专题8.2立方根 解析版

专题8.2立方根【考点梳理】考点一：立方根的概念考点二：求一个数的立方根考点三：立方根的实际应用问题考点四：已经一个数的立方根，求这个数考点五：算术平方根和立方根的综合问题考点六：立法根的综合问题【知识梳理】知识点一、立方根立方根：若一个数的立方（三次方）等于a,那么这个数叫做a的立方根（三次方根）若x是a的立方根，则说明x3=a。a的立方根记为：,读作“三次根号a”。根指数被开方数开立方：我们把求立方根的运算称之为开立方，它与立方运算是互逆的。被开方数（1）8的立方根：（2）-64的立方根：技巧归纳：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。【题型探究】题型一：立方根的概念1．（24-25七年级下·全国）下列说法正确的是（

）A．0没有立方根 B．负数没有立方根C．一个正数有一个负的立方根 D．一个正数只有一个立方根【答案】D【分析】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是本题解题的关键．立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根．利用立方根的定义判断即可得到结果．【详解】解：A、0有立方根，错误；B、负数有立方根，错误；C、一个数的立方根只有一个，且一个数的立方根与这个数同号，错误；D、一个正数只有一个立方根，正确．故选：D．2．（2025七年级下·全国·专题练习）下列说法正确的是（

）A．一个数的立方根有两个，它们互为相反数B．负数没有立方根C．一个数有立方根，那么它的立方根一定为正数D．一个数的立方根与这个数同号【答案】D【分析】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是本题解题的关键．立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根．利用立方根的定义判断即可得到结果．【详解】A、一个数的立方根只有一个，错误；B、负数有立方根，错误；C、一个数有立方根，那么它的立方根不一定为正数，错误；D、一个数的立方根与这个数同号，正确．故选：D．3．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列说法正确的是（

）A．负数没有立方根 B．正数有且只有一个立方根C．的立方根是 D．立方根是它本身的只有【答案】B【分析】本题考查了立方根，掌握立方根的定义是解题的关键．根据立方根的定义解题即可．【详解】解：A：负数有立方根，故此选项不合题意；B：正数有且只有一个立方根，故此选项符合题意；C：的立方根是，故此选项不合题意；D：立方根是它本身的有和和，故此选项不合题意．故选：B．题型二：求一个数的立方根4．（24-25七年级下·全国）下列说法不正确的是（

）A．的立方根是 B．8的立方根是C．立方根是6的数是216 D．的立方根是【答案】B【分析】本题考查立方根，根据方根的定义，逐一进行判断即可．【详解】解：A．的立方根是，原说法正确，不符合题意；B．的立方根是，原说法错误，符合题意；C．立方根是6的数是216，原说法正确，不符合题意；D．的立方根是，原说法正确，不符合题意；故选：B．5．（24-25七年级下·全国）下列式子不正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题主要考查立方根的性质，熟练掌握上述性质是解题的关键．根据立方根的性质逐一判断选项即可．【详解】解：A.，正确，不符合题意，B.，正确，不符合题意，C.，正确，不符合题意，D.，错误，符合题意，故选：D．6．（2025七年级下·全国）求下列各数的立方根：(1)216； (2)； (3)； (4)．【答案】(1)6(2)(3)(4)【分析】本题考查了立方根的定义，熟练掌握该定义是本题解题的关键．立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根．利用立方根的定义即可得到结果．【详解】（1）因为，所以；（2）因为，所以；（3）因为，所以；（4）因为，所以．题型三：立方根的实际应用问题7．（24-25七年级下·全国·周测）春节来临之际，小宇和小恒分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，准备用礼盒装好礼物送给爸爸妈妈．已知小宇制作的正方体礼盒的表面积为，而小恒制作的正方体礼盒的体积比小宇制作的正方体礼盒的体积小，则小恒制作的正方体礼盒的边长为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查算术平方根和立方根的实际应用；设小宇制作的正方体礼盒的边长为a，根据表面积公式先求出，从而求出小宇制作的正方体礼盒的体积，然后求出小恒制作的正方体礼盒的体积，然后求出边长即可．【详解】解：设小宇制作的正方体礼盒的边长为a，则，解得：∴小宇制作的正方体礼盒的体积为：∵小恒制作的正方体礼盒的体积比小宇制作的正方体礼盒小∴小恒制作的正方体礼盒的体积为∴小恒制作的正方体礼盒的边长为．故选：B．8．（24-25七年级下·全国·课后作业）将这两个正方体按如图所示的方式叠放在一起．已知大正方体的体积为，小正方体的体积为，则小正方体的最高点A到大正方体底面的距离为．【答案】7【分析】此题主要考查了利用立方根的性质解决实际问题，利用正方体的体积公式，由立方根的定义分别求出大正方体和小正方体的棱长，再相加即可求解．【详解】解：由题图可知，小正方体的最高点A到大正方体底面的距离为大正方体的棱长和小正方体棱长的和，大正方体的棱长为，小正方体的棱长为，所以小正方体的最高点A到大正方体底面的距离为．故答案为：7．9．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，两个正方体叠放到一起，已知大正方体的体积为，小正方体的体积为，点E在上，一只蚂蚁从E点去觅食，则蚂蚁的最短行进路线为．【答案】7【分析】此题主要考查了利用立方根的性质解决实际问题，利用正方体的体积公式，由立方根的定义分别求出大正方体和小正方体的棱长，再相加即可求解．【详解】解：由题图可知，最短路线为大正方体的棱长和小正方体棱长的和，大正方体的棱长为，小正方体的棱长为，所以蚂蚁的最短行进路线为从垂直下到，最短路径长．故答案为：7．题型四：已经一个数的立方根，求这个数10．（24-25七年级下·全国）要使成立，则的取值范围是（

）A． B．或C． D．任意数【答案】D【分析】此题考查了立方根，根据任意一个实数都有立方根，由此即可确定被开方数的取值范围．【详解】解：要使成立，∵任意一个实数都有立方根，∴为任意数，则m为任意数，故选：D．11．（2025七年级下·全国）若，则的立方根为（

）A．0 B． C．0或 D．0或【答案】C【分析】本题考查了平方根，立方根，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题的关键．根据平方根的定义得到x的值，代入代数式即可得到结论．【详解】解：,或，的立方根为0或，故选：C.12．（24-25七年级下·全国·周测）下列说法正确的是（

）A．一定没有平方根 B．的算术平方根是2C．立方根是本身的数只有0和1 D．算术平方根是本身的数只有0和1【答案】D【分析】本题考查平方根，算术平方根和立方根，属于基础题，掌握相关概念是解题关键．根据平方根，算术平方根和立方根的概念作出判断．【详解】解：A．当时，则，有平方根，故此选项错误，不符合题意；B．没有算术平方根，故此选项错误，不符合题意；C．立方根是本身的数只有0，和1，故此选项错误，不符合题意，D．算术平方根是本身的数只有0和1，故此选项正确，符合题意；故选：D．题型五：算术平方根和立方根的综合问题13．（23-24七年级下·天津·期中）已知的算术平方根是2，的立方根是2，是的整数部分．(1)求的值；(2)若是的小数部分，求的平方根．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了平方根，立方根概念，（1）根据平方根，立方根的定义，估算求出的，，的值，代入计算即可得出答案；（2）先得出的值，即可得出结果；【详解】（1）∵的算术平方根是2，∴，解得：∵的立方根是2∴，解得：∵是的整数部分，而，∴，∴；（2）由（1）可知，的整数部分是，∵是的小数部分，∴，∴，∴的平方根是．14．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）已知是的算术平方根，的立方根是．(1)求，的值；(2)求的立方根．【答案】(1)，(2)【分析】本题考查立方根，平方根以及算术平方根的定义；（1）根据算术平方根的定义求出，再根据立方根的定义求出，即可解答；（2）将，代入求出的值，再根据立方根的定义解答．【详解】（1）解：是的算术平方根，，解得：，的立方根是，∴，即解得：；（2），，，的立方根是．15．（22-23七年级下·河南省直辖县级单位·期中）本学期第六章《实数》中学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容：平方根立方根定义一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根（也叫做二次方根）一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数就叫做的立方根（也叫做三次方根）．性质一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数．【类比探索】（1）探索定义：填写下表11681类比平方根和立方根，给四次方根下定义：_________．（2）探究性质：①1的四次方根是_________；②16的四次方根是_________；③0的四次方根是________；④________（填“有”或“没有”）四次方根．类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：_________；【拓展应用】（1）__________（2）比较大小：_________．【答案】类比探索：（1），，；一般地，如果一个数x的四次方等于a，即，那么这个数x就叫做a的四次方根；（2）①；②；③0；④没有；一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根；拓展应用：（1）；（2）【分析】本题考查类比探究类问题．类比平方根和立方根得出四次方根的定义和性质是解题的关键．【类比探索】（1）类比平方根和立方根给出四次方根的定义，并进行计算填表；（2）根据四次方根的定义进行计算填空，归纳出四次方根的性质即可；【拓展应用】（1）根据定义求一个数的四次方根；（2）通过将数进行四次方以后进行比较大小即可．【类比探索】（1），，；表格中数据依次为：，，；类比平方根和立方根的定义可得：一般地，如果一个数x的四次方等于a，即，那么这个数x就叫做a的四次方根；（2）①1的四次方根是：；②16的四次方根：；③0的四次方根是：0；④没有四次方根；类比平方根和立方根的性质可得：一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根；故答案为为：①；②；③0；④没有；一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根；【拓展应用】（1）；故答案为：（2）∵，∴．故答案为：题型六：立法根的综合问题16．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）阅读材料，解答问题：材料：，∴，即，∴的整数部分是2，小数部分为．问题：已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分．(1)求的小数部分；(2)求的平方根．【答案】(1)小数部分(2)【分析】本题考查了无理数的估算、立方根、算术平方根、平方根，熟练掌握以上知识点，准确进行计算是解此题的关键．（1）先估算出的范围，得出的整数部分，即可得到小数部分；（2）先根据立方根、算术平方根的定义、无理数的估算求出的值，从而求出的值，再根据平方根的定义得出答案．【详解】（1）解：，，∴整数部分为3，小数部分；（2）解：的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分，，，，，，，，的平方根为：．17．（2025七年级下·全国·专题练习）根据如表，回答下列问题：0.0002160.2162162160000.060.6660(1)想一想表中数的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？(2)根据你发现的规律解答：①已知，则介于哪两个整数之间？②已知，则______．③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到平方米）【答案】(1)数的小数点每移动三位，它的立方根的小数点就向相同方向移动一位(2)①12和13之间；②12.26；③9.02平方米【分析】本题主要考查立方根的估算与运用，理解表格信息，找出规律是解立方根估算的关键，掌握体积的计算公式，立方根的估算方法是解实际问题的关键．（1）根据表格信息中小数点的移动情况分析即可求解；（2）①结合表格信息，对进行变形分析即可；②结合表格信息，对进行变形分析即可；③设正方体的棱长为米，由体积公式，立方根的估算得到棱长，再根据表面积的计算方法即可求解．【详解】（1）解：规律：数的小数点每移动三位，它的立方根的小数点就向相同方向移动一位；（2）解：①∵，∴∴介于整数12和13之间；②∵∴故答案为：12.26；③设正方体的棱长为米，则，，（平方米），答：需要大约9.02平方米的铁皮．18．（21-22八年级上·河北承德·期末）阅读下面的文字，解答问题：【阅读材料】现规定：分别用和表示实数x的整数部分和小数部分，如实数3.14的整数部分是，小数部分是；实数的整数部分是，小数部分是无限不循环小数，无法写完整，但是把它的整数部分减去，就等于它的小数部分，即就是的小数部分，所以．(1)___________，_________；________，__________．(2)如果，，求的立方根．【答案】(1)1，，3，(2)2【分析】本题考查了估算无理数的大小和平方根的意义，求一个数的立方根，能够估算出无理数的范围是解决问题的关键．（1）先估算出和的范围，再根据题目规定的表示方法写出答案即可；（2）先估算出，的范围，即可求出，的值，进一步即可求出结果．【详解】（1）解：，，，，，，故答案为：1，，3，；（2）解：，，，，，的立方根是2．【高分演练】一、单选题19．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知某个正数的两个平方根分别是和，b的立方根是，则的算术平方根是（

）A． B．2 C．4 D．【答案】B【分析】本题考查立方根、平方根、算术平方根，根据一个正数的两个平方根互为相反数可以求得a的值，根据b的立方根是，可以求得b的值，从而可以求得的算术平方根．【详解】解：∵某个正数的两个平方根分别是和，∴，∴，∵b的立方根是，∴，∴，∴的算术平方根是2．故选：B．20．（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则；若，则．若要使，则需满足（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了平方根和立方根的定义，解题的关键是掌握相关知识．结合平方根和立方根的定义求解即可．【详解】解：，，故选：B．21．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图为小亮的答卷，他的得分应是（

）A．10分 B．8分 C．6分 D．4分【答案】C【分析】本题考查平方根，关键是根据平方根、相反数和绝对值的定义进行解答，掌握相关概念是解题的关键；根据平方根、相反数和绝对值的定义进行解答即可．【详解】解：①的平方根是，原答案错误；②的绝对值是，正确；③，正确；④，原答案错误；⑤的相反数是2，正确；所以得分是分，故选：C．22．（23-24七年级下·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）定义一种新的运算：．计算：的值是（

）A．2 B．5 C．10 D．【答案】B【分析】本题主要考查有理数的混合运算，利用题中的新定义计算即可求出．【详解】解：，，，．故选：B．23．（23-24七年级下·山东济宁·期中）小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入x的值是有理数64时，输出的y值是（

）A．8 B．±8 C．2 D．【答案】D【分析】本题考查了实数的判断和求一个数的算术平方根和立方根，正确按照流程图顺序计算即可．【详解】解：64的算术平方根是8，是有理数，故将8取立方根为2，是有理数，将2取算术平方根得，是无理数，故选：D．24．（2025七年级下·全国·专题练习）已知为实数，规定运算：，，，，，，按上述方法，当时，的值等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了数字规律题，求一个数的立方根，当时，则，，，，，则有以三个数为一组，不断循环，从而有，然后代入求出立方根即可，掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】解：当时，∴，，，，，∴以三个数为一组循环，∴，∴，∴，故选：．二、填空题25．（24-25七年级下·全国·课后作业）若的立方根是，则的平方根是．【答案】【分析】本题主要考查了平方根和立方根的定义，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题的关键．根据立方根的定义求出的值，再代入求出的值，再根据平方根的定义求【详解】解：由题可知，解得：，10，的平方根为，故答案为：．26．（20-21七年级下·全国·课后作业）；；；；；，．【答案】5.848，12.60【分析】根据被开方数小数点向右每移3位，立方根的小数点向右移1位，据此可得答案．【详解】解：∵，∴；∵，∴，故答案为：5.848，12.60．【点睛】本题主要考查立方根，解题的关键是掌握被开方数小数点向右每移3位，立方根的小数点向右移1位．27．（24-25七年级下·全国·课后作业）如果是的平方根，那么的值为．【答案】【分析】此题主要考查了平方根、立方根的定义，首先根据平方根的定义求出a，然后根据立方根的定义求解即可．【详解】解：∵a是的平方根，∴，∵3的立方根是，的立方根是，∴等于．故答案为：．28．（23-24七年级下·四川德阳·阶段练习）已知的平方根是的立方根是2，则的立方根是．【答案】【分析】本题考查平方根和立方根，根据平方根和立方根的定义，求出x，y的值，进而求解即可．【详解】解：∵的平方根是的立方根是2，∴，∴，∴的立方根为：；故答案为：．29．（21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知的平方根是，的立方根是4，是算术平方根等于自身的数，则．【答案】105或104【分析】本题考查平方根、算术平方根与立方根，解题的关键是理解算术平方根等于自身的数存在0与1两种情况．

根据平方根、算术平方根与立方根的定义分别计算出a、b、c的值，再代入代数式求值即可．【详解】由题意可知：解得：或．∴，或．故答案为：105或104．30．（24-25七年级下·全国·课后作业）若立方根等于本身的数的个数为，平方根等于本身的数的个数为，算术平方根等于本身的数的个数为，则的值为．【答案】6【分析】本题考查的是平方根，算术平方根，解答本题的关键是熟练掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数，其中正的平方根叫做它的算术平方根．同时注意0和的特殊性．根据平方根，算术平方根的定义即可得到结果．【详解】解：∵立方根等于本身的数的个数为0和，平方根等于它本身的数是0，算术平方根等于它本身的数是0和1，∴，，，∴，故答案为：．31．（24-25七年级下·全国·周测）（1）已知，则，；（2）已知，则，．【答案】0.264626.466.6914.42【分析】本题考查了平方根和立方根的性质，熟练掌握求一个数的平方根和立方根的方法是解决本题的关键．根据平方根和立方根的性质求解即可判断．【详解】解：（1）∵，∴，，故答案为：0.2646；26.46；（2）∵，∴，，故答案为：6.69，14.42．32．（24-25七年级下·全国·课后作业）（教材变式）如图所示的是由64个完全相同的小立方体组成的4阶魔方，体积为，则每个小立方体的表面积为．【答案】24【分析】本题主要考查了立方根的应用，求得每个小正方体的体积成为解题的关键．先求出每个小正方体的体积，利用立方根定义求出每个小正方体的棱长，即可解答．【详解】解：根据题意得每个小正方体的体积为，∴每个小正方体的棱长为，则每个小立方体的表面积为故答案为：．33．（23-24七年级下·安徽淮北·阶段练习）如果两个数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数，即当时，．由此解决下列问题：（1）若，则；（2）若和互为相反数，且的平方根是它本身，则的立方根为．【答案】2.65【分析】本题考查了相反数的定义、立方根、平方根、解一元一次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）根据题意可知与互为相反数，即可得出答案；（2）根据题意得出，解方程即可得出的值，根据平方根是它本身的数为，求出的值，从而得出的值，再根据立方根的定义计算即可．【详解】解：（1）根据题意可知与互为相反数，故，故答案为：2.65；（2）根据题意，得，解得．的平方根是它本身，，解得．，故的立方根为，故答案为：．三、解答题34．（2025七年级下·全国·专题练习）求下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本题考查的是求解一个数的算术平方根，立方根；（1）由，结合算术平方根的含义可得答案；（2）由，结合平方根的含义可得答案；（3）由，结合立方根的含义可得答案；（4）由，结合立方根的含义可得答案；【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：；35．（24-25七年级下·全国·单元测试）小林想测量一个铅球的半径，先将铅球放在一个圆柱形小水桶中，然后装满水，拿出铅球后，小水桶中水面下降了，量得小水桶的底面直径为，求铅球的半径．【答案】【分析】本题考查了立方根的应用，根据球的体积公式，可得答案．【详解】解：设铅球的半径为，∵铅球的体积（），∴，解得，∴铅球的半径为．36．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知的两个平方根分别是，的算术平方根为2．(1)求的平方根；(2)若的算术平方根是3，求的立方根．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了平方根和立方根，解题关键是根据平方根和立方根的意义求出字母的值，会熟练求一个数的平方根和立方根．（1）根据平方根和立方根的意义求出字母m，n的值，再求的平方根即可；（2）求出p的值，再求的立方根即可．【详解】（1）解：∵的两个平方根分别是，的算术平方根为2，∴，，解得：，，∴，∴的平方根是；（2）解：∵的算术平方根是3，∴，解得：，∴，∴的立方根是．37．（2025七年级下·全国·专题练习）观察下列规律回答问题：(1)_______，_______；(2)已知，若，用含x的代数式表示y，则_______；(3)根据规律写出与a的大小情况．【答案】(1)0.01，100(2)(3)当或时，；当或或时，；当或时，【分析】此题考查了立方根的求解与规律归纳能力，关键是能准确理解并运用该知识进行正确地计算、归纳．（1）根据立方根的概念进行求解、归纳；（2）运用（1）题规律进行求解；（3）根据题目中求立方根的结果进行规律归纳．【详解】（1）解：（1）；；按上述规律，被开方数小数点向右（或左）移三位，则所得数的小数点向右（或左）移一位，故答案为：0.01、100；（2）已知，若，用含的代数式表示，则，故答案为：；（3），，，，，与的大小情况为：当或时，；当或或时，；当或时，．38．（23-24七年级下·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点P的伴随点．已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，…，这样依次得到点，，，…，，…．(1)如果点的坐标为，则点的坐标为____________，点的坐标为___________(2)如果点的