专题8.1平方根 解析版

专题8.1平方根【考点梳理】考点一：平方根的概念考点二：求一个数的（算术）平方根考点三：算术平方根的非负性解题考点四：算术平方根的取值范围考点五：算术平方根有关的规律探索题考点六：平方根的实际问题考点七：平方根的综合问题【知识梳理】知识点一、平方根算术平方根：如果一个正数x的平方等于a,即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。a的算术平方根记为，读作“根号a”，a叫做被开方数。0的算术平方根是0。平方根:如果一个数x的平方等于a,即x2=a（x可能为正数，也可能为负数），那么x就叫做a的平方根(二次方根).开平方：求一个数a的平方根的运算,叫做开平方.平方与开平方互为逆运算。知识点二：平方根的表示方法:如果x2=a(a≥0),那么x=，读作“正负根号a”。表示a的正的平方根。表示a的负的平方根。规定：正数a的正的平方根叫做a的算数平方根；0的算数平方根是0.技巧归纳：1、正数有两个平方根，它们互为相反数；2、0的平方根是0；3、负数没有平方根。【题型探究】题型一：平方根的概念1．（24-25七年级下·全国）下列说法：①36的平方根是6；②的平方根是；③0.01是0.1的平方根；④的平方根是4；⑤81的算术平方根是．其中正确的有（

）A．0个 B．1个 C．3个 D．5个【答案】A【分析】本题运用了平方根和算术平方根的性质，利用平方根和算术平方根的性质可求解．【详解】解：①36的平方根是，故①错误；②9的平方根是，没有平方根，故②错误；③0.1是0.01的算术平方根，故③错误；④的平方根是，故④错误；⑤81的算术平方根是9，故⑤错误．故选：A．2．（24-25七年级下·全国）下列各数：，．其中有平方根的数共有（

）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】B【分析】本题考查了平方根，解决本题的关键是掌握一个正数有两个平方根，零的平方根是零，负数没有平方根．先化简，根据正数和0有平方根即可解答．【详解】解：，，，∴48，，0，共4个数有平方根，，，共3个没有平方根，故选：B．3．（24-25七年级下·全国）下列命题：①只有正数才有平方根；②是的一个平方根；③的平方根是；④是的平方根；⑤的平方根是；⑥的平方根是．其中正确的是（

）A．①②④ B．②⑤ C．③④⑥ D．②④【答案】D【分析】本题考查了平方根，解题的关键是注意任何正数都有个平方根，的平方根是，负数没有平方根．利用平方根的定义依次进行判断即可．【详解】解：①中，由于有平方根为，故①错误；②中，的平方根是，故是的一个平方根，故②正确；③中，的平方根式，故③错误；④中，是的平方根，故④正确；⑤中，，的平方根是，故的平方根是，故⑤错误；⑥中，，负数没有平方根，故⑥错误．故正确的是②④．故选：D．题型二：求一个数的（算术）平方根4．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列说法正确的是（

）A．的平方根是 B．的算术平方根是5C．的平方根是 D．1的平方根和算术平方根都是1【答案】A【分析】此题主要考查了平方根、算术平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．根据平方根、算术平方根的性质和应用，逐项判定即可．【详解】解：A、的平方根是，正确，故此选项符合题意；B、的算术平方根是，原说法错误，故此选项不符合题意；C、的平方根是，原说法错误，故此选项不符合题意；D、1的平方根是，1的算术平方根都是1，原说法错误，故此选项不符合题意；故选：A．5．（22-23七年级下·河南省直辖县级单位·期中）下列各式中，正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了平方根与算术平方根，熟练掌握平方根与算术平方根是解题关键．根据平方根与算术平方根的定义逐项判断即可得．【详解】解：A、，此项错误，不符合题意；B、，此项错误，不符合题意；C、，此项正确，符合题意；D、，此项错误，不符合题意；故选：C．6．（21-22七年级下·四川泸州·期末）下列写法正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题主要考查平方根和算术平方根，熟练掌握平方根和算术平方根的符号表示是关键．根据平方根以及算术平方根的意义，即可判断．【详解】解：A、，故原式错误，不符合题意；B、，故原式错误，不符合题意；C、，故原式正确，符合题意；D、，原式错误，不符合题意；故选：C．题型三：算术平方根的非负性解题7．（23-24七年级下·河南周口·期中）若，且，则的值是（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】本题考查绝对值、算术平方根、平方根，本题主要考查了求代数式的值，首先依据绝对值和平方根的定义求得、，然后结合条件，进行分类计算即可，解题的关键是理解绝对值、算术平方根、平方根的定义．【详解】解：∵，，∴，，∵，∴，，则；，，则；故选：．8．（23-24七年级下·云南文山）已知实数满足，那么的值为（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】本题考查了立方根，非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．根据非负数的性质列式求出a、b的值．【详解】解：∵，且，∴，解得∴，故选：B．9．（24-25七年级下·全国·课后作业），则的值为（

）A．1 B． C．2 D．【答案】A【分析】本题考查了非负数的性质，根据非负数的性质得，，求出m、n的值，再代入计算即可．【详解】解：∵，∴，，解得：，，∴．故选：A．题型四：算术平方根的取值范围10．（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）与最接近的整数是（

）A．0 B．2 C．4 D．5【答案】B【分析】本题考查了无理数的估算，根据，即可求解．【详解】解：∵，与最接近的整数是，故选：B．11．（23-24八年级上·山东济南·阶段练习）估计的值在（

）A．0到1之间 B．1到2之间 C．2到3之间 D．3到4之间【答案】B【分析】此题主要考查了估算无理数的大小，注意首先估算被开方数在哪两个相邻的平方数之间，再估算该无理数在哪两个相邻的整数之间．首先确定的取值范围，再确定的范围即可．【详解】解：∵，∴，∴即，故选：B．12．（24-25八年级上·河南郑州·期末）已知均为正数，且，，则下列说法正确的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】本题考查的是算术平方根的性质，掌握算术平方根的性质是解题关键，由题意得，，即可解决．【详解】解：均为正数，且，，，，故选：C．题型五：算术平方根有关的规律探索题13．（23-24七年级下·全国·期中）如图所示为一个按某种规律排列的数阵：第一行第二行第三行第四行根据数阵规律，第八行倒数第三个数是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了数字的变化，算术平方根，观察题目找出解题点是解题的关键．根据数阵的规律可知：被开方数是连续的正整数，根据每一行的最后一个数的被开方数是所在的行数乘比行数大1的数，可得结论．【详解】解：第1行的最后一个数是，第2行的最后一个数是，第3行的最后一个数是，……第8行最后一个数字为，∴第8行倒数第三个数是，故选：C．14．（24-25七年级下·全国·课后作业）根据表中的信息判断，下列结论中，错误的个数是（

）x15225x①；②235的算术平方根比小；③；④根据表中数据的变化趋势，可以推断出比增大．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】本题考查了算术平方根，根据表格中的信息可知和其对应的算术平方根的值，然后依次判断各选项即可．熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．【详解】解：①，故本选项正确，不符合题意；②235的算术平方根比大，故本选项错误，符合题意；③，故本选项错误，符合题意；④根据表中数据的变化趋势，可以推断出比增大，故本选项错误，符合题意；综上分析可知：错误的有3个．故选：C．15．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）观察下表，被开方数a的小数点的位置移动和它的算术平方根的小数点的位置移动符合一定的规律．a11001000010000001101001000若，则（

）A． B． C． D．1414【答案】B【分析】此题考查的是算术平方根的探索规律题，掌握被开方数的小数点位置移动和它的算术平方根的小数点位置移动规律是解决此题的关键．根据题意和表格中数据的变化规律，可以求得的值．【详解】解：∵，∴，故选：B．题型六：平方根的实际问题16．（23-24八年级上·北京石景山·期中）将边长分别为1和2的长方形如图剪开，拼成一个与长方形的面积相等的正方形，则该正方形的边长最接近整数(

)A．0 B．3 C．1 D．2【答案】C【分析】本题主要考查算术平方根，根据算术平方根的定义解决此题．【详解】解：设拼成后的正方形的边长为．由题意得，．∴．∴该正方形的边长最接近整数1．故选：C．17．（20-21七年级上·浙江宁波·期末）将尺寸如图的4块完全相同的长方形薄木块（厚度忽略不计）进行拼摆，恰好可以不重叠地摆放在如图的甲、乙两个方框内．已知小木块的宽为2，图甲中阴影部分面积为19，则图乙中AD的长为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设木块的长为x，结合图形知阴影部分的边长为x-2，根据其面积为19得出（x-2）2=19，利用平方根的定义求出符合题意的x的值，由AD=2x可得答案．【详解】解：设木块的长为x，根据题意，知：（x-2）2=19，则，∴或（舍去）则，故选：C．【点睛】本题主要考查算术平方根，解题的关键是结合图形得出木块长、宽与阴影部分面积间的关系．18．（22-23七年级下·河北石家庄·阶段练习）数学实践课上，老师给同学们提供面积均为的正方形纸片，要求沿着边的方向裁出长方形．小明、小丽两位同学设计出两种裁剪方案．小明的方案：能裁出一个长宽之比为，面积为的长方形；小丽的方案：能裁出一个长宽之比为，面积为的长方形．对于这两个方案的判断，符合实际情况的是（

）A．小明、小丽的方案均正确 B．小明的方案正确，小丽的方案错误C．小明、小丽的方案均错误 D．小明的方案错误，小丽的方案正确【答案】C【分析】先求出正方形纸片的边长，再利用长方形的面积公式分别求出裁出的长方形的长、宽，由此即可得．【详解】解：正方形纸片的面积为，正方形纸片的边长为，小明的方案：设裁出的长方形的长为，则宽为，由题意得：，解得或（不符合题意，舍去），则长为，，，所以小明的方案错误；小丽的方案：设裁出的长方形的长为，则宽为，由题意得：，解得或（不符合题意，舍去），则长为，，，所以小丽的方案错误，故选：C．【点睛】本题考查了算术平方根、实数的大小比较、利用平方根解方程，熟练掌握实数的大小比较方法是解题关键．题型七：平方根的综合问题19．（24-25七年级下·全国）求下列各数的平方根：(1)121； (2)0.81； (3)； (4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本题考查求一个数的平方根．熟练掌握平方根的定义，是解题的关键．（1）根据平方根的定义，进行求解即可；（2）根据平方根的定义，进行求解即可；（3）根据平方根的定义，进行求解即可；（4）根据平方根的定义，进行求解即可．【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．20．（24-25七年级下·全国）如果一个正数的正的平方根是，且的平方根是．(1)求的值；(2)求这个正数的值及的平方根．【答案】(1)(2)，的平方根是【分析】本题考查了平方根的定义，解题的关键是掌握平方根的定义．（1）由题意得：，求出，进而得到，推出即可求解；（2）根据求出的值，再根据平方根的定义即可求的平方根．【详解】（1）解：由题意得：，，，，；（2），的平方根是，，的平方根是．21．（2025七年级下·全国·专题练习）计算探究题：(1)①______，___________，______；②对于任意负数a，等于多少？(2)根据上面发现的规律，求的算术平方根．【答案】(1)①，11，13；②(2)【分析】此题主要考查了算术平方根的计算以及规律的探究，根据已知能准确归纳探究结果并能运用其正确化简是解题的关键，此题重点培养学生的归纳应用能力．（1）①分别计算各式的值即可；②根据算术平方根的定义进行计算即可；（2）根据（1）中的结论进行化简即可．【详解】（1）解：①，，，故答案为：，11，13；②，；（2）解：由题意得：【高分演练】一、单选题22．（24-25七年级下·全国）下列计算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查了求一个数的平方根，算术平方根，掌握平方根，算术平方根的计算是解题的关键．根据求一个数的平方根，算术平方根的计算方法计算即可求解．【详解】解：A、，无意义，不符合题意；B、，原选项错误，不符合题意；C、，正确，符合题意；D、，原选项计算错误，不符合题意；故选：C．23．（2025七年级下·全国）如图所示的是一个数值转换器．若要输入一个100以内的正整数，使输出的的值为，则符合条件的的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】本题主要考查了实数的混合运算，算术平方根的意义．本题是操作型题目，准确理解程序图中的程序并熟练操作是解题的关键．利用程序图中的程序进行计算即可．【详解】解：当输入时，输出，当输入时，∵∴输出，当输入时，，，∴输入一个100以内的正整数，使输出的的值为，则符合条件的的个数为3个．故选：C．24．（24-25七年级下·全国）一个正数的正的平方根是，那么比这个正数大的数的平方根是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】此题考查的是求平方根，掌握平方根的定义是解题的关键．根据平方根的定义求出这个正数，即可求解．【详解】解：一个正数的正的平方根是，这个正数是，比这个正数大的数的平方根是，故选：D．25．（24-25七年级下·全国）若，则x的算术平方根是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查算术平方根，先根据算术平方根的定义求出x的值，再根据算术平方根的定义可得答案．【详解】解：∵，∴，∴，∴x的算术平方根是．故选：C．26．（24-25七年级下·全国）下列各数：，其中一定有平方根的数有（

）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】B【分析】本题考查了平方根的定义．根据有理数的乘方和绝对值的性质进行计算并判断出各数的正负情况，再根据正数和0有平方根解答．【详解】解：0有平方根，，有平方根，，有平方根，，没有平方根，，没有平方根，，有平方根，中，当时，没有平方根，综上所述，一定有平方根的数共有4个．故选：B．27．（24-25七年级下·全国·单元测试）七年级（一）班在大课间开展了一个叠报纸游戏，将两张面积为的正方形报纸放在地上，每张报纸上站一个人，他们与对方相互猜拳（剪刀石头布），输掉的人须将脚下的报纸对折后再站在上面，谁的脚先落地则游戏失败．若一个人猜拳输了两次后叠成的报纸仍为正方形，此时报纸的边长是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查的是算术平方根的应用，先求出两次对折后的正方形的面积，根据算术平方根得出结论即可．【详解】解：∵正方形报纸的面积为，对折两次后仍为正方形，∴此时报纸的面积为，∴此时报纸的边长为，故选：B．28．（2025七年级下·全国·专题练习）下列正确的是（）A．6是36的算术平方根，即B．6是的算术平方根，即C．是49的平方根，即±D．是4的平方根，即【答案】B【详解】本题考查平方根、算术平方根的概念，根据平方根、算术平方根的定义逐项进行判断即可．【解答】解：A．6是36的算术平方根，即，因此选项A不符合题意；B．6是的算术平方根，即，因此选项B符合题意；C．是49的平方根，即，因此选项C不符合题意；D．是4的平方根，即，因此选项D不符合题意．故选：B．29．（24-25七年级上·全国·假期作业）已知，，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的定义．由得到，即可求解．【详解】解：，，，故选：B．30．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知实数a，b，c满足，那么的值为（

）A．0 B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了绝对值非负性、算术平方根的非负性，由题意得：，据此即可求解；【详解】解：由题意得：，解得：，∴，故选：C31．（22-23七年级下·河南商丘·期中）若，，，则a，b，c的大小关系是（）.A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了平方根、立方根的性质等知识点，灵活运用平方根、立方根的性质成为解题的关键.先根据平方根、立方根的性质化简，然后再根据有理数的大小比较法则比较大小即可.【详解】解：∵，，，∴.故选B.二、填空题32．（24-25七年级下·全国·课后作业）如果一个数的平方根是，那么这个数是．【答案】121【分析】本题考查了平方根的计算，掌握平方个的计算方法是解题的关键．根据求一个数的平方根的计算方法计算即可．【详解】解：∵，∴，∴这个数是，故答案为：．33．（2025七年级下·全国·专题练习）已知，．若，则的值为．【答案】【分析】本题考查平方根和代数式求值，根据可知，再根据平方根的定义求解a，b，然后求解的值即可．【详解】解：∵，∴，∵，，∴，或，，∴当，时，，当，时，．故答案为：．34．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知的算术平方根是，，则的值是．【答案】7【分析】本题考查了算术平方根，解决本题的关键是掌握算术平方根的定义．根据算术平方根得到关于、的方程，解得和的值，然后再代入求值即可．【详解】解：的算术平方根是，，，故答案为：7．35．（24-25七年级下·全国·期中）若，则．【答案】【分析】由绝对值的非负性、算术平方根的非负性及完全平方数的非负性可得，，，解方程即可求出、、的值，然后将其代入求值即可．【详解】解：，，，，解得：，，，，故答案为：．【点睛】本题主要考查了绝对值非负性，利用算术平方根的非负性解题，代数式求值等知识点，熟练掌握绝对值的非负性、算术平方根的非负性及完全平方数的非负性是解题的关键．36．（24-25七年级下·全国·课后作业）利用计算器，得，，，．按此规律，可得的值约为（精确到0.01）．【答案】【分析】本题是算术平方根的计算．根据算术平方根的性质求解即可．【详解】解：∵，∴，故答案为：．37．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知．当分别取，，，，时，所对应值的总和是．【答案】【分析】本题考查了算术平方根的性质、绝对值的化简等知识点，掌握算术平方根的性质：是解题关键．先化简求出的表达式，再分类化简绝对值，再将的取值代入求和即可得．【详解】解：，当时，，当时，，则所求的总和为：，故答案为：．三、解答题38．（24-25七年级下·全国·课后作业）求下列各数的平方根：(1)81；(2)；(3)1.69；(4)；(5)；(6)【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)【分析】此题考查了求平方根．（1）根据平方根的定义进行解答即可；（2）根据平方根的定义进行解答即可；（3）根据平方根的定义进行解答即可；（4）根据平方根的定义进行解答即可；（5）根据平方根的定义进行解答即可；（6）根据平方根的定义进行解答即可．【详解】（1）解：，∴81的平方根是．（2）∴的平方根是．（3），∴1.69的平方根是．（4）∴的平方根是．（5），的平方根是．（6）∴的平方根是．39．（2025七年级下·全国·专题练习）求的算术平方根．解：因为，所以的算术平方根是．上面的解答正确吗？若不正确，请写出正确的解答过程．【答案】不正确，见解析【分析】本题主要考查了算术平方根的意义，熟练掌握算术平方根的意义是解题的关键．利用算术平方根的意义解答即可．【详解】解：不正确．正确的解答过程如下：因为，所以的算术平方根为，所以的算术平方根为．40．（24-25七年级下·全国·课后作业）求下列各式中的值．(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)或【分析】本题考查利用平方根解方程．熟练掌握求一个数的平方根是解题的关键，注意整体思想的运用．（1）直接求361的平方根即可；（2）先变形为，再求平方根即可；（3）先变形为，再求平方根即可；（4）先变形为，然后把看成一个整体