2026年黑龙江专升本高等数学真题及答案

2026年黑龙江专升本高等数学真题及答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.函数f(A.(B.(C.(D.(2.当x→A.B.C.lnD.+3.设函数f(x)在点处可导，则f(A.一定连续B.一定不连续C.不一定连续D.只有当()4.曲线y=3xA.0B.1C.-1D.35.若∫f(xA.9B.3C.+D.+6.定积分dxA.πB.C.0D.17.下列广义积分收敛的是（）A.dB.dC.dD.d8.设z=，则=A.yB.xC.D.x9.微分方程+2A.yB.yC.yD.y10.级数的收敛性是（）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.敛散性不确定二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）11.极限=______.12.设函数y=cos(13.曲线y=在区间[1,2]上与x14.设向量a→={1,15.极限(116.函数y=17.设f(x)为连续函数，且f18.交换积分次序，dx19.幂级数的收敛半径R=______.20.微分方程=6三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，共64分。写出必要的计算过程）21.求极限.22.设函数y=y(x)由方程+23.求不定积分∫x24.计算定积分xd25.设z=arctan，求，及dz26.计算二重积分(x+y)dσ，其中D是由27.求微分方程y=满足初始条件y28.判断级数的收敛性，若收敛，求其和。四、综合应用题与证明题（本大题共3小题，共36分。写出必要的解答过程和证明步骤）29.（本题12分）求函数f(30.（本题12分）求由曲线y=与直线y=231.（本题12分）设f(x)在[a,b]上连续，在(a,参考答案与解析一、选择题1.【答案】B【解析】要使函数有意义，分母不能为零。对于，需x≠0对于，需1−x≠0所以定义域为(−2.【答案】C【解析】当x→A.=1B.=1C.ln(D.(+故选C。3.【答案】A【解析】函数可导必连续。这是函数可导与连续的基本关系。故选A。4.【答案】A【解析】对y=3x将x=1代入导数表达式，得所以切线斜率为0。故选A。5.【答案】B【解析】由∫f(x则f(f(3x6.【答案】C【解析】积分区间[−设g(由于g(−x根据定积分的性质，奇函数在对称区间上的积分等于0。故选C。7.【答案】B【解析】A.dxB.dxC.dxD.dx故选B。8.【答案】A【解析】对x求偏导时，将y视为常数。=·9.【答案】B【解析】分离变量得=−两边积分∫=∫−化简得y=±，令C=10.【答案】B【解析】这是一个交错级数。=，满足≥且=0取绝对值后的级数为，这是调和级数，是发散的。所以原级数条件收敛。故选B。二、填空题11.【答案】4【解析】==12.【答案】−【解析】=−所以dy13.【答案】ln【解析】面积A=14.【答案】−【解析】a→15.【答案】【解析】利用重要极限(1(116.【答案】(【解析】=3令<0，即3x(所以单调递减区间是(017.【答案】0【解析】对等式两边求导，得f(所以f(18.【答案】d【解析】积分区域D由0≤x≤画出积分区域，这是一个三角形，顶点为(0交换积分次序后，y的范围是0→1，对于固定的y，x的范围是故答案为dy19.【答案】1【解析】ρ=收敛半径R=20.【答案】y【解析】积分一次得=∫再积分一次得y=三、计算题21.【解】当x→0时，分子1x→0\begin{aligned}\lim_{x\to0}\frac{e^x1x}{x^2}&=\lim_{x\to0}\frac{(e^x1x)'}{(x^2)'}\\&=\lim_{x\to0}\frac{e^x1}{2x}\end{aligned}此时仍然是型，继续使用洛必达法则。\begin{aligned}&=\lim_{x\to0}\frac{(e^x1)'}{(2x)'}\\&=\lim_{x\to0}\frac{e^x}{2}\\&=\frac{1}{2}\end{aligned}22.【解】方程两边对x求导，注意y是x的函数。(·整理得：(解得：=当x=0时，代入原方程+0将x=0,d23.【解】使用不定积分的分部积分法。设u=lnx则du=d根据公式∫u\begin{aligned}\intx\lnxdx&=\frac{x^2}{\lnx}\cdot\lnx\int\frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}dx\\&=\frac{x^2}{2}\lnx\frac{1}{2}\intxdx\\&=\frac{x^2}{2}\lnx\frac{1}{2}\cdot\frac{x^2}{2}+C\\&=\frac{x^2}{2}\lnx\frac{x^2}{4}+C\end{aligned}24.【解】利用降幂公式x=\begin{aligned}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^2xdx&=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1+\cos2x}{2}dx\\&=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(1+\cos2x)dx\\&=\frac{1}{2}[x+\frac{1}{2}\sin2x]_{0}^{\frac{\pi}{2}}\\&=\frac{1}{2}[(\frac{\pi}{2}+\frac{1}{2}\sin\pi)(0+\frac{1}{2}\sin0)]\\&=\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}\\&=\frac{\pi}{4}\end{aligned}25.【解】对z===所以全微分为：d26.【解】画出积分区域D，是由x轴、y轴和直线x+将其化为累次积分，先对y后对x（或反之）。D可表示为：0≤x≤\begin{aligned}\iint_D(x+y)d\sigma&=\int_{0}^{1}dx\int_{0}^{1-x}(x+y)dy\\&=\int_{0}^{1}[xy+\frac{y^2}{2}]_{0}^{1-x}dx\\&=\int_{0}^{1}[x(1-x)+\frac{(1-x)^2}{2}]dx\\&=\int_{0}^{1}(xx^2+\frac{12x+x^2}{2})dx\\&=\int_{0}^{1}(\frac{2x2x^2+12x+x^2}{2})dx\\&=\int_{0}^{1}(\frac{1x^2}{2})dx\\&=\frac{1}{2}[x\frac{x^3}{3}]_{0}^{1}\\&=\frac{1}{2}(1\frac{1}{3})\\&=\frac{1}{3}\end{aligned}27.【解】这是一阶线性微分方程+P(x)y通解公式为y=首先计算积分因子：∫==代入公式：\begin{aligned}y&=x^2[\intx^2\cdot\frac{1}{x^2}dx+C]\\&=x^2[\int1dx+C]\\&=x^2(x+C)\end{aligned}代入初始条件y=0所以特解为y=28.【解】判断收敛性并求和。通项==部分和为：\begin{aligned}S_n&=\sum_{k=1}^{n}(\frac{1}{k}\frac{1}{k+1})\\&=(1\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}\frac{1}{3})+\dots+(\frac{1}{n}\frac{1}{n+1})\end{aligned}这是一个裂项相消的数列，中间项互相抵消，得：=求极限：=因为部分和极限存在，所以级数收敛，且其和为1。四、综合应用题与证明题29.【解】求函数f(第一步：求导数。(第二步：求驻点。令(x3解得驻点=−1，第三步：判断极值。求二阶导数(x(当x=−1时，(极大值为f(当x=3时，(3极小值为f(结论：函数在x=−130.【解】先求两曲线的交点。{交点为x=0和在区间[0,2旋转体体积公式为V=\begin{aligned}V&=\pi\int_{0}^{2}[(2x)^2(x^2)^2]dx\\&=\pi\int_{0}^{2}(4x^2x^4)dx\\&=\pi[\frac{4}{3}x^3\frac{1}{5}x^5]_{0}^{2}\\&=\pi[(\frac{4}{3}\cdot8\frac{1}{5}\cdot32)0]\\&=\pi(\frac{32}{3}\frac{32}{5})\\&=32\pi(\frac{1}{3}\frac{1}{5})\\&=32\pi\cdot\frac{2}{15}\\&=\frac{64\pi}{15}\end{aligned}31.【证明】罗