专题7.1相交线 解析版

专题7.1相交线【考点梳理】考点一：相交线与垂线的定义 考点二：画垂线或最短问题考点三：与对顶角有关问题 考点四：邻补角的定义考点五：邻补角求角度问题 考点六：同位角、内错角、同旁内角的问题考点七：相交线的综合问题【知识梳理】知识点一、相交线直线的位置关系：在同一平面内不重合的两条直线之间的位置关系只有两种：相交或平行.垂线的概念：当两条相交直线所成的四个角中，有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，交点叫做垂足.垂线的性质：1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.2）两条直线互相垂直，则它们之间所形成的四个角为直角.3）在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么这条直线垂直于另一条.垂线段最短定理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简称垂线段最短.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.知识点二、相交线中的角第一种对顶角与邻补角种类图形顶点边的关系大小关系对顶角（∠1与∠2）有公共顶点∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线∠1=∠2邻补角（∠3与∠4）有公共顶点∠3与∠4有一条公共边，另一边互为反向延长线.∠3+∠4=180°第二种同位角、内错角与同旁内角同位角：两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，在被截两条直线同侧，具有这样位置关系的一对角叫做内错角.（同旁同侧）如：∠1和∠5.内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角.（内部异侧）如：∠3和∠5.同旁内角：两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，在被截两条直线内部，具有这样位置关系的一对叫同旁内角.（同旁内侧）如：∠3和∠6.【速记同位角、内错角与同旁内角】三线八角的概念：指的是两条直线被第三条直线所截而形成的八个角，其中同位角4对，内错角有2对，同旁内角有2对.正确认识这八个角要抓住:同位角位置相同即“同旁和同侧”;内错角要抓住“内部和异侧”;同旁内角要抓住“同旁和内部”.【题型归纳】题型一：相交线与垂线的定义1．（2025七年级下·全国）如图，若已知，则下列说法正确的是（）A．点B到的垂线段是线段 B．点C到的垂线段是线段C．线段是点D到的垂线段 D．线段是点B到的垂线段【答案】D【分析】本题考查了垂线段的定义，熟练掌握垂线段的定义是解题的关键．根据与不垂直可对选项进行判断；根据与不垂直可对选项进行判断；根据线段是点A到的垂线段可对选项进行判断；根据可对选项进行判断；综上，即可得出答案．【详解】解：与不垂直，点B到的垂线段不是线段，故选项不正确，不符合题意；与不垂直，点C到的垂线段不是线段，故选项不正确，不符合题意；线段是点A到的垂线段，选项不正确，不符合题意；，线段是点B到的垂线段，故选项正确，符合题意；故选：．2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在同一平面内，，，垂足为，则直线和直线重合的理由是（）A．两点确定一条直线B．已知直线的垂线只有一条C．垂线段最短D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直【答案】D【分析】本题考查了垂线的定义，直接利用垂线的性质：在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，进而判断得出答案，掌握垂线的定义是解题的关键．【详解】解：在同一平面内，，，垂足为，则直线和直线重合的理由是：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故选：．3．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图是一张长方形纸片，纸片的一边为，小亮在纸片内部任取一点，并通过折叠折出过点且与垂直的折痕，他发现这样的折痕只能折出一条，理由是（

）A．两点之间，线段最短B．两点确定一条直线C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短【答案】C【分析】本题考查了垂线公理，熟知公理内容是解题的关键．根据垂线公理即可解题．【详解】解：由题意知，过点有且只有一条直线与垂直，即在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．故选：C．题型二：画垂线或最短问题4．（23-24七年级下·贵州黔南·期末）过点P作直线l的垂线，下面三角板的摆放正确的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了垂线，根据垂线的定义，即可解答．【详解】解：过点作的垂线，三角板的放法正确的是故选：A．5．（24-25七年级上·江苏常州·期末）立定跳远是常州体育中考项目之一，女生成绩达到或超过获得满分，达到或超过获得加分．如图，一女生在起跳线上的点A处起跳，，垂足为C．若该女生获得满分但未加分，则下列说法中正确的是（

）A．可能为 B．可能为C．可能为 D．可能为【答案】D【分析】本题考查了垂线段最短，熟练掌握垂线段的性质是关键．根据题意和垂线段最短的性质判断即可．【详解】解：∵该女生获得满分但未加分，∴∵，∴可能为，故选项D符合题意．故选：D．6．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，在正方形网格中画有一段笔直的铁路及道口、和村庄、．小强从道口到公路，他选择的路线为公路，其理由为（

）A．两点确定一条直线B．两点之间，线段最短C．垂线段最短D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直【答案】C【分析】本题考查垂线段最短，根据垂线段最短即可解答．【详解】解：他选择的路线为公路，其理由为垂线段最短．故选C．题型三：与对顶角有关问题7．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列选项中，与是对顶角的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查了对顶角的定义．对顶角是由两直线相交形成的，有公共顶点，没有公共边的角．解决本题的关键是根据对顶角的定义进行判断．【详解】解：A选项：和不是由两直线相交形成的，故A选项不符合题意；B选项：和不是由两直线相交形成的，故B选项不符合题意；C选项：和两角有公共边，故C选项不符合题意；D选项：和是由两直线相交形成的，有公共顶点，没有公共边，故D选项合题意；故选：D．8．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线相交于点．已知，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题是考查关于角度运算问题．熟练掌握角的和差关系，平角性质，对顶角性质，是解题的关键．运用平角求出的度数；即可得到的度数．【详解】解:∵，∴，∴．故选：B．9．（23-24七年级下·广东肇庆·期中）如图，直线，相交，，则等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了对顶角，邻补角的计算，根据题意可得，，由此即可求解．【详解】解：根据图示可得，，，∴，∴，故选：C．题型四：邻补角的定义10．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，下列各组角中，是邻补角的一组是（

）A．和 B．和 C．和 D．和【答案】C【分析】此题考查了邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．根据邻补角的定义求解判断即可．【详解】解：A、和是对顶角，不是邻补角，故此选项不符合题意；B、和不是邻补角，故此选项不符合题意；C、和是邻补角，故此选项符合题意；D、和不是邻补角，故此选项不符合题意．故选：C．11．（21-22七年级上·浙江杭州·期末）如图，直线、交于点，则下列结论中一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据对顶角和邻补角的性质，即可求解．【详解】解：∵直线、交于点，∴，，，故A、C错误，不符合题意；B正确，符合题意；无法确定与的数量关系，故D错误，不符合题意；故选：B【点睛】本题主要考查了对顶角和邻补角的性质，熟练掌握对顶角相等，互为补角的两个角的和等于180°是解题的关键．12．（20-21七年级下·湖北荆门·期末）图中∠1与∠2互为邻补角的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用邻补角定义进行解答即可．【详解】解：A、∠1与∠2对顶角，故此选项不合题意；B、∠1与∠2是邻补角，故此选项符合题意；C、∠1与∠2不是邻补角，故此选项不合题意；D、∠1与∠2是内错角，故此选项不合题意；故选：B．【点睛】此题主要考查了邻补角，关键是掌握只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．题型五：邻补角求角度问题13．（24-25七年级下·全国）如图，直线，相交于点，，把分成两部分，且，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了对顶角的性质和邻补角的性质．根据对顶角相等得出，再根据，求出，再利用邻补角求出的度数即可．【详解】解：∵，，∴，∴，故选：B．14．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线，相交于点，于点，，则的度数等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了余角的定义，补角的定义，由补角的定义得，由余角的定义得，即可求解；理解余角的定义，补角的定义是解题的关键．【详解】解：因为，，所以，因为，所以，所以．故选B．15．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图所示，直线相交于点，，射线平分，射线平分，则等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了垂直的定义，角平分线的定义，邻补角的定义，由，得，再根据角平分线的定义求出，最后利用邻补角的定义即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】∵，∴，∵射线平分，∴，∵射线平分，∴，∵，∴，故选：．题型六：同位角、内错角、同旁内角的问题16．（2025七年级下·全国·专题练习）如图所示，下列说法一定正确的是（

）A．和互为余角 B．和是内错角C．和互为补角 D．和是同位角【答案】D【分析】本题考查互为余角、互为补角、内错角、同位角以及同旁内角，熟练掌握相关定义是解题关键．根据互为余角、互为补角、内错角、同位角以及同旁内角的定义结合具体图形进行判断即可．【详解】解：A．由于与的和不一定是，所以和不一定是互为余角，因此选项A不符合题意；B．和不是两条直线被第三条直线所截得的角，不符合内错角的定，因此选项B不符合题意；C．和是一组同旁内角，但和不一定互补，因此选项C不符合题意；D．和是两条直线被第三条直线所截的同位角，因此选项D符合题意．故选：D．17．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，有下列说法：①与是同位角；②与是同旁内角；③与是同旁内角；④与是内错角．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】本题考查同位角、内错角、同旁内角，对顶角、邻补角，关键是掌握以上概念的定义．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，据此求解即可．．【详解】解：①与是同位角，正确，故①符合题意；②与是同旁内角，正确，故②符合题意③与是邻补角，不是同旁内角，故③不符合题意；④与是内错角，正确，故④符合题意．其中正确的有3个．故选：C．18．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，直线与直线被直线所截，分别交于点，过点作射线，则图中的同位角有（）A． B．或C．或 D．或或【答案】B【分析】本题主要考查三线八角的识别，结合图形，掌握三线八角的识别方法是解题的关键．根据同位角的定义，逐一判断即可解答．【详解】解：由题意可知，的同位角为，或者．故选：B．题型七：相交线的综合问题19．（24-25七年级下·全国·期末）如图，相交于点平分．(1)线段_______的长度表示点到的距离；(2)_______（填“＞”“>”或“＝”），理由：_______；(3)若，求的度数．【答案】(1)(2)＞；垂线段最短(3)【分析】本题考查的是点到直线的距离，掌握点到直线的距离是解题的关键（1）根据点到直线的距离解答即可；（2）根据垂线段最短解答即可；（3）根据垂直的定义和角之间的关系解答即可．【详解】（1）解：线段的长度表示点M到的距离；故答案为：；（2）解：比较与的大小为：，理由是：垂线段最短；故答案为：>；垂线段最短；（3）解：平分，，．20．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，已知直线与相交于点，分别是的平分线．(1)的补角是；(2)若，求和的度数．【答案】(1)或(2)，【分析】本题主要考查了邻补角、角平分线、几何图形中角度计算等知识，弄清图形中各角的关系是解题关键．（1）根据角平分线的定义可得，再根据补角的定义结合图形找出答案即可；（2）根据角平分线的定义计算即可求出，然后根据补角的和等于列式计算即可求出的值，先求出的值，再根据角平分线的定义解答即可．【详解】（1）解：∵是的平分线，由角平分线的性质可得，又∵，，∴，∴的补角是或．故答案为：或；（2）由题意可得，∴，∵，∴，∵是的平分线，∴．21．（24-25七年级上·四川巴中·期末）如图，直线交于点，平分，．(1)若，求的度数；(2)若，求的度数．【答案】(1)(2)【分析】本题考查角平分线的定义，垂直的定义，对顶角性质等知识；（1）先根据角平分线的定义得出，再求出，根据垂直得出，进而根据平角得出答案；（2）先求出，再得出，根据对顶角相等得出，进而根据角平分线的定义得出答案．【详解】（1）解：∵平分，，∴，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵平分，∴．【高分演练】一、单选题22．（24-25七年级下·全国）下列图形中，与互为对顶角的是（

）A．B． C． D．【答案】C【分析】根据对顶角的定义判断解答即可．本题考查了对顶角的定义，熟练掌握定义是解题的关键．【详解】解：根据题意，得是对顶角的是：故选：C．23．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，取两根木条a，b，将它们钉在一起，若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据对顶角性质，得，结合得到，利用邻补角计算即可．本题考查了对顶角的性质，邻补角的定义，熟练掌握定义是解题的关键．【详解】解：∵，，∴，∵，∴，故选：A．24．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，的内错角是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查三线八角，理解图示，掌握三线八角的定义，数形结合分析是解题的关键．利用内错角定义可得答案．【详解】解：A、的内错角是，故此选项符合题意；B、与是同旁内角，故此选项不合题意；C、与是同位角，故此选项不合题意；D、与不是内错角，故此选项不合题意；故选：A．25．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列说法：①连接一点与直线上各点的线段中，垂线段最短；②直线，相交于点O，若，则；③相等的角是对顶角；④过直线l外一点P作于点Q，则线段的长度是点P到直线l的距离，正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】本题主要考查了垂线段的性质，点到直线的距离，对顶角定义，解题的关键是理解相关定义．根据垂线段定义，垂线段性质，点到直线的距离，逐项进行判断即可．【详解】解：连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短，①说法错误；当两条直线相交所构成的四个角中有一个角为时，这两条直线互相垂直，②说法正确；对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，③说法错误；直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离，④说法正确．综上分析可知：说法正确的有2个．故选B26．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线相交于点O．若比大，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，对顶角相等，根据已知条件得出，根据对顶角相等得出，根据得出，求出结果即可．【详解】解：∵比大，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，故选：A．27．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，点是直线外一点，、、、都在直线上，于，在与、、、四点的连线中，线段最短，依据是（

）A．两点确定一条直线B．两点之间，线段最短C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D．垂线段最短【答案】D【分析】本题考查垂线段最短，直线的性质，线段的性质，由垂线段最短，即可得到答案．【详解】解：于，在与、、、四点的连线中，线段最短，依据是垂线段最短．故选：D．28．（2024七年级上·江苏·专题练习）下列判断错误的是()A．与是同旁内角 B．与是内错角C．与是同旁内角 D．与是同位角【答案】C【分析】此题主要考查了同位角、内错角、同旁内角，根据同位角、内错角、同旁内角的定义进行解答即可．【详解】解：A、与是同旁内角，故此选项不符合题意；B、与是内错角，故此选项不符合题意；C、与不是同旁内角，故此选项符合题意；D、与是同位角，故此选项不符合题意．故选：C．29．（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，一副三角板的两个直角顶点叠放在一起，其中，，三角板不动，三角板可绕点旋转，则下列结论：①随的变化而变化；②当时，一定垂直于．其中正确的结论是（

）A．①正确，②正确 B．①错误，②正确 C．①正确，②错误 D．①错误，②错误【答案】D【分析】本题考查了三角板的角度计算；①依据，即可得到；②画出图形，根据，，即可求出的度数，根据平行线的判定以及垂直的定义得到此时与的位置关系．【详解】解：①，，，是定值；故①错误．②设，则．如图，，，，，．如图由①可知，，，解得：，即，此时不垂直于故②错误．故选：D．30．（2024七年级下·江苏无锡·竞赛）如图，直线，点E在直线上，点F在直线上，N为、之间一点，连接并延长交的角平分线于点G，且平分，当时，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质得出、、之间的关系，再结合求出，最后根据对顶角相等即可得解问题．【详解】解：如图：令与的交点为，，∵，∴，∵平分，平分，∴，，∵，∴，∵，且，∴，∴，∴，∴，∴，故选：D．二、填空题31．（24-25七年级下·全国·单元测试）若两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是和，则．【答案】40或80/80或40【分析】此题考查了两条直线相交所成角的关系，一元一次方程的应用，正确理解两条直线相交所成角的关系是解题的关键．由两条直线相交所成的四个角中，有邻补角有对顶角，由此列方程解答．【详解】解：当两个角是对顶角时，，解得；当两个角是邻补角时，，解得，故答案为：40或80．32．（24-25七年级下·全国·期中）如图，直线，，都过点，且，平分，，则．【答案】/149度【分析】此题考查了角平分线定义，垂直的定义，熟练掌握定义及性质是解本题的关键．根据对顶角相等得出，进而利用互余和角平分线的定义得出的度数，进而解答即可．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∵平分，∴，∴，故答案为：．33．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，的同位角是；的内错角是；的同旁内角是．【答案】【分析】此题主要考查了同位角、内错角、同旁内角，关键是掌握同位角的边构成形，内错角的边构成形，同旁内角的边构成形．利用同位角、内错角、同旁内角定义进行解答即可．【详解】解：的同位角是；的内错角是；的同旁内角是．故答案为：．34．（2024七年级上·全国·专题练习）社会热点情境•滑雪）中国滑雪天才少女谷爱凌在北京冬奥会的赛场上斩获“自由式滑雪大跳台”首金，这是她获得的首个冬奥会奖牌，也是中国运动员第一次参加冬奥会大跳台的比赛．项目图标如图；则在下列判断中①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是同旁内角；④与是内错角，其中正确的有．（只填序号）【答案】①②④【分析】本题考查对顶角，三线八角，根据对顶角和三线八角的定义，逐一进行判断即可．【详解】解：由图可知：与是对顶角；故①正确；与是同旁内角；故②正确；与是邻补角；故③错误；与是内错角；故④正确；故答案为：①②④．35．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，，为上一点，且，垂足为F，，平分，且，则下列结论：①；②；③；④∠；其中正确的有．（请填写序号）【答案】①④/④①【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，垂线的定义，先由平行线的性质得到，，，再由角平分线的定义得到，则由平角的定义可得，据此可判断②；由垂线的定义得到，则，再由平行线的性质得到，据此可判断①；先证明，得到，则，据此可判断③；分别求出，，，据此可判断④．【详解】解：，，，，，平分，，∴，故②错误；，即，，，∵，∴，故①正确，，∴，，，，故③错误；，，，，，故④正确；综上所述，正确的有①④，故答案为：①④．三、解答题36．（24-25七年级下·全国·单元测试）（1）如图，，，，求的度数；（2）若把（1）中的“”去掉，则的度数是多少？【答案】（1）；（2）【分析】本题主要考查了垂直的定义、角的和差等知识点，熟练掌握垂直的定义以及角的等量代换解决问题是解题的关键．（1）根据已知，根据角的等量关系及等量代换求解即可；（2）根据可得，再利用角的等量代换求解即可．【详解】（1）解：∵，∴．∵，∴．∵，∴，∴，∴．（2）解：∵，∴，∴．37．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知直线相交于点，且平分．(1)与______互为邻补角；(2)与互为补角的是哪些角？请说明理由；(3)若，求的度数．【答案】(1)(2)与互为补角的角是．理由见解析(3)【分析】本题考查了对顶角，邻补角，角平分线的定义，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．（1）由邻补角的定义可直接得出；（2）由邻补角的定义和角平分线的定义可得出结论；（3）由的度数可得出的度数，再结合角平分线的性质可得出的度数．【详解】（1）由图形可知，∴与和互为邻补角，故答案为：和．（2）和，理由如下：由图形可知，，∵平分，，，∴的补角有和．（3））∵，平分，38．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，直线相交于点O，，平分，求的度数．

请将以下解答过程补充完整：解：是直线上一点°．°平分，∴＝°．【答案】【分析】本题考查对顶角、邻补角以及角平分线，掌握邻补角、角平分线的定义是正确解答的关键．根据平角的定义，角平分线的定义进行计算即可．【详解】解：∵O是直线上一点，，，，∵平分，∴．故答案为：.39．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知．(1)如图①，若，求的度数；(2)如图②，若，求的度数；(3)根据（1）（2）的结果猜想与的关系，并根据图①说明理由．【答案】(1)(2)(3)．理由见解析【分析】本题考查了垂线，角的和差，解题的关键是利掌握以上知识点．（1）根据垂线的定义，可得与的度数，根据余角的定义，可得的度数，根据角的和差，可得答案；（2）根据角的和差，可得答案；（3）根据题意得出，，再根据角的和差，可得答案【详解】（1）解：∵，∴，∴，∴．（2）解：由（1）可知，，∴．（3）解：．理由如下：由题图①，得，．∵，∴．40．（24-25七年级上·福建漳州·期末）如图，点O是直线上一点，，且、位于直线两侧，平分．(1)当时，求的度数．(2)请你猜想和的数量关系，并说明理由．【答案】(1)(2)，理由见解析【分析】本题考查了角平分线的性质，邻补角互补的知识，掌握以上的知识是解题的关键