2020初等数论考研复试复习题库及历年真题答案

2020初等数论考研复试复习题库及历年真题答案

一、单项选择题（总共10题，每题2分）1.若a，b为整数，且5|(a-b)，则以下说法正确的是（）A.a，b被5除余数相同B.a，b被5除余数不同C.a能被5整除D.b能被5整除2.设a，b是整数，则下面结论正确的是（）A.若a²|b²，则a|bB.若a|b²，则a|bC.若a²|b，则a|bD.若a|b，则a²|b²3.整数6的正约数的个数是（）A.2B.3C.4D.64.设p是质数，a是整数，若p|a²，则（）A.p|aB.p²|aC.p与a互质D.以上都不对5.同余式3x≡5(mod7)的解是（）A.x≡3(mod7)B.x≡4(mod7)C.x≡5(mod7)D.x≡6(mod7)6.以下哪个数是模11的原根（）A.2B.3C.4D.57.若a=10，b=15，则[a，b]（最小公倍数）的值为（）A.10B.15C.30D.1508.设a，b为整数，(a,b)表示a，b的最大公因数，则(18,24)的值为（）A.2B.3C.6D.129.若一个数n满足φ(n)=4（φ为欧拉函数），则n不可能是（）A.5B.8C.10D.1210.不定方程2x+3y=10的整数解为（）A.x=2，y=2B.x=3，y=2C.x=2，y=3D.x=3，y=3二、填空题（总共10题，每题2分）1.72的标准分解式为______。2.设a=12，b=18，则(a,b)=______，[a,b]=______。3.同余式2x≡1(mod5)的解是______。4.模13的平方剩余有______个。5.若p是奇质数，则(-1/p)=______（其中(-1/p)是勒让德符号）。6.设a，b为整数，若a=bq+r（0≤r<|b|），则(a,b)=______。7.欧拉函数φ(15)=______。8.不定方程3x+4y=1的整数解的通解为______。9.若a是模m的原根，则a的阶为______。10.设p是质数，a是与p互质的整数，则a^(p-1)≡______(modp)。三、判断题（总共10题，每题2分）1.若a|b，b|c，则a|c。（）2.任意两个整数的最大公因数一定存在。（）3.同余式ax≡b(modm)一定有解。（）4.若p是质数，则φ(p)=p-1。（）5.两个相邻整数一定是互质的。（）6.若a是模m的原根，b也是模m的原根，则ab也是模m的原根。（）7.不定方程ax+by=c（a，b，c为整数）有解的充要条件是(a,b)|c。（）8.模m的平方剩余的个数等于模m的平方非剩余的个数。（）9.若p是奇质数，a是整数，则(a/p)=a^((p-1)/2)(modp)。（）10.若a≡b(modm)，c≡d(modm)，则ac≡bd(modm)。（）四、简答题（总共4题，每题5分）1.简述辗转相除法求最大公因数的原理。2.说明同余式ax≡b(modm)有解的条件。3.解释欧拉函数φ(n)的定义，并给出计算φ(n)的方法。4.简述原根的定义及原根的一些性质。五、讨论题（总共4题，每题5分）1.讨论不定方程ax+by=c（a，b，c为整数）的解的情况，并举例说明。2.讨论模p（p为质数）的平方剩余和平方非剩余的性质及应用。3.探讨原根在密码学中的应用。4.结合具体例子说明同余理论在实际生活中的应用。答案一、单项选择题1.A。因为5|(a-b)，设a=5m+r₁，b=5n+r₂（0≤r₁，r₂<5），则a-b=5(m-n)+(r₁-r₂)，5|(a-b)意味着r₁-r₂=0，即a，b被5除余数相同。2.D。若a|b，则存在整数k使得b=ka，那么b²=k²a²，所以a²|b²。3.C。6的正约数为1，2，3，6，共4个。4.A。因为p是质数，若p|a²，根据质数的性质可知p|a。5.B。对3x≡5(mod7)，因为3×4=12≡5(mod7)，所以x≡4(mod7)。6.B。通过计算可知3是模11的原根。7.C。[10,15]=30。8.C。用辗转相除法可得(18,24)=6。9.D。φ(5)=4，φ(8)=4，φ(10)=4，φ(12)=4，但本题问不可能的，经分析选D。10.A。将x=2，y=2代入2x+3y=2×2+3×2=10。二、填空题1.72=2³×3²。2.(12,18)=6，[12,18]=36。3.x≡3(mod5)，因为2×3=6≡1(mod5)。4.6个。模p（p为奇质数）的平方剩余有(p-1)/2个，13为奇质数，(13-1)/2=6。5.(-1)^((p-1)/2)。6.(b,r)。7.φ(15)=φ(3)×φ(5)=2×4=8。8.x=-1+4t，y=1-3t（t为整数）。9.φ(m)。10.1。三、判断题1.√。若a|b，则b=k₁a，b|c，则c=k₂b，所以c=k₁k₂a，即a|c。2.√。任意两个整数的最大公因数一定存在，可通过辗转相除法求得。3.×。同余式ax≡b(modm)有解的充要条件是(a,m)|b。4.√。若p是质数，小于p的正整数都与p互质，所以φ(p)=p-1。5.√。设两个相邻整数为n和n+1，若d|n且d|(n+1)，则d|(n+1-n)=1，所以d=1，即互质。6.×。例如模5的原根2和3，2×3=6≡1(mod5)不是原根。7.√。不定方程ax+by=c有解的充要条件是(a,b)|c。8.×。当p为奇质数时，模p的平方剩余有(p-1)/2个，平方非剩余有(p-1)/2个，但对于一般的模m不一定成立。9.√。这是勒让德符号的性质。10.√。因为a≡b(modm)，c≡d(modm)，则a=b+km，c=d+lm，ac=(b+km)(d+lm)=bd+(bl+dk+klm)m≡bd(modm)。四、简答题1.辗转相除法求最大公因数的原理是基于两个整数a，b（a>b>0），设a=bq+r（0≤r<b），则(a,b)=(b,r)。通过不断用较小数去除较大数取余数，将求(a,b)转化为求较小数对的最大公因数，重复这个过程，直到余数为0，此时除数就是原来两数的最大公因数。例如求(24,18)，24=18×1+6，(24,18)=(18,6)，18=6×3+0，所以(24,18)=6。2.同余式ax≡b(modm)有解的条件是(a,m)|b。设d=(a,m)，若d|b，则存在整数x₀，y₀使得ax+my=b有解，因为ax≡b(modm)等价于存在整数y使得ax-my=b。若d不整除b，则方程ax-my=b无整数解，同余式也无解。3.欧拉函数φ(n)定义为小于等于n且与n互质的正整数的个数。计算方法：若n=p₁^α₁p₂^α₂…pₖ^αₖ是n的标准分解式，则φ(n)=n(1-1/p₁)(1-1/p₂)…(1-1/pₖ)。例如n=12=2²×3，φ(12)=12×(1-1/2)×(1-1/3)=4。4.原根定义：设m是正整数，a是整数，若a对模m的阶等于φ(m)，则称a是模m的一个原根。性质：若a是模m的原根，则a，a²，…，a^(φ(m))模m两两不同余且都与m互质；模m有原根的充要条件是m=1，2，4，p^α，2p^α（p为奇质数，α为正整数）。五、讨论题1.不定方程ax+by=c（a，b，c为整数）有解的充要条件是(a,b)|c。当有解时，设d=(a,b)，先求出ax+by=d的一组特解x₀，y₀，再将特解乘以c/d得到ax+by=c的特解。通解为x=x₀+(b/d)t，y=y₀-(a/d)t（t为整数）。例如2x+4y=6，(2,4)=2，2|6，先求2x+4y=2的特解x₀=1，y₀=0，那么2x+4y=6的特解为x=3，y=0，通解为x=3+2t，y=-t（t为整数）；若(a,b)不整除c，则方程无解，如2x+4y=5，(2,4)=2，2不整除5，方程无解。2.模p（p为质数）的平方剩余和平方非剩余性质：平方剩余有(p-1)/2个，平方非剩余有(p-1)/2个；若a是平方剩余，则a^((p-1)/2)≡1(modp)，若a是平方非剩余，则a^((p-1)/2)≡-1(modp)。应用：在密码学中，二次剩余问题可用于构造加密算法；在数论研究中可用于解决一些同余方程的问题。3.原根在密码学中有重要应用。例如在Diffie-Hellman密钥交换协议中，利用原根的性质实现双方在不安全信道上安全地交换密钥。双方选择一个大质数p和模p的原根g，各自选择一