第1课时　向量的加法运算

6.2平面向量的运算第1课时向量的加法运算学习目标1．理解并掌握向量加法的概念；掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算，会用它们解决实际问题．2．了解向量加法的交换律和结合律，并能作图解释向量加法运算律的合理性．新知初探基础落实在物理学中，我们知道一个质点从点A移动到点B，再从点B移动到点C，与从点A直接移动到点C的位移结果相同．这说明位移这一矢量是可以合成的，即矢量是可以做加法运算的．我们知道，位移、力是向量，它们可以合成．那么，能否从位移、力的合成中得到启发，引进向量的加法呢？一、概念生成如图，某质点从点A经过点B到点C，这个质点的位移如何表示？问题：(1)物理学中的矢量与我们所学的向量有什么区别和联系？联系：矢量和向量都是既有大小又有方向的量．区别：物理学中的矢量通常是有作用点的，如：力、位移等，但是数学中的向量是自由向量，是可以任意平移的，即向量的应用范围更广．(2)我们能不能把物理中位移的合成的有关方法和经验用于向量的合成？物理知识告诉我们，这个质点两次位移AB，BC的结果，与从点A直接移动到点C的位移AC结果相同．因此，位移AC可以看成是位移AB与BC合成的．数的加法启发我们，从运算的角度看，AC可以看作AB与BC的和，即位移的合成可以看作向量的加法．请同学阅读课本P7—P10，完成下列填空．二、概念表述1．向量加法的定义(1)定义：求两个向量__和__的运算，叫做向量的加法．(2)对于零向量与任意向量a，规定：a＋0＝__0__＋a＝__a__．2．向量求和的法则三角形法则已知非零向量a，b，在平面内取任意一点A，作AB＝a，BC＝b，则向量AC叫做a与b的和，记作__a＋b__，即a＋b＝AB＋BC＝__AC__

平行四边形法则以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作▱OACB，则以O为起点的向量OC(OC是▱OACB的对角线)就是向量a与b的和3．|a＋b|与|a|，|b|之间的关系一般地，我们有|a＋b|__≤__|a|＋|b|，当且仅当a，b中有一个是零向量或a，b是方向相同的非零向量时等号成立．三、概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”)(1)AO＋OB＝AB．(√)(2)AO＋CA＝OC．(×)(3)AO＋OA＝0．(×)(4)CB＋AD＋BA＝CD．(√)典例精讲能力初成探究1向量加法的三角形法则和平行四边形法则例1(课本P8例1)如图，已知向量a，b，求作向量a＋b．【解答】方法一(三角形法则)：在平面内任取一点O(如图(1))，作OA＝a，AB＝b，则OB＝a＋b．方法二(平行四边形法则)：在平面内任取一点O(如图(2))，作OA＝a，OB＝b．以OA，OB为邻边作▱OACB，连接OC，则OC＝OA＋OB＝a＋b．图(1)图(2)已知向量a与向量b，要作出和向量a＋b，关键是准确规范地依据平行四边形法则或三角形法则作图．利用三角形法则作图时要注意首尾相接；利用平行四边形法则作图时要注意共起点．变式(1)如图所示，求作向量a＋b；【解答】首先作向量OA＝a，然后作向量AB＝b，则向量OB＝a＋b．如图所示．(2)如图所示，求作向量a＋b＋c．【解答】方法一(三角形法则)：如图(1)所示，首先在平面内任取一点O，作向量OA＝a，再作向量AB＝b，则得向量OB＝a＋b，然后作向量BC＝c，则向量OC＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即为所求．图(1)方法二(平行四边形法则)：如图(2)所示，首先在平面内任取一点O，作向量OA＝a，OB＝b，OC＝c，以OA，OB为邻边作▱OADB，连接OD，则OD＝OA＋OB＝a＋b，再以OD，OC为邻边作▱ODEC，连接OE，则OE＝OD＋OC＝a＋b＋c即为所求．图(2)探究2向量的加法运算例2化简：(1)BC＋AB；【解答】BC＋AB＝AB＋BC＝AC．(2)DB＋CD＋BC；【解答】DB＋CD＋BC＝(BC＋CD)＋DB＝BD＋DB＝0．(3)AB＋DF＋CD＋BC＋FA．【解答】AB＋DF＋CD＋BC＋FA＝AB＋BC＋CD＋DF＋FA＝AC＋CD＋DF＋FA＝AD＋DF＋FA＝AF＋FA＝0．在向量的加法运算中，通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过加法的结合律调整向量相加的顺序，可以省去画图步骤，加快解题速度．变式如图，已知O为正六边形ABCDEF的中心，求下列向量：(1)OA＋OE；【解答】由题图知，四边形OAFE为平行四边形，所以OA＋OE＝OF．(2)AO＋AB；【解答】由题图知，四边形OABC为平行四边形，所以AO＋AB＝AC．(3)AE＋AB．【解答】由题图知，四边形AEDB为平行四边形，所以AE＋AB＝AD．探究3向量加法的应用视角1向量加法法则的几何应用例3−1若a＝b＝1，则a+b的取值范围为__［0，2］【解析】因为a＝b＝1，所以0＝a−b≤a+b≤a＋b＝2，当且仅当a与b共线时取等号，其中左端的等号是a与b反向时取得，右端的等号是a与b同向时取得，所以|a＋b(1)对于任意向量a，b，都有||a|−|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|；(2)当a，b共线，且同向时，有|a＋b|＝|a|＋|b|；(3)当a，b共线，且反向时，有|a＋b|＝||a|−|b||．变式(多选)设(AB＋CD)＋(BC＋DA)＝a，b是非零向量，则下列结论正确的是(AC)A．a∥b B．a＋b＝aC．a＋b＝b D．a+b【解析】因为a＝(AB＋CD)＋(BC＋DA)＝AB＋BC＋CD＋DA＝0，又b是非零向量，所以a∥b，故A正确；a＋b＝b，故B错误，C正确；又a+b＝b，所以a+b＝a＋b视角2向量加法法则的实际应用例3−2(课本P9例2)长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输．如图，一艘船从长江南岸A地出发，垂直于对岸航行，航行速度的大小为15km/h，同时江水的速度为向东6km/h．(1)用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；【解答】如图，AD表示船速，AB表示江水速度，以AD，AB为邻边作▱ABCD，则AC表示船实际航行的速度．(2)求船实际航行的速度的大小(结果保留小数点后一位)与方向(用与江水速度间的夹角表示，精确到1°)．【解答】在Rt△ABC中，|AB|＝6，|BC|＝15，于是|AC|＝|AB|2+|BC|2＝62+152＝261≈16.2．因为tan∠CAB＝|BC||AB|＝变式已知在静水中船行速度的大小为20m/min，水流速度的大小为10m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向．【解答】如图，AD表示船速，AB表示水流速度，以AB，AD为邻边作▱ABCD，则AC表示船实际航行的速度．设船行进的方向与岸的方向成α角．在Rt△ACD中，|CD|＝|AB|＝10，|AD|＝20，所以cosα＝|CD||AD|＝1020＝12，所以α＝随堂内化及时评价1．如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则OP＋OQ＝(C)A．OH B．OGC．FO D．EO【解析】设a＝OP＋OQ，利用平行四边形法则作出向量OP＋OQ，再平移即发现a＝FO．2．在平行四边形ABCD中，设对角线AC与BD相交于点O，则AB＋CB＝(B)A．2BO B．2DOC．BD D．AC【解析】因为四边形ABCD为平行四边形，所以AO＋CO＝0，故AB＋CB＝AO＋OB＋CO＋OB＝2OB＝2DO．3．下列结论中错误的是(B)A．a＋0＝0＋a＝aB．AB＋BC＋AC＝0C．在平行四边形ABCD中，BC＋DC＋BA＋DA＝0D．CA＋AC＝MN＋NP＋PM【解析】A中，根据0加任何向量都等于原向量，向量加法满足交换律，故A正确；B中，因为AB＋BC＝AC，所以原式＝AC＋AC≠0，故B错误；C中，因为在平行四边形ABCD中，DC＋BA＝0，BC＋DA＝0，故C正确；D中，因为MN＋NP＋PM＝MP＋PM＝0，CA＋AC＝0，故D正确．4．已知非零向量a，b，c，在(a＋c)＋b，b＋(a＋c)，b＋(c＋a)，c＋(a＋b)，c＋(b＋a)中，与向量a＋b＋c相等的向量的个数为(A)A．5 B．4C．3 D．25．(课本P10练习5)有一条东西向的小河，一艘小船从河南岸的渡口出发渡河．小船航行速度的大小为15km/h，方向为