高三数学复习教案：高考数学数列复习教案

高三数学复习教案：高考数学数列复习教案

【知识图解】

【方法点拨】

L学会从特殊到一般的观察、分析、思考，学会归纳、猜测、验证.

2.强化根本量思想，并在确定根本量时注重设变量的技巧与解方程蛆的

技巧.

3.在重点掌握等差、等比数列的通项公式、求和公式、中项等根底知识的

同时，会针对可化为等差（比）数列的比拟简单的数列进行化归与转化.

4.一些简单特殊数列的求通项与求和问题，应注重通性通法的复习.如错

位相减法、迭加法、迭乘法等.

5.噌强用数学的意识，会针对有关应用问题，建立数学模型，并求出其

解.

第1课数列的概念

【考点导读】

1.了解数列（含等差数列、等比数列）的概念和几种简单的表示方法（列

表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊的函数；

2.理解数列的通项公式的意义和一些根本量之间的关系；

3.能通过一些根本的转化解决数列的通项公式和前项和的问题。

【根底练习】

1.数列满足，那么二。

分析：由al=O,得由此可知：数列是周期变化的，且三个一循环，所以

可得：

2.在数列中，假设，，那么该数列的通项2n-lo

3,设数列的前n项和为，，且，那么—2_.

4,数列的前项和，那么其通项.

【范例导析】

例L设数列的通项公式是，那么

(1)70是这个数列中的项吗？如果是，是第几项？

(2)写出这个数列的前5项，并作出前5项的图象；

(3)这个数列所有项中有没有最小的项?如果有，是第几项？

分析：70是否是数列的项，只要通过解方程就可以知道；而作图时那么

要注意数列与函数的区别，数列的图象是一系列孤立的点；判断有无最小

项的问题可以用函数的观点来解决，一样的是要注意定义域问题。

解：⑴由得：或

所以70是这个数列中的项，是第13项。

(2)这个数列的前5项是；(图象略)

(3)由函数的单调性：是减区问，是增区问，

例2.设数列的前n项和为，点均在函数y=3x-2的图像上，求数列的

通项公式。

分析:根据题目的条件利用与的关系：，(要特别注意讨论n=l的情况)

求出数列的通项。

解：依题意得，即。

当n2时，；

当n=l时，所以。

例3.数列｛a｝满足，

(I)求数列的通项公式；

(II)假设数列满足，证明：是等差数列；

分析:此题第1问采用构造等比数列来求通项问题，第2问依然是构造问

题。

解：⑴

是以为首项，2为公比的等比数列。

即

(H)

②-①，得即③

【反应演练】

1.假设数列前8项的值各异，且对任意nN*都成立，那么以下数列中可

取遍前8项值的数列为(2)o

(1)(2)(3)(4)

2.没Sn是数列的前n项和，且Sn=n2,那么是等差数列，但不是等比

数列。

3.没f(n)=(nN),那么f(n+l)-f(n)等于。

4.根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的

需求量Sn(万件)近似地满足Sn二(21n-n2-5)(n=l,2,,12).按此预测，

在本年度内，需求量超过L5万件的月份是7月、8月。

（2）设数列｛an｝是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48,

那么它的首项是2o

解：（1）答案：13

法1：设这个数列有n项

n=13

法2：设这个数列有n项

又n=13

（2）答案：2因为前三项和为12,al+a2+a3=12,a2==4

又ala2a3=48,Va2=4,ala3=12,al+a3=8,

把al,a3作为方程的两根且al

例2.（1）数列为等差数列，且

（I）求数列的通项公式；（H）证明

分析：（1）借助通过等差数列的定义求出数列的公差，再求出数列的通

项公式，（2）求和还是要先求出数列的通项公式，再利用通项公式进行

求和。

解：（1）设等差数列的公差为d,

由即d二l。

例3.数列的首项（是常数，且），（），数列的首项，（）。

（1）证明：从第2项起是以2为公比的等比数列；

（2）设为数列的前n项和，且是等比数列，求实数的值。

分析：第（1）问用定义证明，进一步第（2）问也可以求出。

解：⑴;

（n2）

由得，，,二，,

即从第2项起是以2为公比的等比数列。

(2)

【反应演练】

L等差数列中，，那么前10项的和二210。

2.在等差数列中，那么二42。

3.等差数列共有10项，其中奇数项之和15,偶数项之和为30,那么其公

差是3o

4.如果成等比数列，那么3,-9o

5.没等差数列｛an｝的前n项和为Sn,a3=l2,S120,S130.

(1)求公差d的取值范围；

(2)指出SI、S2、、S12中哪一个值最大，并说明理由.

解:(1)依题意有:

解之得公差d的取值范围为-

(2)解法一：由d0可知ala3a13,因此，在SI,S2,,S12中Sk为最大值

的条件为：的0且ak+10,即

Va3=12,,VdO,2-

因为k是正整数，所以k=6,即在SI,S2,,S12中，S6最大.

解法二：由d0得ala12al3,

因此假设在112中有自然数k,使得akO,且ak+10,那么Sk是SI,S2,,S12

中的最大值。又2a7=al+al3=S130,a70,a7+a6=al+a12=S120,a60

故在SI,S2,,S12中S6最大.

解法三：依题意得：

最小时，Sn最大；

第⑵问难度较高，为求｛Sn｝中的最大值Sk(112)：思路之一是知道Sk为

最大值的充要条件是akO且ak+1而思路之二那么是通过等差数列的性质

等和性探寻数列的分布规律，找出分水岭，从而得解；思路之三是可视Sn

为n的二次函数，借助配方法可求解，它考查了等价转化的数学思想、逻

辑思维能力和计算能力，较好地表达了高考试题注重能力考查的特点.

第3课数列的求和

【考点导读】

对于一般数列求和是很困难的，在推导等差、等比数列的和时出现了一些

方法可以迁移到一般数列的求和t，掌握数列求和的常见方法有：

(1)公式法：⑴等差数列的求和公式,(2)等比数列的求和公式

(2)分组求和法：在直接运用公式求和有困难时常，将和式中的同类项先

合并在一起，再运用公式法求和(如：通项中含因式，周期数列等等)

(3)倒序相加法：如果一个数列｛a｝，与首末两项等距的两项之和等于首

末两项之和，那么可用出正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到

了一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。特征：an+al=an-l+a2

(4)错项相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列

的对应项相乘所组成，此时求和可采用错位相减法。

(5)裂项相消法：把一个数列的各项拆成两项之差，在求和时一些正负项

相互抵消，于是前n项之和变成首尾假设干少数项之和。

【根底练习】

L公差不为0的正项等差数列｛an｝中，Sn为前n项之和，Igai、lga2、lga4

成等差数列，假设a5=10,

那么S5=30o

2.数列｛an｝是等差数列，且a2=8,a8=26,从｛an｝中依次取出第3项，第9

项，第27项，第3n项，按原来的顺序构成一个新的数列｛bn｝,那么

bn=—3n+l+2___

3.假设数列满足：,2,3.那么.

【范例导析】

例L等比数列分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且

例2.数列前项之和满足：

(1)求证：数列是等比数列；

(2)假设数列的公比为，数列满足：，求数列的通项公式；

(3)定义数列为，，求数列的前项之和。

解：⑴由得：

两式相减得：即，

例3.数列满足，.

(I)求数列的通项公式；(H)设，求数列的前项和；

(IH)设，数列的前项和为.求证：对任意的，.

分析:此题所给的递推关系式是要分别取倒再转化成等比型的数列，对数

列中不等式的证明通常是放缩通项以利于求和。

解：(I),,

又，数列是首项为，公比为的等比数列.

,即.

【反应演练】

L数列的通项公式，其前项和为，那么数列的前10项的和为75o

2.数列的通项公式，其前项和为，那么377o

3.数列的前项和为，且，那么数列的通项公式为。

4.数列中，且有，那么数列的通项公式为

,前项和为。

5.数列｛an｝满足al=2，对于任意的nN*都有anO,且

(n+1)an2+anan+l-nan+12=0,

又知数列｛bn｝的通项为bn=2n-l+l.

(1)求数列I｛an｝的通项an及它的前n项和Sn；

(2)求数列｛bn｝的前n项和Tn；

解：(1)可解得，从而an=2n，有Sn=n2+n,

(2)Tn=2n+n-l.

6.数列｛an｝中,al=8,a4=2且满足an+2=2an+l-an,(nN*).

⑴求数列｛an｝的通项公式;

(2)设Sn=|al|+1a2|++1an|,求Sn；

(3)设bn=(nN*),Tn=bl+b2++bn(nN*),是否存在最大的整数m，使得对任

意nN*均有Tn成立？假设存在，求出m的值;假设不存在，说明理由.

解：(1)由an+2=2an+l-anan+2-an+l=an+1-an可知｛an｝成等差数列,?

d==-2,an=10-2n.

(2)由an=10-2n0可得n5,当n5时,Sn=-n2+9n，当n5时,Sn=n29n^40,

故Sn=

(3)bn二

;要使Tn总成立，需

第4课数列的应用

【考点导读】

1.能在具体的问题情景中发现数列的等差、等比关系，并能用有关知识解

决相应的问题。

2,注意根本数学思想方法的运用，构造思想：数列构造新数列，转化思

想：将非等差、等比数列转化为等差、等比数列。

【根底练习】

L假设数列中，，且对任意的正整数、都有，那么.

2.没等比数列的公比为，前项和为，假设成等差数列，承么的值

为3

3.等差数列的公差为2，假设成等比数列，那么「

【范例导析】

例L正数组成的两个数列，假设是关于的方程的两根

(1)求证：为等差数列；