课时1+直线与平面垂直的概念和判定定理+课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第八章立体几何初步8.6.2课时1直线与平面垂直的概念和判定定理1.理解直线与平面垂直的定义.2.理解直线与平面垂直的判定定理，并会用其判断直线与平面垂直.3.理解直线与平面所成角的概念，并能求直线和平面所成的角.情境1：如图，天安门广场竖立的旗杆

AB

与它在地面上的影子

BC

的位置关系是什么？随着太阳的移动，旗杆

AB

与影子

BC

所成的角度会发生改变吗？旗杆

AB

与影子

BC

是垂直关系，所成的角度不变，都为

90°.BAC情境2：如图，一本书打开直立在桌面上，将书脊想象成一条直线，则书脊与桌面的位置关系呈什么状态？此时书脊与每页书和桌面的交线的位置关系如何？书脊与桌面垂直；书脊与每页书和桌面的交线都垂直.广场的旗杆和直立的书脊，都是直线与平面垂直的形象.一般地，如果直线l和平面

α内的任何一条直线都垂直，那么称直线l和平面

α垂直，记作

l⊥α.直线

l的垂面平面

α的垂线垂足αPl问题1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条?为什么?过一点有且只有一条直线与已知直线垂直点到平面距离的定义：

过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.

直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直．符号表示：a⊥m，a⊥n，m∩n=A，m⊂α，n⊂α，则

a⊥α（如图）.转化思想：“线面垂直”⇒“线线垂直”示例：桌面垂直的纸片折痕及与地面垂直的旗杆.

问题3：如图，在长方体

ABCD-A1B1C1D1中，直线

A1B，A1C，A1D和平面ABCD有什么位置关系？直线

A1B，A1C，A1D和平面ABCD相交，但不垂直

一条直线与一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫作这个平面的斜线，斜线与平面的交点叫作斜足，斜线上一点与斜足间的线段叫作这个点到平面的斜线段.

如图，过平面外一点

P

向平面

α

引斜线和垂线，那么过斜足

Q和垂足

P1的直线就是斜线在平面内的射影，线段

P1Q就是斜线段

PQ在平面

α

内的射影.平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，叫作这条直线与这个平面所成的角.（∠PQP1就是直线PQ与平面α所成的角）

若一条直线与平面垂直，则称它们所成的角是直角（90°）；若一条直线与平面平行，或在平面内，则称它们所成的角是0°角；

直线与平面所成角

θ

的取值范围是：0°≤θ

≤90°.例2：如图，在正方体

ABCD-A1B1C1D1中，求直线

A1B与平面

A1DCB1

所成的角.解：连接

BC1，B1C，设它们的交点为

O，连接

A1O.平面平面平面因此，A1O为直线

A1B在平面

A1DCB1上的射影，∠BA1O即为A1B与平面

A1DCB1所成的角.设正方体的棱长为

a.

注意：解决直线与平面所成的角的问题的关键是找出或作出直线在平面上的射影.求斜线与平面所成的角的步骤：（1）作角：作(或找)出斜线在平面上的投影，将空间角(斜线与平面所成的角)转化为平面角(两条相交直线所成的锐角)，作投影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足(有时可以是两垂足)作直线.（2）证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角.（3）计算：通常在垂线段、斜线和投影所组成的直角三角形