高考数学经典冲刺复习教案

第一部分专题三第4课时

（本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！）

A级

1.用反证法证明命题：“〃?、〃£N,m〃可被3整除：那么〃?、〃中至少有一个能被3整

除”时，假设的内容应为（）

A.〃?、〃都能被3整除B.m、〃都不能被3整除

C.〃?、〃不都能被3整除D.机不能被3整除

答案：B

2.（2012.辽宁卷）执行如图所示的程序框图，则输出的S值是（）

A.4B.

C.D.-1

解析：根据程序框图，程序执行的步骤为5=4,/=1<6;5=-1,/=2<6;5=,/=3<6;

S=,/=4<6;S=4,z=5<6;S=—1,i=6<6不成立，输出S=-1.

答案：D

3.从1=11一4=一（1+2）,1-4+9=1+24-3,1-4+9-16=-（1+2+34-4）,…，归

纳出（）

A.1-4+9—16+...+（—〃）2=（-1尸

B.1-4+9-一+（-1）〃+1・/=（一］）门.

C.1-4+9-1）"〃2=（一1尸.

D.1-4+9—…+（—1）"1〃2=（一］）〃.

解析：由归纳法即得B正确，故选B.

答案：B

4.（2012•唐山市高三年级统一考试）执行如图所示的程序框图，如果输出的。=341,那么

判断框中可以是（）

A.R4?B.R5?

C.K6?D.K7?

解析：执行程序后，0=4〃+1=1,木=&+1=2;

S=4ai+1=5,攵2=左+1=3:A3=4S+1=21,%3=幻+1=4：674=4^+1=85,公=43

+1=5;的=4田+1=341,&5=心+1=6.要使输出的。=341,判断框中可以是"<6?”或

4tK5?”,故选C.

答案：c

5.(2012・南昌一模)程序框图如图所示，已知曲线E的方程为aF+/92=a伙a,〃£R).若

该程序输出的结果为s,贝火)

A.当s=l时，E是椭圆

B.当5=-1时，E是双曲线

C.当s=0时，E是抛物线

D.当s=0时，E是一个点

解析：$=0时，力=(),曲线斯一勿2。)表示的可能是点也可能是直线；s=l时，

ab>0,此时曲线力表示的可能是圆、桶圆，也可能不表示任何曲线(aVO,bVO)；

s=—1时，ab<0,曲线加+勿2=岫表示双曲线.

答案：B

6.(2012・长春市调研)类比“两角和与差的正弦公式”的形式，对于给定的两个函数：5(A)

="一〃1，。仕)="+“一'其中20,且比1,下面正确的运算公式是()

①S(x+>,)=S(x)C(y)+C(x)S(j,)；②S(%—y)=S(x)C(y)~C(x)S(v)；③2S(x+y)=S(x)C(y)+

C(x)S(y)；®25(x—>-)=S(x)C(y)—C(x)S(y).

A.①②B.③④

C.①④D.②③

解析：经验证易知①②错误，依题意，注意到25'。+)，)=2(/»’一,「一)又s(x)C0，)+

C(x)S(.y)=2(ar+v-a-v--v-),因此有2S(x+y)=5(x)C(y)+C(,v)S(y):同理有2S(x-)，)=S(x)C()，)一

C(x)S(y).综上所述，选B.

答案：B

7.已知函数"r)=,对于数列｛〃〃｝有a”=7(aLi)(〃WN",且论2),如果八=1,那么“2=

-Cln=.

解析：〃2=八。1)=,。3=｛。2)=,

出=4〃3)=,由此猜想a„=.

答案：

8.(2012・广东卷)执行如图所示的程序框图，若输入〃的值为8,则输出s的值为.

解析：当/=2,k=\时，5=lx(lx2)=2;

当i=4,k=2时，s=x(2x4)=4;

当/=6,k=3时，s=x(4x6)=8;

当i=8时，不成立，榆出5=8.

答案：8

9.已知命题：若数列｛斯｝为等差数列，且a,n=a,小=伏〃?初，加、〃WN"）,则a,nn=\

现已知等比数列｛b｝（b〃>0,bm=a,d=以〃生〃，/〃、〃£N"），若类比上述结论，则可

得到b„t+n=.

解析：等差数列中的bn和am可以类比等比数列中的"和等差数列中的bn-am

可以类比等比数列中的，等差数列中的可以类比等比数列中的.故可+产.

答案：

10.(2012・福建卷)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：

©sin213°+cos2170-sin13°cos17°；

@sin2150+cos2150—sin150cos15°；

(3)sin2180+cos2120-sinI80cos120；

@sin2(-18°)+cos2480-sin(-18°)cos48°；

@sin2(一25。)+COS2550-sin(一25°)cos550.

(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；

(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.

解析：方法一：(1)选择②式，计算如下：

sin2150+cos215°—sin150cos150=1—sin300

=1-=.

(2)三角恒等式为siira4-cos2(30°—a)—sinacos(30°—a)=.

证明如下：

sin2a+COS2(30°—a)-sin«cos(30°—«)

=sin2a+(cos30°cosa+sin300sina)2-sina(cos30°cosa+sin300sina)

=sin%+cos2a+sinacosa+siira—sinacosa—siira=sin2a+cos2a=.

方法二：(I)同方法一.

(2)三角恒等式为sin2a4-cos2(300-a)-sinacos(30°-a)=.

证明如下：

sin%+COS2(30°-a)—sin«cos(30°—«)

=+-sina(cos30°cosa+sin30°sina)

=­cos2a++(cos60°cos2a+sin60°sin2a)—sinacosa—sin2a

=­cos2a++cos2a+sin2a-sin2a—(1—cos2a)

=I-cos2a-+cos2a=.

11.已知数列｛a〃｝中,ai=l,俏=2,且。”+i=(l+q)a”一,qWO).

⑴设为=斯+i—期证明数列｛小｝是等比数列;

(2)求数列｛斯｝的通项公式；

(3)若“3是与。9的等差中项，求9的值，并证明：对任意的〃WN”,。〃是与〃仆6

的组中的各对数依次为(1,H),(2,10),(3,9),(4,8),(5,7),…因此第60个整数对是(5,7),故选

B.

答案：B

2.在可行域内任取一点，如图所示的程序框图，则能输出数对(x,刃的概率是.

解析：区域是以点(一1,0),(0,1),(1,0),(0,一1)为顶点的正方形区域，其面积是2：

区域F+)七是以坐标原点为圆心、半径等于的圆，恰好是正方形区域的内切圆，其面积为兀

根据几何概型的计算公式，这个概率值是，此即能输出数对(x,)，)的概率.故填.

答案：

3.根据如图所示的程序框图，将输出的x,y值依次分别记为为，工2,…，必，…；>'i»>,2，...»

3%，....

(1)分别求数列｛玄｝和｛以｝的通项公式；

(2)令次=次”,求数列3｝的前2项和％,其中右N,仁2007.

解析：(1)由框图，知数列｛双｝中，内=1,M+I=M+2,

・・・4=1+2(4-1)=22一1伏wN*,k<2007)

由框图，知数列｛州｝中,以+1=3州+2,

•,・州+1+I=3()%+1)

=3,yi+l=3.

・•・数歹”｛"+1｝是以3为首项，3为公比的等比数列，

.♦.”+1=3.3尸1=3(

；・)火=3人一1伏£2,七2007).

(2)7i=M)，]+My2+...+w=lx(3-l)+3x(32-l)+...+(2-l)(3J)=lx3+3x32+...

+(21)・3*—[1+3+...+[21)]

记Sk=1x3+3x3?+...+(2左