专题08 反比例函数（解析版）

专题08反比例函数课标要求考点考向结合具体情景体会反比例函数的意义，归纳反比例函数的一般形式；能由已知条件运用待定系数法确定反比例函数的表达式；能利用描点法画出反比例函数的图象，根据反比例函数的图象和表法是探索并理解其性质；能用反比例函数解决某些实际问题。反比例函数考向一反比例函数增减性考向二反比例函数解析式考向三实际问题与反比例函数考向四反比例函数与几何结合考点反比例函数►考向一反比例函数增减性1．已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数的性质得到函数的图象分布在第二、四象限，在每一象限，y随x的增大而增大，结合三点的横坐标即可求解，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．【详解】解：∵，∴函数的图象分布在第二、四象限，在每一象限，y随x的增大而增大，∵，∴∴，故选：C．2．（2024·江苏徐州·中考真题）若点、、都在反比例函数的图象上，则a、b、c的大小关系为．【答案】【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，判断反比例函数的增减性，根据解析式得到反比例函数的函数图象在二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，再根据三个点的横坐标判断A，B，C三点的位置，从而根据增减性判断a，b，c的大小即可．【详解】解：∵在反比例函数中，，∴反比例函数的函数图象在二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，∵、、，∴A在第二象限，B，C在第四象限，∴，∵，∴，∴，故答案为：．3．（2024·江苏无锡·中考真题）某个函数的图象关于原点对称，且当时，随的增大而增大．请写出一个符合上述条件的函数表达式：．【答案】（答案不唯一）【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质结合已知条件解题即可．【详解】解：根据题意有：，故答案为：（答案不唯一）►考向二反比例函数解析式1．（2024·江苏扬州·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图像与坐标轴的交点个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】B【分析】根据函数表达式计算当时y的值，可得图像与y轴的交点坐标；由于的值不可能为0，即，因此图像与x轴没有交点，由此即可得解．本题主要考查了函数图像与坐标轴交点个数，掌握求函数图像与坐标轴交点的计算方法是解题的关键．【详解】当时，，∴与y轴的交点为；由于是分式，且当时，，即，∴与x轴没有交点．∴函数的图像与坐标轴的交点个数是1个，故选：B．2．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、B2,1．(1)求一次函数、反比例函数的表达式；(2)连接，求的面积．【答案】(1)，(2)【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题：（1）待定系数法求出函数解析式即可；（2）设直线与轴交于点，分割法求出的面积即可．【详解】（1）解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、B2,1，∴，∴，∴反比例函数的解析式为：，，∴，解得：，∴一次函数的解析式为：；（2）解：设直线与轴交于点，∵，∴当时，，∴，∴的面积．3．（2024·江苏盐城·中考真题）小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图像，并把矩形直尺放在上面，如图．请根据图中信息，求：(1)反比例函数表达式；(2)点C坐标．【答案】(1)(2)【分析】本题考查反比例函数、锐角三角函数：（1）设反比例函数表达式为，将点A的坐标代入表达式求出k值即可；（2）设点C的坐标为，则，，根据平行线的性质得，进而根据求出m的值即可．【详解】（1）解：由图可知点A的坐标为-3,2设反比例函数表达式为，将-3,2代入，得：，解得，因此反比例函数表达式为；（2）解：如图，作轴于点E，轴于点D，由图可得，，设点C的坐标为，则，，，矩形直尺对边平行，，，，即，解得或，点C在第二象限，，，点C坐标为．►考向三实际问题与反比例函数1．（2024·江苏南通·中考真题）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流I不能超过10A，那么用电器可变电阻R应控制的范围是．【答案】【分析】本题考查反比例函数的实际应用，根据图象求出反比例函数的解析式，进而求出时，电阻R的值，根据增减性，求出电阻R应控制的范围即可．【详解】解：由图象，设，把代入，得：，∴，当时，，∵随着的增大而减小，∴如果以此器电池为电源的用电器的限制电流I不能超过10A时，；故答案为：．2．（2024·江苏连云港·中考真题）杠杆平衡时，“阻力阻力臂动力动力臂”．已知阻力和阻力臂分别为和，动力为，动力臂为．则动力关于动力臂的函数表达式为．【答案】【分析】本题考查了根据实际问题列反比例函数关系式，根据题意可得，进而即可求解，掌握杠杆原理是解题的关键．【详解】解：由题意可得，，∴，即，故答案为：．3．某型号蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，即，它的图象如图所示，则蓄电池的电压U为（V）．【答案】64【分析】此题主要考查了反比例函数的应用．根据函数图象可用电阻R表示电流I的函数解析式为，其中U为电压，再把代入可得U的值．【详解】解：设用电阻R表示电流I的函数解析式为，∵过，∴（V），故答案为：64．►考向四反比例函数与几何结合1．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，点A在双曲线上，连接AO并延长，交双曲线于点B，点C为x轴上一点，且，连接，若的面积是6，则k的值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】本题考查了反比例函数的的几何意义，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键．过点A作轴，过点B作轴，根据相似三角形的判定和性质得出，确定，然后结合图形及面积求解即可．【详解】解：过点A作轴，过点B作轴，如图所示：∴，∴，∵点A在双曲线上，点B在，∴∴，∴，∴，∴，∵，轴，∴，∵，∴，∴∴∴，故选：C．2．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，三角形相似的判定和性质，数形结合是解题的关键．过A作轴于C，过B作轴于D，证明，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可．【详解】解：过A作轴于C，过B作轴于D，∴，，，∵，∴，∴，∴，即，∴（负值舍去），故选：A．3．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，中，，，A-2,0，，反比例函数的图象与交于点，与交于点E．

(1)求m，k的值；(2)点P为反比例函数图象上一动点（点P在D，E之间运动，不与D，E重合），过点P作，交y轴于点M，过点P作轴，交于点N，连接，求面积的最大值，并求出此时点P的坐标．【答案】(1)，(2)最大值是，此时【分析】本题考查了二次函数，反比例函数，等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是：（1）先求出B的坐标，然后利用待定系数法求出直线的函数表达式，把D的坐标代入直线的函数表达式求出m，再把D的坐标代入反比例函数表达式求出k即可；（2）延长交y轴于点Q，交于点L．利用等腰三角形的判定与性质可得出，设点P的坐标为，，则可求出，然后利用二次函数的性质求解即可．【详解】（1）解：，，．又，．，点．设直线的函数表达式为，将A-2,0，代入，得，解得，∴直线的函数表达式为．将点代入，得．．将代入，得．（2）解：延长交y轴于点Q，交于点L．

，，．轴，，．，，，．设点P的坐标为，，则，．．．当时，有最大值，此时．1．（2024·江苏扬州·三模）在中，有两点，则与的关系满足下列哪个选项（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，函数图象上的点的坐标符合函数解析式．同时要熟悉反比例函数的增减性．由，，从而可得答案．【详解】解：在中，有两点，∴，，∴，故选C2．（2024·江苏扬州·二模）某小组为了研究一组数据变化规律，将数据通过描点、连线得到相应的图象如图所示，若选择的函数模型是，则（）A．， B．， C．， D．，【答案】C【分析】本题考查了函数的图象．根据函数的增减性和图象上点的符号推断求解．【详解】解：是有函数向上平移个单位得到的，随的增大而增大，，时，，，故选：C．3．（2024·江苏南通·一模）定义：在平面直角坐标系中，若经过x轴上一点P的直线l与双曲线m相交于M，N两点（点M在点N的左侧），则把的值称为直线l和双曲线m的“适配比”．已知经过点的直线与双曲线的“适配比”不大于2，则k的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题．先求出直线解析式，与反比例函数解析式联立方程组确定、的横坐标，利用平行线得到、的代数式，根据条件进行判断即可．【详解】解：在图象上，，，令，，△，与有两个交点，，，，，点的横坐标为，点的横坐标为，作于点，作轴于点，则，，，，，，，，，，，．，故选：B．4．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的面积为4，，反比例函数图像上，B的纵坐标为1，，则将此函数图像沿y轴对称后的函数图像表达式为．【答案】【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式与几何的综合，掌握数形集合思想成为解题的关键．设反比例函数解析式为，则；根据已知条件可得、；然后根据可得①以及的面积为4可得②；①、②联立解得：，即；然后求出关于y轴对称的解析式即可．【详解】解：设反比例函数解析式为，则∴，,∴，∵，∴①，如图：过A作轴，过B作轴，∵的面积为4，∴②，①、②联立解得：，经检验符合题意，所以此函数图像的解析为，所以将此函数图像沿y轴对称后的函数图像表达式为．故答案为．5．（2024·江苏南通·三模）已知为反比例函数上任意一点，过点作轴，轴且，则四边形的面积的最小值为．【答案】【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，本题借用考查四边形面积的最小值来考查反比例函数图象的应用，综合能力较强.先设再求出，根据四边形的面积然后再用配方法解答即可.【详解】解：设则，四边形的面积，，，当，即时，有最小值，故答案为：.6．（2024·江苏苏州·二模）如图，将一等腰直角三角形放置在平面直角坐标系的第一象限，其一锐角顶点与原点O重合，点A、点B正好经过一双曲线，则直角边与x轴所成锐角的正切值为．【答案】【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，矩形的性质，反比例函数图象上点的特征，解直角三角形，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．过点B作轴于点C，过点A作轴于点D交于点E，得到，则有，，设直角边与x轴所成锐角的正切值为，设点B的横坐标为x，则可得到，，然后根据点在双曲线上得到，解题即可．【详解】解：过点B作轴于点C，过点A作轴于点D交于点E，则是矩形，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，，设直角边与x轴所成锐角的正切值为，设点B的横坐标为x，则，，∴，，又∵点A、点B正好经过一双曲线，∴，解得或（舍去）故答案为：．7．（2024·江苏无锡·三模）如图，在平面直角坐标系第二象限中作等腰直角三角形，使得，，恰好经过双曲线上的A和B，求B点横坐标与纵坐标的比值为

【答案】【分析】本题主要考查了反比例函数的几何应用，三角形全等的判定和性质，过点B作轴于点C，过点A作于点D，证明，得出，，设点B的坐标为，，，得出点A的坐标为：，根据点A、B在反比例函数上，得出，求出或，得出即可．【详解】解：过点B作轴于点C，过点A作于点D，如图所示：

则，∵，∴，∴，∵，∴，∴，，设点B的坐标为，，，∴，，∴点A的坐标为：，∵点A、B在反比例函数上，∴，整理得：，∴，则或，∵，，∴舍去，∴．故答案为：．8．（2024·江苏盐城·二模）如图，点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限，连接，将绕它的中点P顺时针旋转得线段，点恰好落在y轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点．若，点Q是x轴上一动点，则点的最小值为．【答案】【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，轴对称-最短路线问题，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作轴于M，轴于N，通过证得得到，设，则利用梯形的中位线定理得到即可得到作关于轴的对称点为交轴于D，连接，交轴于Q，此时的值最小，最小值为由利用勾股定理求得m的值，即可求得)，得到利用勾股定理求得即可求得点的最小值，求得的坐标是解题的关键．【详解】解：作轴于M，轴于N，如图：在和中，，设，则∵P是的中点，的横坐标为，∵反比例函数的图象经过点，作关于轴的对称点为交轴于D，连接，交轴于Q，此时的值最小，最小值为在梯形中，是中位线，即解得，∴的最小值为，故答案为：9．（2024·江苏苏州·一模）如图直线与双曲线相交于点、，点在轴的负半轴上，且，点在双曲线上，线段的中点也在双曲线上，若平分，，则．【答案】【分析】先得出，结合角平分线的定义得出，因为以为底，平行线之间距离相等，即这两个三角形的高是相等的，得，再设，则，得证是的中位线，整理出，故，再代入化简得，即可作答．【详解】解：如图：分别过点E，D作，连接∵双曲线是中心对称图形且直线与双曲线相交于点、，∴∵∴∴∵平分，∴∴∴∴（都是以为底，平行线之间距离相等，即这两个三角形的高是相等的）设点，即，∵点是线段的中点，，∴，∴，∴，∴是的中位线，∴，∵点，点E在双曲线上，∴，，∴点E的横坐标为，∴，即，∴，即，∴，即，∴，∵D在第二象限内，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合、几何综合，平行线性质，中位线的判定与性质，平行线分线段成比例，综合性较强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键．10．（2024·江苏镇江·模拟预测）（1）由“函数与方程关系”可知：方程(可化为)的解，可看作函数的图象与函数的图象交点的横坐标，则方程的两个解，可看作直线__________与双曲线交点的横坐标；（2）若直线与双曲线()交于，，求不等式的解．（3）若点A的坐标是，直线l：与y轴交于点B，点C是直线l上一动点，过点C作x轴的垂线，交双曲线于D，若A，B，C，D四点是一个平行四边形的四个顶点，求D的坐标．【答案】（1）；（2）或；（3）或【分析】本题考查了反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数-动态几何问题．（1）把方程变形为，即可求解．（2）根据已知条件画出两函数的大致图象，即可求出不等式的解集．（3）由与y轴交于点B，得设，则，，分以对角线为AB、CD，对角线为、BD，对角线为AD、三种情况进行讨论，列出方程组，即可求解．【详解】（1）解：由左右同时除以x得，，所以，，所以，方程的两个解，可看作直线与曲线交点的横坐标．故答案是：．（2）解：直线与双曲线交于，，画出大致图形如下：由图可知，直线在双曲线上方时或∴不等式的解集为：x>2或；（3）解：∵与y轴交于点B，∴，根据题意，设，则，而，①若平行四边形对角线为AB、则AB的中点即是CD中点，∴，方程组无解；②若平行四边形对角线为、BD，则的中点即是BD中点，∴，化简整理得，无解；③若平行四边形对角线为AD、，则AD的中点即是中点，如图：∴，解得或，∴或．综上所述，的坐标为：或．11．（2024·江苏连云港·模拟预测）距离2024巴黎奥运会开幕还有不到3个月的时间，为抢占奥运商机，苏州一民营企业成功开发出成本价为4元/件的奥运特色商品，经市场调研发现：销售单价x（单位：元）与月销售量y（单位：万件）之间的关系如图所示，其中为反比例函数图象的一部分，为一次函数图象的一部分．(1)求出y与x之间的函数关系式；(2)设销售该商品月利润为w（万元），求出月利润的最大值．【答案】(1)(2)当每件的销售价格定为16元时，月利润的最大值为114万元【分析】本题考查反比例函数与二次函数的综合应用，反比例函数与一次函数的综合应用，理解题意，运用分类思想以及数形结合思想确定出函数解析式是解题的关键．（1）依据待定系数法，分情况即可求出（万件）与（元件）之间的函数关系式；（2）分、两种情况，分别求出的最大值，进而求解．【详解】（1）解：当时，设，将代入得，与之间的函数关系式为；当时，设，将，代入得，解得，与之间的函数关系式为，综上所述，；（2）解：当时，，，随的增大而增大，故当时，取得最大值为80；当时，，，故函数有最大值，当时，，，当每件的销售价格定为16元时，月利润的最大值为114万元．12．（2024·江苏泰州·二模）如图，已知，，三点在反比例函数的图像上，且．(1)当时，请比较与的大小关系，并说明理由；(2)若，，求该函数的表达式．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了反比例函数的几何综合以及解分式方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）先因为，所以，，，再代入，得出，再比较与的大小关系，即可作答．（2）先表示，再结合，，解方程组，即，得出，再代入，即可作答．【详解】（1）解：∵已知，，三点在反比例函数的图像上，且∴，，则则，∵∴（2）解：∵已知，，三点在反比例函数的图像上∴∵，，∴整理得，∴解得，（舍去）经检验：是原分式方程的解，∴．∴13．（2024·江苏扬州·二模）我国著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，“数缺形时少直观，形少数时难入微”．请你利用“数形结合”的思想解决以下问题：【结论探究】（1）从“数”的角度证明：；（2）从“形”的角度说明：当，时，；【结论应用】（3）若中，，．的两个顶点、在第一象限，在第三象限）都在反比例函数的图象上，经过原点．①尺规作图：请在图中作出一个周长最小的；②请用探究的结论证明所作的周长最小．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①见解析；②见解析【分析】（1）运用完全平方公式和非负数的性质即可；（2）由完全平方公式的几何背景进行解答即可；（3）①按要求作图即可；②由题意得：，即，利用勾股定理可得，故的周长，运用（1）的结论即可．【详解】（1）证明：，，；（2）从“形”的角度说明：如图，在中，，于，为的中线，且，，则；证明：，为中线，，，，又，，，，根据垂线段最短，可得，，即，；（3）①作直线，交反比例函数图象于、两点，过点作，使，连接，如图所示，即为所求；②中，，，，，，的周长，设，则，，当且仅当，即时，取得最小值，此时，的周长最小值为，即、均在直线上，故①中所作周长最小．【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，尺规作图，相似三角形的判定和性质，勾股定理，反比例函数的图象上点的坐标特征等，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．14．（2024·江苏扬州·一模）如图1，已知点Aa,0，，反比例函数与直线AB有唯一一个交点．(1)当，时，求直线的解析式及k的值；(2)当的面积为10时，求k的值；(3)当，且k的最大值为9时，将此时的直线沿着x轴正半轴方向移动，交反比例函数于点C、D（如图2），若点C是线段的中点，求平移的距离．【答案】(1)；(2)(3)平移的距离为【分析】（1）运用待定系数法即可求得直线的解析式，再联立方程组后运用根的判别式即可求得的值；（2）由的面积为10，可得出，运用待定系数法可得直线的解析式为，联立方程组整理得，运用根的判别式可得，即；（3）根据和反比例函数k值几何意义得出，从而得出当时，取最大值，解出，平移前点，得出．平移后，如图，过点分别作轴，轴，轴，设点，则，根据，得出，．证明，得出，点，得出，解得，从而得出平移后点，即可求出平移的距离．【详解】（1）解：当时，，设直线的解析式为，则，解得：，∴直线的解析式为，联立得，整理得：，∵反比例函数与直线有唯一一个交点，∴，∴；（2）∵的面积为10，，，设直线的解析式为，把代入得：，解得：，∴直线的解析式为，联立得，整理得：，∵反比例函数与直数有唯一一个交点，，．（3）∵，∴，∴，∴当时，取最大值，∴，∵，∴．∴，，∴平移前点．∴，∴．平移后，如图，过点分别作轴，轴，轴，设点，则，∵平移，所以，∴，∴．∵点是中点，且，∴，∴，∴，∴点，∴，解得．∵，∴．∴平移后点，∴平移的距离为．【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法，一次函数与反比例函数的图象交点，相似三角形的性质和判定，平移的性质，一元二次方程根的判别式和根与系数关系的应用等，熟练掌握反比例函数的图形和性质，一次函数的性质，平移的性质等知识是解题的关键．15．（2024·江苏扬州·二模）【性质认识】如图①、图②，在函数的图象上任取两点A，B向坐标轴作垂线，连接垂足C，D或E，F，直线与坐标轴交于点M，N，则一定有如下结论：，．【数学理解】（1）如图①，借助【性质认识】的结论，若，则系数______；（2）如图②，若，点A的坐标为，那么点B的坐标为______．（3）如图②，借助[性质认识]的结论，求证：．【问题解决】（4）如图③，函数的图象两个分支分别位于第一、三象限，点A，B是第一象限内分支上的两个动点（点A在点B的左侧），连接BA并延长交y轴于点C，请仅用无刻度直尺，在y轴上作点M，使得，请写出你的作法，并说明理由．【答案】（1）2；（2）；（3）见解析；（4）见解析【分析】（1）借助【性质认识】的结论，可以得到，可以证明四边形为平行四边形，所以，同理，四边形为平行四边形，所以，即，进而求出；（2）仿（1），先证明四边形为平行四边形，所以，同理，可证四边形为平行四边形，所以，所以，进而求出，根据三角函数的定义求得，根据点，都在反比例函数的图象上，即可求出点的坐标；（3）由（2）可知四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，，得到，，代入，化简即可求得结论；（4）要证，只需要证明，过作轴于，过作轴于，过作轴于，可得，，由题可得，，关于点成中心对称，所以，又，可证为等腰三角形，所以，因为，所以，因为，所以，所以．【详解】（1）解：，理由如下：轴，∴，由【性质认识】的结论可得，四边形是平行四边形，，同理，四边形是平行四边形，，，，，．故答案为：2；（2）解：轴，∴，由【性质认识】的结论可得，四边形为平行四边形，，同理，四边形为平行四边形，，，，，，，，，点的坐标为，，点的纵坐标为，点，都在反比例函数的图象上，点的横坐标为，点的坐标为．故答案为：；（3）证明：由（2）可知四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，，，，；（4）证明：如图，作直线，交反比例函数图象的另一个分支于点，再连接，交轴于点，则点即为所求．如图，过作轴于，过作轴于，过作轴于，连接，．函数的图象与过原点的直线相交于、两点，，两点关于成中心对称，，，垂直平分，，，∵，，∵，，．【点睛】本题是一道反比例函数综合题，考查了学生探究应用的能力，能根据已给的结论去解决问题，对学生的知识迁移能力有一定要求．16．（2024·江苏镇江·二模）如图，矩形的对角线相交于点O，以A为坐标原点，、所在直线分别为x轴、y轴，建立如图所示平面直接坐标系，点C的坐标为，反比例函数的图像与矩形的边、分别交于点E、F，与对角线交于点G．(1)若点G与点O重合，则；(2)连接，求证：；(3)当时，求的值．【答案】(1)6(2)见解析(3)【分析】（1）当点G与点O重合时，则，再利用待定系数法求解即可；（2）证明，而，可得，则，从而可得答案；（3）过作于，过作于，可得，，，证明，利用相似三角形的性质进一步求解即可．【详解】（1）解：∵矩形，∴，∵，∴点G与点O重合时，，∴，∴反比例函数为：；（2）由题意得、∴CE=；CF=；∴，，∴，而，∴，∴，∴；（3）如图，当时，而则，过作于，过作于，∴，，，∴，∴∴，∴，∴．【点睛】本题考查的是矩形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，求解反比例函数解析式，熟练的利用相似三角形的性质解题是关键．17．（2024·江苏泰州·一模）如图所示，在平面直角坐标系中，点是y轴正半轴上一点，点B是反比例函数图像上的一个动点，连接，以为一边作正方形，使点D在第一象限．设点B的横坐标为m()．

(1)若，求点B和点D的坐标；(2)若，点D落在反比例函数图像上，求m的值；(3)若点D落在反比例函数图像上，设点D的横坐标为n()，试判断是否为定值？并说明理由．【答案】(1)，(2)(3)是定值，见解析【分析】本题考查了反比例函数，正方形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握相关内容是解题的关键．（1）将代入反比例函数为，求出点B的坐标，作轴于点E，作轴于点F，证明，利用，，即可求解；（2）将代入中，得到点B的坐标，作轴于点E，作轴于点F，证明，利用，，得到点D的坐标，再根据点D落在反比例函数图像上，代入反比例解析式即可求解；（3）将代入中，得到点B的坐标，作轴于点E，作轴于点F，证明，利用，，得到点D的坐标，再点D落在反比例函数图像上，点D的横坐标为n，利用坐标相等即可求解；【详解】（1）当时，反比例函数为，若，则将代入中，得，点B的坐标是，作轴于点E，作轴于点F，如图所示，

四边形是正方形，，，，，，又，，，，，，点D的坐标是．（2）当时，反比例函数为，将代入中，得，点B的坐标是，作轴于点E，作轴于点F，如图所示，

四边形是正方形，，，，，，又，，，，，，点D的坐标是，点D落在反比例函数图像上，，化简得，即解得：，．（3）是定值，理由如下：将代入中，得,点B的坐标是，作轴于点E，作轴于点F，如图所示，

四边形是正方形，，，，，，又，，，，，，点D的坐标是，点D落在反比例函数图像上，点D的横坐标为n，点D的坐标是，，，，，，，为定值.18．（2024·江苏南通·一模）某公司今年推出一款产品．根据市场调研，发现如下信息．信息1：每月的销售总量y（件）和销售单价x（元/件）存在函数关系，其图象由部分双曲线和线段组成．信息2：该产品2月份的单价为66元/件，3月份的单价降低至45元/件，在生产成本不变的情况下，这两月的销售利润相同．根据以上信息，解答下列问题：(1)求该产品的生产成本；(2)该公司计划在4月份通过技术改造，使生产成本降低，同时继续降低销售价格，使得4月份的销售利润不低于3月份．求4月份该产品销售单价的范围．【答案】(1)该产品的生产成本为38元/件(2)4月份该产品销售单价的范围是【分析】本题考查了反比例函数的应用，解不等式，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键．（1）根据题意得到．把代入解析式得到，设该产