第5章 一元一次方程（学生版）-华东师大版(2024)七下

思维导图第5章一元一次方程思维导图【类型覆盖】类型一、一元一次方程的整体代入【解惑】已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（）A． B． C． D．【融会贯通】1．已知关于x的一元一次方程的解是，那么关于y的一元一次方程的解是（

）A．2021 B．2022 C．2023 D．20242．已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为．3．已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为．类型二、一元一次方程的整数解【解惑】若关于的方程有整数解，则所有符合条件的整数的和为（

）A． B． C． D．【融会贯通】1．若关于的方程的解是整数，则整数的取值个数是（

）A．个 B．个 C．个 D．个2．若关于的方程的解为整数，则整数．3．若关于的方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值为．类型三、一元一次方程的新定义运算【解惑】对于有理数、定义运算“▣”：▣，已知▣，则的值为（

）A． B． C． D．1【融会贯通】1．定义一种新运算：，例如：，．若，则b的值是（

）A．9 B．-9 C．9或-9 D．无法确定2．定义一种新的运算“”，它的运算法则为：当a、b为有理数时，，比如：，则方程的解为．3．定义运算如下：，如.若，则x＝.类型四、一元一次方程的应用——电费与水费问题【解惑】为鼓励居民节约用电，某地对居民用户用电收费标准作如下规定：每户每月用电不超过100度，那么每度按0.50元收费；如果超过100度不超过200度，那么超过的部分每度按0.65元收费；如果超过200度，那么超过的部分每度按0.75元收费．(1)若居民甲在10月份用电80度，则他这个月应缴纳电费______元；若居民乙在10月份用电180度，则他这个月应缴纳电费______元．(2)若某户居民丙在12月份缴纳电费310元，那么他这个月用电多少度？【融会贯通】1．列方程解决问题：为响应国家节水政策，北京居民生活用水实行阶梯价格制度，按年度用水量计算，将人（含）以下居民家庭全年用水量划分为三档，年阶梯水价收费标准如下：阶梯户年用水量（单位：立方米）水价（单位：元/立方米）第一阶梯0—180（含）5第二阶梯181—260（含）7第三阶梯260以上9按照以上阶梯水价标准，回答下列问题：(1)若小明家年用水量为立方米，则该家庭全年缴费金额为______元；(2)若小华家年全年缴费金额为元，小华家年用水量是多少立方米？2．为了倡导节约用水，某小区计划采用如下的水费收取方式：家庭用水每月不超过，每立方米收费元；超过的部分每立方米收费上涨．(1)当家庭用水量不超过时，应交水费为_____元；当家庭用水量超过时，应交水费_____元（用含、的代数式表示）；(2)如果已知，该家庭上月交水费95元，求该家庭上月用水量．3．列方程解应用题：某市居民用水的收费标准是按阶梯计价的，若每月每户用水不超过，则每立方米按元收费；若每月每户用水超过，则超过部分每立方米按元收费．(1)小雅家12月用水，她家12月应交水费多少元？(2)若每月用水量为，请用含x的代数式表示每月所付水费金额；(3)若小浩家12月份所交水费的平均价为每立方米元，则小浩家12月份用水多少立方米？类型五、一元一次方程的应用——方案问题【解惑】（用一元一次方程解决问题）甲、乙两家超市新年期间推出优惠活动，推出如下表所示的购物优惠方案：甲超市乙超市消费金额（元）

优惠活动消费金额（元）优惠活动（包含100）无优惠（包含200）无优惠（包含350）一律享受九折优惠大于200超过200元的部分享受八折优惠大于350一律享受八折优惠(1)小王需要购买价格为220元的商品，去______家超市更划算；(2)小李带了234元去购物，为了买到原价最多的商品，应选择哪家超市并说明理由．【融会贯通】1．下表是中国移动两种“优惠套餐”的计费方式．套餐A套餐B每月基本服务费38元（包含通话时间100分钟，上网流量）59元（包含通话时间300分钟，上网流量）套餐外通话0.15元/分0.1元/分不足一分钟按一分钟计算套餐外流量5元，不足时按计算(1)若小丽的妈妈某月通话时间为320分钟，上网流量为，则她的妈妈按套餐A计费需付__________元，按套餐B计费需付__________元；(2)小丽某月上网流量不超过，通话时间不超过300分钟，当通话时间为__________分钟时，按套餐A和套餐B的费用相同；(3)若小丽每月通话时间不超过100分钟，上网流量为，那么小丽选择哪种套餐更优惠？2．用纸在甲复印店复印文件，复印页数不超过20页时，每页收费0.12元，复印页数超过20页时，超过部分每页收费降为0.09元．在乙复印店复印同样的文件，不论复印多少页，每页收费都是0.1元．(1)若复印的页数为页，在甲复印店用纸复印，需交费__________元（用含的式子表示）；在乙复印店用纸复印，需交费__________元（用含的式子表示）；(2)当复印的页数为70页时，到哪个店复印便宜？试说明理由．(3)当用纸复印多少页时，两店的收费相同？3．某商场正在热销两种苹果，精品苹果每千克定价元，普通苹果每千克定价元，店庆期间商场决定开展促销活动，活动方案如下：方案一方案二顾客购买千克精品苹果送千克普通苹果顾客购买精品苹果和普通苹果都按定价的付款现某公司为回馈员工，要到该商场购买精品苹果千克，普通苹果千克（，且只能选择一种方案购买）．(1)用含的代数式分别表示该公司选择方案一和方案二购买时所需的钱数；（结果化成最简形式）(2)若该公司选择方案一和方案二购买时的付款相同，求该公司购买了多少千克普通苹果？类型六、一元一次方程的应用——三角板旋转求t问题【解惑】如图1，在直线上摆放一副直角三角板，两三角板顶点重合于点，，，将三角板绕点以每秒的速度顺时针方向转动，设转动时间为秒．(1)如图，若平分，则的最小值为；此时度；（直接写答案）(2)当三角板转动如图的位置，此时同时在直线的右侧，猜想与有怎样的数量关系？并说明理由；（数量关系中不含）(3)若当三角板开始转动的同时，另一个三角板也绕点以每秒的速度顺时针转动，当旋转至射线上时，两三角板同时停止运动：当为何值时，；在转动过程中，请写出与的数量关系，并说明理由．（数量关系中不含）【融会贯通】1．如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线，，将一直角三角板（）的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边与都在直线AB的上方，将图1中的三角板绕点O以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周．(1)几秒后与重合？(2)如图2，经过t秒后，，求此时t的值；(3)若三角板在转动的同时，射线也绕O点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，那么经过多长时间与重合？(4)在（3）的条件下，当射线，射线，射线三条中的一条是另外两条组成的夹角的平分线时，请直接写出t的值．2．如图1，点是直线上一点，三角板（其中的边与射线重合，将它绕点以每秒顺时针方向旋转到边与重合；同时射线与重合的位置开始绕点以每秒逆时针方向旋转至，两者哪个先到终线则同时停止运动，设运动时间为秒．(1)若，，秒时，________°；(2)如图2，在运动过程中，射线始终平分．①若，，当射线，，中，其中一条是另两条射线所形成夹角的平分线时，直接写出秒；（写出一个即可）②当在的左侧，且与始终互余，求与之间的数量关系．3．如图，有一副直角三角板如图1放置（其中，），与直线重合，且三角板，三角板均可以绕点P旋转．

(1)在图1中，______；(2)①如图2，若三角板保持不动，三角板绕点P逆时针旋转，旋转角度为，当等于多少度时，两个三角形的边与边互相垂直；②如图3，在图1基础上，若三角板的边从处开始绕点P逆时针旋转，转速为/秒，同时三角板的边从处开始绕点P顺时针旋转，转速为/秒，当转到与重合时，两三角板都停止转动，在旋转过程中，当时，求旋转的时间是多少？类型七、一元一次方程的应用——数轴动点求t问题【解惑】如图，O，A，B三点在数轴上，点O对应的数为0，点A，B对应的数分别是a和b，且a，b满足．P，Q为数轴上的两动点．(1)请完成以下填空：①_______，_______；②若点P到A，B两点的距离之和最小，则此最小值为_______；③若点Q到A，B两点的距离之和为14，此时点Q对应的数为_______；(2)若点P从A点处出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，与此同时，点Q从B点处出发，以每秒2个单位长度的速度也向左运动，设运动时间为．①若，求t的值；②若在P，Q两点出发时，动点M同时从O点出发，以每秒4个单位长度的速度向右运动，当点M与点Q相遇后，点M立即以原速度与P，Q两点一起向左运动．在点M的整个运动过程中，当点M恰好是线段的中点时，请直接写出t的值．【融会贯通】1．如图，A，B两点在数轴上对应的数分别为a，b，且点A在点B的左边，满足．(1)填空：_______，_______；(2)现有一只电子蚂蚁P从点A出发，在数轴上以3个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q从点B出发，在数轴上以2个单位长度/秒的速度向左运动．①运动t秒时，电子蚂蚁P表示的数是_______，Q表示的数是_______（用含t的式子表示）；②设两只电子蚂蚁在数轴上的点C相遇，求出点C对应的数是多少？③出发多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距10个单位长度？2．通过研究发现，数轴上的点A和点B分别表示有理数a和b，那么线段AB的中点表示的数为，点A、B之间的距离．如图，A，B两点在数轴上分别表示有理数，9，点O为原点，点C在数轴上O，B两点之间，且．(1)直接写出线段的中点表示的数为，线段；(2)动点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，运动时间为t秒：①若，求t的值；②若动点M同时从A点出发，以每秒4个单位长度的速度向右运动，与点Q相遇后，动点M立即以同样的速度返回．在此过程中，当t为何值时，点M恰好是线段的中点？3．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上位于点A左侧一点，且，动点P从A点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为（）秒．(1)数轴上点B表示的是；点P表示的数是；（用含的代数式表示）(2)动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发，问点P运动多少秒时追上点Q？(3)若M为的中点，N为的中点，在点P运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，求出线段的长．类型八、一元一次方程的规律【解惑】如图，下列图案均由长度相同的小棒按一定的规律拼搭而成：第1个图案需要7根小棒，第2个图案需要13根小棒，第3个图案需要18根小棒，第4个图案需要23根小棒，…，依此规律摆放．(1)则第5个图案需要根小棒；(2)用含的代数式表示第（且为整数）个图案中小棒的数量；（结果化为最简形式）(3)如果小明共有688根小棒，按上面的规律摆出一个图案，那么他可以摆出第几个图案．【融会贯通】1．小丽在用等长的木棒设计图案探索规律：图案标号①②③④所需木棒根数(1)先填表，再请你帮她用含的代数式表示第个图案所需木棒的根数；(2)如果要摆出第个图案，所需木棒的根数是多少？(3)小丽说她按这种方式搭出来的一个图形用了根木棒，你认为可能呢？如果可能，那么是第几个图形？如果不可能，请说明理由．2．用火柴棒按如图的方式搭图形．

(1)按图示规律完成如表：图形12345火柴棒根数5913

(2)按照这种方式搭下去，搭第个图形需要根火柴棒．（用含的代数式表示）(3)小静同学说她按这种方式搭出来的一个图形用了2001根火柴棒，你认为可能吗？如果可能，那么是第几个图形？如果不可能，请说明理由．3．如图，用相同的黑色棋子摆成一组图案，图1中有6颗黑色棋子，图2中有9颗黑色棋子，图3中有颗黑色棋子，…，按此规律摆下去．(1)则第4个图中有________颗黑色棋子；(2)用含n的代数式表示第n个图中黑色棋子的颗数；(3)若第n个图中有颗黑色棋子，求n的值．类型九、一元一次方程的新定义方程【解惑】中考新趋势·新定义定义：关于x的方程与方程（a，b均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”．(1)若关于x的方程与方程互为“反对方程”，则_______；(2)若关于x的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数d的值；(3)已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为_______．（请直接写出答案）【融会贯通】1．我们规定：若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“差解方程”，例如：方程的解为，而，则方程为“差解方程”．请根据上述规定解答下列问题：(1)已知关于x的一元一次方程是“差解方程”，求m的值；(2)已知关于x的一元一次方程是“差解方程”，并且它的解是，求m，n的值．2．定义：已知，分别是关于，的方程的解，若满足：（为正数），则称前者是后者的“属方程”．例如：方程的解是，方程的解是，且满足，则称方程是方程的“属方程”．(1)下列方程是方程的“属方程”的是______（请填写正确的序号）；①；②；③(2)若关于的方程是关于的方程的“2属方程”，求整数的值；(3)若对于任何正数，关于的方程都是关于的方程的“属方程”，求的值．3．已知一个关于的一元一次方程（，为常数），若这个方程的解恰好为或，则称这个方程为“幸福方程”．例如：的解为，而，则方程是“幸福方程”．(1)下列方程是“幸福方程”的打“”，不是“幸福方程”的打“”；①（

）

②（

）

③（

）(2)若关于的方程是“幸福方程”，求的值；(3)若关于的方程是“幸福方程”，求关于的方程的解．类型十、无限循环小数化为分数【解惑】我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数都可以化为分数形式（整数可看作分母为1的分数），那么无限循环小数如何表示为分数形式呢？请看以下示例：例：将0.4化为分数形式．由于，设，①则，②得，解得，于是．同理可得：．根据以上阅读，回答下列问题：（以下计算结果均用最简分数表示）【基础训练】（1）_______，________；（2）将化为分数形式，写出推导过程；【能力提升】（3）______，_______；（注：）【探索发现】（4）①试比较与1的大小：_______1（填“>”“<”或“=”）；②若已知，则_______．（注：）【融会贯通】1．我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数都可以化为分数形式（整数可看作分母为1的分数），那么无限循环小数如何表示为分数形式呢？请看以下示例：例：将化为分数形式，由于，设，①得，②②－①得，解得，于是得．同理可得，．根据以上阅读，回答下列问题：（以下计算结果均用最简分数表示）(1)______；(2)将化成分数形式，并写出推理过程．(3)若则______．2．探究问题（1）阅读操作，在小学阶段我们学过，任何有限位小数都可以转化成分数的形式．请你将下列各数化成分数形式：①②（2）发现问题，我们小学阶段的小数，除有限位小数外，还有无限位的小数，那就是．（3）提出问题，对于？（4）分析问题：例如：如何将化成分数的形式？分析：假设，由等式的基本性质得，，即，也就是，解这个关于的一元一次方程，得，所以．说明可以将化成分数的形式．（5）解决问题．请你类比上面的做法，将下列的无限循环小数化成整数或分数的形式：①，②，③．（6）归纳结论：．3．阅读理解：你知道如何将无限循环小数写成分数形式吗？下面的解答过程会告诉你方法．例题：利用一元一次方程0.7化成分数，设，由于，可知，于是，可解得，即．请你仿照上述方法完成下列问题：(1)将化成分数形式；(2)将化成分数形式．【一览众山小】1．《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有本，不知长短，引绳度之，余绳三尺寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余3尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，求木头的长为（

）A．3尺 B．4尺 C．5尺 D．6尺2．古书中有一道题，原文是：今有四人共车，三车空；三人共车，九人步，问人与车共几何？译文是：今有若干人乘车，每4人共乘一辆车，剩下三辆车；若每3人共乘一辆车，剩下9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有人，可列方程（

）A． B．C． D．3．如图，已知正方形的边长为4，甲、乙两动点分别从正方形的顶点A、C同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向航行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的3倍，则它们第2025次相遇在边（

）．A． B． C． D．4．如图，有8个正方体，每个正方体的棱长为或者，它们的表面积和为，则它们的体积和为．5．小澄下午6点多外出时，看手表上两指针的夹角为，下午7点前回家时发现两指针的夹角仍为，那么小澄外出的时间总计有分钟．6．在课题学习中，老师要求用长为24厘米，宽为16厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒，三位同学分别以下列方式在长方形纸片上截去两角（图中阴影部分），然后沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒．

甲：如图1，盒子底面的四边形是正方形，折成纸盒的容积为；乙：如图2，盒子底面的四边形是正方形，折成纸盒的容积为；丙：如图3，盒子底面的四边形是长方形，，折成纸盒的容积为；将这三位同学折成的无盖纸盒的容积、、按从大到小的顺序排列为．7．【问题背景】数轴上A、B两点表示的数分别为a，b，则A、B两点之间的距离，线段的中点M表示的数为．【情境应用】已知数轴上有A、B两点，点A、B表示的数分别为和1．（1）填空：线段两点之间的距离为；线段的中点M表示的数为；（2）若数轴上点C表示的数是9，将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数表示的点重合；【情境拓展】在数轴上A点表示数，B点表示数1，C点表示数9，若点A、点B和点C分别以每秒2个单位、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动．（1）若t秒钟过后，A，B，C三点中恰