2022年大学初等数论竞赛初赛考试题库及参考答案

2022年大学初等数论竞赛初赛考试题库及参考答案

一、单项选择题（每题2分，共20分）1.设$a,b,c$是正整数，且满足$a|bc$，则（）A.$a|b$或$a|c$B.$a|b$且$a|c$C.$a$不整除$b$且$a$不整除$c$D.以上都不对2.小于1000且与1000互质的正整数的个数是（）A.400B.480C.500D.5603.同余方程$3x\equiv5(\text{mod}7)$的解是（）A.$x\equiv4(\text{mod}7)$B.$x\equiv5(\text{mod}7)$C.$x\equiv6(\text{mod}7)$D.$x\equiv7(\text{mod}7)$4.设$p$是素数，$a$是整数，则$a^p\equiva(\text{mod}p)$是（）A.费马小定理B.威尔逊定理C.欧拉定理D.中国剩余定理5.不定方程$x^2+y^2=z^2$的正整数解满足（）A.$x,y,z$两两互质B.$x,y$互质C.$y,z$互质D.$x,z$互质6.设$n$是正整数，$a$是整数，若$a^n\equiv1(\text{mod}n)$，则$n$是（）A.素数B.合数C.奇数D.偶数7.模$m$的完全剩余系中元素的个数是（）A.$m$B.$m-1$C.$m+1$D.$2m$8.同余方程组$\begin{cases}x\equiv2(\text{mod}3)\\x\equiv3(\text{mod}5)\end{cases}$的解是（）A.$x\equiv8(\text{mod}15)$B.$x\equiv13(\text{mod}15)$C.$x\equiv18(\text{mod}15)$D.$x\equiv23(\text{mod}15)$9.设$p$是素数，$a$是整数，若$p|a^n$，则（）A.$p|a$B.$p^n|a$C.$p|a^k$，$k\ltn$D.以上都不对10.不定方程$3x+5y=11$的整数解是（）A.$\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}$B.$\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}$C.$\begin{cases}x=-1\\y=4\end{cases}$D.以上都不对二、填空题（每题2分，共20分）1.12与18的最大公因数是______。2.小于20的素数有______个。3.同余方程$2x\equiv3(\text{mod}5)$的解是______。4.设$m,n$是正整数，$(m,n)=1$，则$m^{\varphi(n)}\equiv1(\text{mod}n)$是______定理。5.不定方程$x+y=z$的正整数解的个数是______。6.模$12$的简化剩余系中元素的个数是______。7.同余方程组$\begin{cases}x\equiv1(\text{mod}4)\\x\equiv3(\text{mod}5)\end{cases}$的解是______。8.设$p$是素数，$a$是整数，若$p\nmida$，则$a^{p-1}\equiv1(\text{mod}p)$是______定理。9.不定方程$2x+3y=7$的整数解是______。10.100!末尾有______个0。三、判断题（每题2分，共20分）1.若$a|b$且$b|c$，则$a|c$。（）2.若$a$与$b$互质，则$a$与$b$的最大公因数是1。（）3.同余方程$ax\equivb(\text{mod}m)$一定有解。（）4.若$p$是素数，则$p$一定是奇数。（）5.不定方程$x^2+y^2=z^2$一定有正整数解。（）6.模$m$的完全剩余系中任意两个数对模$m$不同余。（）7.同余方程组一定有解。（）8.若$p$是素数，$a$是整数，则$a^p\equiva(\text{mod}p)$对任意整数$a$都成立。（）9.不定方程$3x+5y=1$一定有整数解。（）10.1000!能被100!整除。（）四、简答题（每题5分，共20分）1.简述辗转相除法求最大公因数的原理。2.什么是同余方程？请举例说明。3.说明欧拉定理的内容及应用。4.不定方程$x^2+y^2=z^2$的正整数解有哪些性质？五、讨论题（每题5分，共20分）1.讨论如何判断一个数是否为素数。2.探讨同余方程的求解方法。3.分析不定方程$x^2+y^2=z^2$的正整数解的求解思路。4.研究模$m$的完全剩余系和简化剩余系的区别与联系。答案：一、单项选择题1.A2.A3.A4.A5.A6.A7.A8.A9.A10.A二、填空题1.62.83.$x\equiv4(\text{mod}5)$4.欧拉5.无穷多个6.47.$x\equiv13(\text{mod}20)$8.费马小9.$\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}$10.24三、判断题1.√2.√3.×4.×5.×6.√7.×8.×9.×10.√四、简答题1.辗转相除法求最大公因数的原理是：用较大数除以较小数，再用出现的余数（第一余数）去除除数，再用出现的余数（第二余数）去除第一余数，如此反复，直到最后余数是0为止。最后的除数就是这两个数的最大公因数。2.同余方程是指含有未知数的同余式。例如：$3x\equiv5(\text{mod}7)$就是一个同余方程。3.欧拉定理：设$m$是正整数，$a$是整数，且$(a,m)=1$，则$a^{\varphi(m)}\equiv1(\text{mod}m)$。应用：可以用于简化同余方程的求解。4.不定方程$x^2+y^2=z^2$的正整数解满足以下性质：-若$(x,y,z)$是一组正整数解，则$(kx,ky,kz)$（$k$为正整数）也是一组正整数解。-若$x,y$互质，则$x,y,z$两两互质。-方程的正整数解有无穷多个。五、讨论题1.判断一个数是否为素数的方法有多种，常见的有试除法：从2到该数的平方根依次检查能否整除该数，如果都不能整除，则该数是素数。还有一些更复杂的算法和数论方法。2.同余方程的求解方法主要有：利用同余的性质进行化简，通过尝试法找到一些特殊解，再利用同余的性质构造出其他解。还可以利用中国剩余定理等方法来求解一些特殊类型的同余方程组。3.不定方程$x^2+y^2=z^2$的正整数解的求解思路：可以利用勾股数的性质，先找到一些特殊的勾股数，然后通过适当的变换得到其他解。也可以利用同余的方法来分