椭圆方程求得的关系，即，由和求得椭圆的离心率.【详解】由题可知，，设，则，所以，即．由，得，所以，所以．故选：B．4．（焦半径问题）已知双曲线的右支上的点，满足，分别是双曲线的左右焦点），则为双曲线的半焦距）的取值范围是（

）A．， B．， C．， D．，【答案】B【分析】根据得，，再换元利用函数的单调性求解.【详解】解：由双曲线的第二定义可知，，右支上的点，满足，由，解得，在右支上，可得，可得，即，则，令，，可得而在，单调递减，，，，故选：B5．（焦点弦问题）经过椭圆的左焦点作倾斜角为45°的直线l，直线l与椭圆相交于A，B两点，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求得直线的方程，再与椭圆方程联立，结合韦达定理，利用弦长公式求解.【详解】在中，，，所以，即，故左焦点为，而，故直线的方程为，联立得，，设，，由韦达定理得，，则由弦长公式得．故选：B．6．（焦点三角形问题·多选题）已知是椭圆的焦点三角形，椭圆在点处的切线与直线所成角的大小是，则（

）A．的周长为B．的面积为C．若是上的动点，则D．若是上的动点，则【答案】AD【分析】应用椭圆定义得出周长判断A，应用焦点三角形计算求解判断B，应用两角差正切公式结合不等式判断C，应用点到直线距离计算判断D.【详解】的周长为，A正确；根据椭圆的光学性质，与直线所成角的大小也是，从而，则的面积为，B错误；设在第一象限，则，由得，于是，得，设，当时，，则，当且仅当时取最大角，C错误；由C选项，根据点到直线的距离公式，D正确.故选：AD.01解析几何中的切线方程与切点弦方程7．过点与圆：相切的直线方程为.【答案】【分析】易知点在圆上，根据圆的切线性质进行求解即可.【详解】易知点在圆上，故所求切线与直线垂直，又，所以所求切线斜率，故所求切线方程为，即.故答案为：.8．过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则原点到直线的距离为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先求解四边形的外接圆的方程，再求解直线的方程，即可求解点到直线的距离.【详解】由图可知，，，则四点共圆，圆的直径是，点，，，的中点坐标为，所以四边形的外接圆的方程为，即，圆，两式相减得直线的方程，则原点到直线的距离.故选：A9．已知直线和圆，则“”是“存在唯一k使得直线l与相切”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先由，点到直线距离公式列出方程，求出此时，充分性成立；求出所过定点，再由存在唯一k使得直线l与相切”，得到或定点在圆上，得到方程，求出相应的答案，必要性不成立.【详解】时，到的距离为，故，解得，满足存在唯一k使得直线l与相切”，充分性成立，经过定点，若，，若，此时直线，直线与相切，另一条切线斜率不存在，故满足存在唯一k使得直线l与相切”，当在上，满足存在唯一k使得直线l与相切，故，又，解得，必要性不成立，故“”是“存在唯一k使得直线l与相切”的充分不必要条件.故选：A10．过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用直线与圆的位置关系，结合切线的性质及二倍角公式计算即可.【详解】设，圆的圆心为，半径，两切点为，如下图所示，则，易知，，即.故选：B11．过圆外一点P引该圆的两条切线PA、PB，经过两个切点A、B的直线经过定点，且的面积为，则点P的坐标为.【答案】【分析】设，求出以为直径的圆的方程，已知圆相减得直线AB的方程，根据直线经过定点可求出，结合的面积求出，从而可求P点坐标.【详解】圆，∴圆心为，半径，设点P的坐标为，则以为直径的圆的方程为，将该方程和相减得，即直线的方程为，由题意知直线过点，故，即即直线的方程为，点到直线的距离为，则，又点P到直线的距离为，由于的面积为，故，即，设，则可得，即，即，即，即得或，对于，，即该方程无解，故，即，即，所以点P的坐标为.

故答案为：.02第三定义斜率关系12．双曲线的左、右顶点分别为,点在双曲线上（异于），设直线的斜率为，直线的斜率为，且，则该双曲线的离心率的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据两点斜率公式可得，即可由离心率公式求解.【详解】设，则，,故，故，则.故选：B13．若椭圆的离心率为，左顶点为，点、为上任意两点且关于轴对称，则直线和直线的斜率之积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据椭圆的离心率求出的值，设点，则点，其中，可得出，再利用斜率公式可求出的值.【详解】由题意可知，椭圆的离心率为，故，设点，则点，其中，因为点在椭圆上，所以，可得，易知点，所以，故选：A.多选题14．已知为椭圆的左焦点，直线与椭圆交于A、B两点，轴，垂足为E，BE与椭圆的另一个交点为，则（

）A．点坐标为 B．直线PA的斜率与直线PB的斜率乘积为C．直线BE的斜率为 D．为直角【答案】BCD【分析】对于A，根据椭圆的标准方程求出左焦点坐标；对于B，设出点坐标，根据对称性得出点的坐标，利用椭圆方程和斜率公式计算两直线的斜率之积；对于C，求出点坐标，根据斜率的坐标公式直接求解即可；对于D，通过计算直线的斜率乘积判断即可.【详解】对于A，由题可知，所以，所以点坐标为，故A错误；对于B，设，因为直线过原点，椭圆关于原点对称，所以，又在椭圆上，所以，两式相减得，所以，又，故B正确；对于C，因为轴，所以，所以直线BE的斜率为，故C正确；对于D，由B可知，，又，所以，所以，所以，所以为直角，故D正确；故选：BCD15．已知双曲线上的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为A、B，P为双曲线C上任意一点，判断以下选项正确的是（

）A．若，则或B．的内心I到y轴的距离为2C．当点P不在x轴上时，直线PA与PB的斜率之积为D．点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为【答案】BCD【分析】圆的切线长定理、双曲线的定义、直线斜率公式、点到直线距离公式逐一判断即可.【详解】A：由双曲线的定义可知，因为，所以解得或，由，所以双曲线上的点到右焦点的距离最小值为，所以不成立，故本选项不正确；B：根据双曲线的对称性，不妨设在第一象限，设的内切圆与三边相切的切点分别为，由圆的切线长定理可得：，由双曲线的定义，得，有，即，而，解得，由上可知，所以点重合，显然，所以内心I的横坐标为，故本选项正确；C：设，则有，，直线PA与PB的斜率之积为，所以本选项正确；D：双曲线的渐近线方程为，设，则有，所以点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为：，所以本选项正确，故选：BCD03中点弦问题16．若双曲线的焦距为4，直线与交于两点，且线段的中点为，则直线的斜率为（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】根据焦距为4，求得m的值，利用点差法，结合中点坐标，求得直线的斜率.【详解】由题可知，解得.所以双曲线.若直线的斜率不存在，则由双曲线的对称性知，线段的中点均在轴上，不合题意，所以直线的斜率存在.设，则，整理得.因为线段的中点为，所以.所以.直线的斜率为2.故选：D.17．已知斜率为的直线与椭圆交于A，B两点，线段的中点为.则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设出坐标，利用点差法，结合点的坐标，即可求得参数的取值范围.【详解】设，又点在椭圆上，则，两式相减可得:，所以，又，则，又点在椭圆内，则，则,所以.故选：D.18．过点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，若为线段的中点，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用点差法计算得出，借助离心率公式计算即可.【详解】设，因为为线段的中点，所以，由，两式相减可得：，整理得，即，所以，则，即椭圆的焦点在轴上，即，则，所以.故选：B.19．若椭圆与直线交于点，，点为的中点，直线（为原点）的斜率小于，则椭圆的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】将直线方程与椭圆方程联立，求出点的坐标，结合斜率关系求出离心率范围.【详解】依题意，由，消去得，,，解得，设，则，则点，由直线的斜率小于，得，由，，得，椭圆焦点在轴上，所以椭圆离心率，所以椭圆的离心率的取值范围为.故选：C.20．已知椭圆，且该椭圆的离心率为，直线不过原点且不平行于坐标轴，与椭圆交于两点，线段的中点为．(1)证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值；(2)若直线的方程为，延长线段与椭圆交于点，四边形为平行四边形，求椭圆的方程．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据给定条件利用“点差法”结合斜率的坐标公式计算求解；（2）联立直线与椭圆方程，结合（1）及已知条件求出点坐标，即可求得椭圆方程.【详解】（1）依题意，因为，所以，设，则，两式相减可得，得，即，因为为线段的中点，则，直线的斜率，直线的斜率，于是得是定值，所以直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值．（2）设点的坐标为，由，消去并整理得：，则，又四边形为平行四边形，即线段与线段互相平分，则即点，而点在椭圆上，于是得，解得，所以椭圆的方程为：．21．已知椭圆C：的左焦点为，过点斜率存在且不为0的直线l交椭圆C于A，B两点，M为AB中点，O为坐标原点．(1)若直线OM的斜率为，求直线l的方程；(2)P为椭圆上的点，直线PM与x轴交于点Q，若，求的取值范围．【答案】(1)；(2).【分析】（1）求出的坐标，设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理及给定斜率求出直线方程.（2）由（1）求出点坐标，结合给定条件，求出的横坐标表达式，构造函数，利用导数确定单调性求出范围.【详解】（1）椭圆C：的左焦点为，设直线的方程为，，由消去并整理得，由M为弦AB的中点，得，，由直线OM的斜率为，得，解得，所以直线l的方程为，即.（2）由（1）知，令点关于轴对称点为，直线交椭圆于点，设，由，得，于是，令，则，解得，，令，则，令函数，求导得，而，则，函数在上单调递增，，即，即；令函数，求导得，而，则，函数在上单调递减，，即，即，所以的取值范围是.04焦半径问题22．已知，是椭圆的两个焦点，点M在椭圆C上，当取最大值时，三角形面积为（

）A． B． C．2 D．4【答案】B【分析】根据椭圆的焦半径公式和椭圆中的的范围可求得取最大值时，点在椭圆的短轴上.【详解】设点的坐标为，根据椭圆的焦半径公式可得：则有：根据椭圆的特点，可知：可得：当时，取最大值此时，点在椭圆的短轴上，则有：故选：B23．如图，把椭圆，的长轴分成8等份，过每个分点，作x轴的垂线交椭圆的上半部分于，，，，，，七个点，F是椭圆的一个焦点，则（

）A．25 B．26 C．27 D．28【答案】D【解析】设P点是椭圆上的任意点，根据椭圆的第二定义求出，根据题意可知点为椭圆与轴正半轴的交点且与分别关于y轴对称，设出各点，代入即可求解.【详解】不妨设P点是椭圆上的任意点则由椭圆的第二定义可得：，又a=4,b=,，故，①∵把椭圆的长轴AB分成8等份,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，∴点为椭圆与轴正半轴的交点且与分别关于y轴对称，∴不妨设且，∴，由①可得：，.故选：D.24．已知椭圆和，椭圆的左右焦点分别为、，过椭圆上一点和原点的直线交圆于、两点.若，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设，由椭圆的焦半径公式以及，求出，因为在椭圆上，则，由对称性可得，，代入即可得出答案.【详解】设，椭圆的左、右焦点为，，同理：，∵，∴，即，∵在椭圆上，∴x02a2由圆的相交弦定理及对称性得：.故选：B．25．已知椭圆：的右焦点为，点，为第一象限内椭圆上的两个点，且，，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．2【答案】C【分析】设点，用椭圆的离心率e，半焦距c及a表示出，再由探求出的关系即可作答.【详解】设点，右焦点为，椭圆的离心率为，，，同理，如图，过P，Q分别作x轴的垂线，垂足分别为M，N，因，则，即，，于是得，又，则，即，因此得，即，整理得，而，则，所以椭圆的离心率为.故选：C26．已知椭圆的左焦点为，离心率为．倾斜角为的直线与交于两点，并且满足，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，用弦长公式表示出，用两点间的距离公式结合点在椭圆上的条件表示出，代入题干条件即可求解.【详解】设，则，由，消去，得，注意到，则.于是，同理，.因此.的倾斜角为，∴直线的斜率，根据弦长公式，可得.由，可得，故.．故选：A05焦点弦问题27．过点作倾斜角为的直线l与椭圆交于A、B两点，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】法一：由椭圆的性质，结合直线的参数方程求解即可．法二：由直线与椭圆相交，利用纵坐标与倾斜角来计算长度，也可得到线段之积与纵坐标关系，然后利用韦达定理求解.【详解】法一：设直线的参数方程为，其中t为参数，代入椭圆方程可得：，则，则故选：A.法二：设直线方程为，与椭圆联立方程组，消去得：，整理得：，设交点则有则故选：A.28．已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为6，离心率．过点且倾斜角为的直线与双曲线交于A，B两点，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根据已知条件求出双曲线方程，然后求出直线的方程，联立直线方程与双曲线方程，求得，，再根据弦长公式计算即可求解.【详解】由题意得，，所以，，所以，，，所以双曲线的方程为，因为，直线过点且倾斜角为，则直线的斜率，所以直线l的方程为，与双曲线的方程联立，消去，整理得，解得，，所以．故选：D．29．经过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由椭圆方程求得焦点坐标，从而写出直线方程，联立方程组得一元二次方程，由韦达定理得到两个的和与差，利用交点弦长公式即可求得结果.【详解】，，∴，即，，∴，联立方程组得，整理得，设，，∴，，.故选：A.30．过抛物线E：（）的焦点F作倾斜角为45°的直线l与E交于A，B两点，且A，B两点在y轴上的正射影分别为点D，C.若梯形的面积为，则（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】根据条件设直线l的方程为，与抛物线方程联立利用韦达定理表示梯形面积，解方程可得结果.【详解】由题意得，.∵直线l的倾斜角为45°，∴直线l的斜率为1，∴直线l的方程为，由得，设，则，∴，∴梯形的面积为，解得.故选：B.31．已知抛物线的焦点是，直线均过焦点且互相垂直，则的值是（

）.A． B． C． D．【答案】D【分析】由于所求值为定值，可取特殊位置求解，设出两直线方程，分别代入抛物线方程，根据韦达定理和弦长公式求解和即可.【详解】如图，由于两直线有很好的对称性，故可取特殊位置，该抛物线的焦点，因为直线AB和CD均过焦点且互相垂直，则两直线斜率存在且不等于零，设AB的斜率为，则CD的斜率为，直线AB的方程为，与抛物线联立得：，则，同理可得，因此，故选：D.32．设抛物线的焦点为，过点作直线交抛物线于A，B两点，已知，则（

）A． B．4 C． D．3【答案】A【分析】设出直线方程后，结合韦达定理与抛物线定义计算即可得.【详解】由可知，设，、，联立，则有，故，即，又，，由，则，即有，则，即，则或，又，故，则，则.故选：A.33．设为抛物线的焦点，过且倾斜角为的直线交曲线于两点（在第一象限，在第四象限），为坐标原点，过作的准线的垂线，垂足为，则的值为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据抛物线标准方程确定焦点与准线，再利用直线的倾斜角求出其方程，接着联立直线与抛物线方程，通过代入消元得到关于交点坐标的二次方程，并根据象限位置确定两点的具体坐标，然后运用抛物线的几何性质，将点到焦点的距离转化为到准线的垂线段长度，通过坐标计算两点到原点的距离，最后将两距离相比即得.【详解】由抛物线方程，得焦点，准线方程为，过且倾斜角为的直线斜率为，直线方程为：联立直线与抛物线方程：将代入，得：整理得：解得：，由于点在第四象限，点在第一象限，则，过点作准线的垂线，垂足的坐标为，，，故.故选：D34．抛物线的焦点为F过焦点F且倾斜角为的直线与抛物线相交于A，B两点，若，则抛物线的方程为．【答案】【分析】利用抛物线的焦点弦基于倾斜角的弦长公式即可求解.【详解】，，抛物线的方程为.故答案为：.35．已知倾斜角为的直线l过抛物线的焦点且与抛物线C交于A，B两点，抛物线C的准线与x轴交于点D，设点D到直线l的距离为d，则.【答案】【分析】先求出直线的方程，再联立直线与抛物线方程，利用抛物线的定义求出，再利用点到直线的距离求出即可求解.【详解】由题可得抛物线的焦点,准线方程为：，则,所以直线的方程为：,设,联立，化简可得：,则,所以,点到直线的距离,所以;故答案为：36．已知椭圆的左焦点为F，过F且倾斜角为的直线l交椭圆C于A，B两点，则；若，则．【答案】【分析】求出F坐标，写出直线l的方程，联立直线l方程和椭圆方程，解出A和B的坐标，利用弦长公式或两点间距离公式即可计算，本题也可利用其特殊的几何关系简化计算．【详解】，∵，∴过F且倾斜角为的直线l过椭圆的上顶点，当时，如图：，直线l的方程为，由得，解得，，则，∴，∴，∴．故答案为：；．06焦点三角形问题37．已知为坐标原点，直线过抛物线的焦点，与抛物线及其准线依次交于三点（其中点在之间），若.则的面积是.【答案】/【分析】依题意作出图形，利用抛物线的定义结合图形依次求得与，从而求得直线的方程，联立抛物线方程，利用抛物线焦半径公式与点线距离公式求得与，从而得解.【详解】过点作垂直于准线，垂足为，过点作垂直于准线，垂足为，设准线与轴相交于点，如图，

则，在中，，所以，所以，故在中，，所以，则.又轴，，所以，又抛物线，则，所以，所以抛物线，点.因为，所以直线的斜率，则直线，与抛物线方程联立，消并化简得，易得，设点，则，则，又直线，可化为，则点到直线的距离，所以.故选：B.38．在椭圆上，为焦点三角形，，，则椭圆的离心率＝．【答案】【分析】由已知，在焦点三角形，根据正弦定理可知，然后借助椭圆的定义以及题中给的焦点三角形的两个底角即可直接求解离心率.【详解】由已知，为焦点三角形，由正弦定理可知;，即，所以.故答案为：.39．已知抛物线的焦点为，过作直线交抛物线于两点，过分别作准线的垂线，垂足分别为，若和的面积分别为8和4，则的面积为（

）A．32 B．16 C． D．8【答案】C【分析】设直线代入抛物线方程，利用韦达定理，计算，相乘化简可得，由三角形面积公式可得.【详解】设直线，

代入抛物线方程，消元可得，设，则，，，，于是，即，.故选：C.40．设为抛物线的焦点，的准线与轴交于一点，过的直线与交于、两点．若的面积是的面积的3倍，且，则（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】根据已知条件列出直线方程，直曲联立有：，再根据韦达定理求出，，结合已知条件：的面积是的面积的3倍得出，根据结合抛物线的定义求出即可求解.【详解】由双曲线的对称性，不妨设、分别在第一、四象限，设，其中，．由题意得，直线的斜率存在且不为0，所以设直线的方程为，易知．联立抛物线方程与直线方程，得整理，得，则，．由的面积是的面积的3倍，得，则，所以，，则，所以，解得（负值已舍去），所以．由与抛物线的定义可知，所以．根据的几何意义可知．故选：B．41．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，若的面积是的面积的两倍，则（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】有的面积是的面积的两倍可得，设出直线方程联立曲线，得到相应韦达定理即可计算出、，即可得解.【详解】令为点到直线的距离，则，,由，故，由抛物线定义可知，，，则有，即，设直线方程为，联立抛物线方程，有，，故，，则，则有，故，有，故或（负值舍去），则，故.故选：C.42．设抛物线的焦点为，不经过的直线与交于，两点，与轴交于点，点的纵坐标为，且与的面积之比是，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，得到，得到，求得，结合抛物线的定义，即可求解.【详解】如图所示，因为与的面积比为，可得与的面积比为，所以，则，又因为点的纵坐标为，可得，即，所以，由抛物线的定义，可得.故选：B.43．已知抛物线，过动点作两条相互垂直的直线，分别与抛物线相切于点，则面积的最小值是（

）A．6 B．9 C．12 D．18【答案】B【分析】设直线与抛物线联立方程，建立等式化简计算可得，，同理可得，，有，设直线与抛物线联立方程，建立等式计算可得，而在直线,上，建立等式计算可得，根据三角形面积公式计算即可.【详解】设，因为点作两条相互垂直的直线，分别与抛物线相切于点，所以直线,斜率均存在，故设直线，则，所以，因为，代入化简得，得，所以直线，整理得，设直线，同理可得，所以，即，设直线，，所以，，得，因为抛物线的焦点为，所以设直线恒过抛物线焦点，而在直线,上，所以，即是方程是方程的两实数根，所以，解得，即所以，设到直线的距离为，则，所以，当时，面积的最小为.故选：B【点睛】关键点点睛：本题的关键根据切线方程与抛物线建立等式计算可得，直线与抛物线建立等式可得直线经过抛物线的焦点；在直线,上，得是方程方程的两相异实数根，利用根与系数的关系建立等式求得，最后根据三角形面积公式计算可得.44．已知点是椭圆的上顶点，分别是椭圆左右焦点，直线将三角形分割为面积相等两部分，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由题意，,，，先求出直线y＝ax+b（a＞0）与x轴的交点为，由，可得点M在射线上．再求出直线y＝ax+b（a＞0）和的交点N的坐标，分三种情况讨论：①若点M和点重合，求得；②若点M在点O和点之间，求得；③若点M在点的左侧，求得．求并集即可得b的取值范围．【详解】解：因为点是椭圆的上顶点，分别是椭圆左右焦点，所以，，从而有，所以,，，由题意，三角形的面积为1，设直线y＝ax+b（a＞0）与x轴的交点为，由直线y＝ax+b（a＞0）将三角形分割为面积相等的两部分，可得，所以，故点M在射线上．设直线y＝ax+b和的交点为N，则由可得点N的坐标为．①若点M和点重合，如图：

则点N为线段的中点，故N，把、N两点的坐标代入直线y＝ax+b，求得a＝b．②若点M在点O和点之间，如图：

此时，点N在点和点之间，由题意可得三角形的面积等于，即，即，可得a，求得，故有．③若点M在点的左侧，

则，由点M的横坐标，求得b＞a．设直线y＝ax+b和的交点为P，则由求得点P的坐标为，此时，由题意可得，三角形APN的面积等于，即，即，化简可得．由于此时b＞a＞0，所以．两边开方可得，所以，化简可得，故有．综上，b的取值范围应是.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是，由题意分析得直线y＝ax+b（a＞0）与x轴的交点M在射线上，然后分三种情况进行讨论：①若点M和点重合；②若点M在点O和点之间；③若点M在点的左侧．45．设点P为直线l：上任意一点，过点P作圆O：的切线，切点分别为A，B，则直线AB必过定点（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，设为直线上的一点，由切线的性质得点、在以为直径的圆上，求出该圆的方程，与圆的方程联立可得直线的方程，将其变形分析可得直线恒过的定点.【详解】如图，连接，，根据题意，设为直线上的一点，则，由于为圆的切线，则有，，则点、在以为直径的圆上，以为直径的圆的圆心为，半径，则其方程为，变形可得，联立可得直线AB：，又由，则有AB：，变形可得，则有，解可得，故直线恒过定点.故选：B.46．已知直线交双曲线于点，点，若的重心恰好落在双曲线的左焦点上，则直线的斜率为．【答案】【分析】设，，先由重心坐标公式求出弦的中点坐标，再由，在双曲线上结合点差法和中点坐标公式以及两点斜率公式即可求解.【详解】设，，因为，，由重心坐标公式得，，所以弦的中点坐标为，，即．又，在双曲线上，由题意知直线的斜率存在，则，故，作差得，将中点坐标代入得．故答案为：47．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作一条倾斜角为30°的直线与双曲线C在第一象限交于点M，且，则双曲线C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由双曲线的焦半径公式结合几何图形的性质计算即可【详解】

如图所示，设双曲线实轴长为，则，所以，又M在第一象限，即，故，因为，过M作MD⊥轴于D，，由条件故，即，故，解之得（负值舍去）.故选：A48．已知抛物线的焦点在直线上，过作直线交抛物线于两点，则的最小值为（

）A．36 B．54 C．82 D．108【答案】D【分析】由点在直线上得到的值，从而得到抛物线方程，联立抛物线方程和直线方程，由韦达定理得交点坐标关系，由抛物线定义得到，消元转化成函数求最值问题，求导求得最值.【详解】抛物线焦点，因为点在直线上，所以，解得，所以，设直线的方程为，，，联立得，所以，，，，，，所以，由，得，所以，令，求导得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，故，所以的最小值为108．故选：D.49．已知双曲线，左、右焦点分别为、，过作倾斜角为的直线与双曲线交于两点，则的周长为．【答案】12【分析】由，，可得为，代入双曲线方程中，利用弦长公式求出，再由双曲线的定义即可求解周长.【详解】因为，，所以直线为，设，由，得，则，所以，因为，，所以，所以故答案为：1250．为双曲线上的任意一点，为焦点，若，则三角形的面积为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据双曲线的定义和余弦定理以及三角函数二倍角公式即可求解.【详解】设，，，列，所以．，故选：A．51．在椭圆上，为焦点三角形，如图．

（1）若，则的面积是；（2）若，则椭圆离心率．【答案】/【分析】由焦点三角形面积公式、离心率公式计算即可求解.【详解】（1）由焦点三角形面积公式，得，即．（2）由公式，得．故答案为：，.52．已知抛物线：的焦点为，准线为，过点的直线与交于不同的两点A，B，为坐标原点，直线与交于点M，若，则的面积等于（

）A． B． C． D．2【答案】A【分析】根据以及抛物线定义可得直线的斜率，则可求，以及坐标，即可得点到直线的距离，最后利用面积公式即可.【详解】如图，过点作，直线与轴分别交与点，设，则，因，则，得，则，则，故直线的斜率为，直线的方程为，与联立得，解得，则直线：，，得故点到直线的距离为，故的面积为.故选：A1．过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，，抛物线的准线与x轴交于点C，则的面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用抛物线的定义到焦点的距离等于到准线的距离作出图形，结合图形得到解出从而确定的长度，再利用三角形面积和之间的关系求出即可.【详解】设抛物线的准线为，过作于，过作于点，过作于，设，因为，所以，所以，所以，在中，，所以，因为，所以，又，所以，又由，可得，所以，所以，所以，所以.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用抛物线的定义建立方程，解出.2．经过抛物线的焦点F的直线交C于A，B两点，与抛物线C的准线交于点P，若成等差数列，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据等差中项得到，设直线方程为，联立抛物线方程，借助韦达定理，由焦点弦弦长公式得到，表达出，求出，得到答案.【详解】由题意得，，抛物线的准线方程为，因为过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，且与抛物线的准线相交，所以直线的斜率存在且不为0，设直线方程为，与联立得，设，显然，则，，故，设直线倾斜角为，则，所以，故，解得，故，又，故，解得，故.故选：D【点睛】方法点睛：我们在处理有关焦点弦，以及焦半径问题时长度问题时有以下几种方法；（1）常规处理手段，求交点坐标然后用距离公式，含参的问题不适合；（2）韦达定理结合弦长公式，这是此类问题处理的通法；（3）抛物线定义结合焦点弦公式.3．已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，，垂足为，直线与相交于，两点．若为的三等分点，则下列说法错误的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】过点M作于点，设与交于点，由抛物线的定义可得，再求出的取值，结合正弦定理可求解，再求出和可判断选项.【详解】不妨设抛物线的方程为，则，准线方程为．如图，记为准线与轴的交点，设，则，过作准线的垂线，垂足为，则由抛物线的定义得，选项正确；连接，由抛物线的定义知，又由A项可知，，为正三角形，，在中，由余弦定理得，，选项错误；由二级结论得，，易知，即，从而，则，选项正确；在中，，由余弦定理得，选项正确．故选：B．4．已知抛物线的焦点为，过作直线交抛物线于两点，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据抛物线的焦点坐标求出，设出，坐标，联立直线和抛物线，利用设而不求思想结合基本不等式进行转化求解即可．【详解】如图，设抛物线的焦点坐标为，焦点为，，得，即抛物线方程为，当轴时，易得，，则，则；当不垂直轴时，设斜率为，，，则直线的方程为，，代入可得，即，则，，过分别作准线的垂线，垂足分别为，则，，，则，于是，，当且仅当，即时取等号.综上：因,故的最小值为.故选：C.5．设抛物线的焦点为，过的直线交于两点，过分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，则（

）A．32 B．28 C．20 D．16【答案】A【分析】由题意画出图像，由抛物线的定义，说明是等腰三角形，说明平分，同理平分，从而得出，最后利用勾股定理得到结论.【详解】如图，设抛物线的准线与轴的交点为，由题意结合抛物线的定义可知，所以，又因为，所以，，所以，即是直角三角形，且，显然，所以，故选A.6．设为抛物线的焦点，过且倾斜角为的直线交曲线于两点（在第一象限，在第四象限），为坐标原点，过作的准线的垂线，垂足为，则的值为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据抛物线标准方程确定焦点与准线，再利用直线的倾斜角求出其方程，接着联立直线与抛物线方程，通过代入消元得到关于交点坐标的二次方程，并根据象限位置确定两点的具体坐标，然后运用抛物线的几何性质，将点到焦点的距离转化为到准线的垂线段长度，通过坐标计算两点到原点的距离，最后将两距离相比即得.【详解】由抛物线方程，得焦点，准线方程为，过且倾斜角为的直线斜率为，直线方程为：联立直线与抛物线方程：将代入，得：整理得：解得：，由于点在第四象限，点在第一象限，则，过点作准线的垂线，垂足的坐标为，，，故.故选：D7．已知F为抛物线的焦点，C的准线和轴交于点P，点M在抛物线C上，若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用，结合圆与抛物线的交点得出M点的横坐标，再由抛物线的定义得，又因为，求得即得.【详解】因为C的准线和轴交于点，且．根据题意可得图形，由已知，可知满足，又因为M在抛物线C上，所以，所以，所以，因此，M点的横坐标是，由抛物线的定义知，且，所以，所以．故选：B.8．双曲线:的左顶点为，右焦点为，过点作一条直线与双曲线的右支交于点，连接分别与直线：交于点，则A． B． C． D．【答案】C【详解】由双曲线的方程可知双曲线的焦点坐标为，设过焦点的直线方程为：，P,Q点的坐标为，联立直线方程与双曲线方程可得：，则：，由，可得直线的方程为：，令可得：，即，同理可得：，结合点F的坐标可得：，，则：，其中：据此可得：，故，故.本题选择C选项.9．已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线交双曲线C的左支于P，Q两点，若，且的周长为，则双曲线C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据条件求得，∴，在中，由勾股定理可得关于的等式，进而可求得离心率.【详解】由双曲线定义知，则，，所以，∴的周长为，∴，，由，所以，故，∴，∴，，∴，在中，，故.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是：由得到.10．双曲线左右焦点分别为，，过点直线与双曲线右支交于，两点，弦的中垂线交轴于，若，则该双曲线渐近线方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设直线的方程，与双曲线联立，求AB的中垂线方程，得到P点坐标，利用得到离心率，进而求得渐近线方程.【详解】设直线的方程为，，，联立，判别式，韦达定理，，所以中点纵坐标，横坐标，则中点坐标为，所以AB的中垂线方程为，令得，，即P的坐标为，所以，由弦长公式可知，，将韦达定理代入得，，因为，所以，整理得，，所以，即，所以渐近线方程为.故选：C.11．过双曲线的右焦点的直线与双曲线右支交于两点，弦的垂直平分线交轴于点，若，则该双曲线的离心率（

）A． B． C．2 D．3【答案】C【分析】根据双曲线中点弦的性质，可得，进而可得弦的垂直平分线方程，求得，进而可得，，根据，可得离心率.【详解】设，弦的中点为，离心率为，则，同理.由，两式相减整理得，所以弦的垂直平分线方程为，令，得，则，此时在的右侧，因为，所以，所以，，由，得，所以.故选：C.12．直线与椭圆交于A、B两点（点在第一象限），过点作轴的垂线，垂足为E，AE的中点为，设直线与椭圆的另一交点为，若，则椭圆的离心率为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】设，根据向量数量积运算，三点共线，由点差法即可求解.【详解】设，则，，，，①，三点共线，，②，在椭圆上，，两式相减可得，③将①②代入③可得，，，所以椭圆的离心率.故选：A【点睛】方法点睛：点差法是解决圆锥曲线与直线的关系中常用到的一种方法.当直线与圆锥曲线相交的问题涉及到相交弦的中点或与中点坐标相关的条件时，宜应用点差法求解，即将直线被圆锥曲线截得的弦的两端点坐标代入圆锥曲线方程，得到两个等式，再将两个等式作差，转化得到弦的中点坐标与直线斜率的关系，进而解决问题.在解答圆锥曲线的某些问题时，若果能适时运用点差法，可以达到“设而不求”的目的，同时，还可以降低解题的运算量，优化解题过程.13．若椭圆与直线交于点，，点为的中点，直线（为原点）的斜率小于，则椭圆的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】将直线方程与椭圆方程联立，求出点的坐标，结合斜率关系求出离心率范围.【详解】依题意，由，消去得，,，解得，设，则，则点，由直线的斜率小于，得，由，，得，椭圆焦点在轴上，所以椭圆离心率，所以椭圆的离心率的取值范围为.故选：C.14．已知椭圆的左、右焦点分别为、，若椭圆上恰好有个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】分等腰三角形以为底或一腰两种情况讨论，在第一种情况下，直接确定点为椭圆短轴的端点，在第二种情况下，分析可知，在每个象限内均存在点，使得或，设点在第一象限，结合两点间的距离公式可得出关于、的不等式，即可求出该椭圆离心率的取值范围.【详解】如下图所示：

（1）当点与椭圆短轴的顶点重合时，是以为底边的等腰三角形，此时，有个满足条件的等腰；（2）当构成以为一腰的等腰三角形时，以为底边为例，则或，此时点在第一或第四象限，由对称性可知，在每个象限内，都存在一个点，使得是以为一腰的等腰三角形，不妨设点在第一象限，则，其中，则，或，由可得，所以，，解得，由可得，所以，，解得，综上所述，该椭圆的离心率的取值范围是.故选：D.【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；（3）特