高考概率大题经典练习(含答案)

高考概率真题复习（含答案）

一.解答题（共12小题）

1.已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法

从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.

（I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？

（II）若抽出的7人中有4人唾眠不足，3人唾眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进

一步的身体检杳.

（/）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；

（//•）设4为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事

件4发生的概率.

2.己知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽

样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动.

（I）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？

（II）设抽出的7名同学分别用A,B,C,D,E,F,G表示，现从中随机抽取2名同

学承担敬老院的卫生工作.

（/）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；

（/7）设M为事件”抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率.

3.从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红

灯的概率分别为工，1,1.

234

（I）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期

望；

（II）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.

4.电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.已知每次播放甲、

乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：

连续剧播放时长（分钟）广告播放时长（分钟）收视人次（万）

甲70560

乙60525

已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于60（）分钟，广告的总播放时间

不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用x,），

表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.

（/）用大，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；

（〃）间电视台每周播％甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？

5.某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别

为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.

（/）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4"，求事件4发生的概率；

（〃）设乂为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数

学期望.

6.某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A,B,C三种主要原料，生产1车皮甲种肥料

和生产I车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示:

肥料原料ABC

甲483

乙5510

现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种

肥料.已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的

利润为3万元、分别用x,y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数.

（I）用x,），列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；

（H）问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利

润.

7.为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加，现有来自甲

协会的运动员3名，其中种子选手2名，乙协会的运动员5名，其中种子选手3名，从

这8名运动员中随机选择4人参加比赛.

（I）设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协

会”，求事件A发生的嘤率；

（II）设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.

8.设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18,先采用分层抽取的方法

从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛.

（I）求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；

（II）将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为4,A2,A3,A*A5,4）,现从这6

名运动员中随机抽取2人参加双打比赛.

（/）用所给编号列出所有可能的结果；

（”）设A为事件”编号为45和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生

的概率.

9.某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，在这10名同学中，3名同学来自数学学

院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机

选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）.

（I）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；

（II）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.

10.某校夏令营有3名男同学，A、B、。和3名女同学X,Y,Z,其年级情况如表:

一年级二年级三年级

男同学AC

女同学XYZ

现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）

（I）用表中字母列举出所有可能的结果；

（II）设M为事件”选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事

件M发生的概率.

11.一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,2,3,4；白色卡片

3张，编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性

相同）.

（I）求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率.

（II）在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X,求随机变量X的分布列和

数学期望.

12.某产品的三个质量指标分别为x,)，，z,用综合指标S=x+)4z评价该产品的等级.若S

W4,则该产品为一等品.现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指

标列表如表：

产品编号MA2A3A4A5

质量指标(x，(1，1，2)(2,I,D(2,2,2)(1,1,I)(1,2,1)

Az)

产品编号4AiAsMAio

质量指标(x,(1,2.2)(2,1,1)(2,2,1)(1,1,1)(2,1,2)

y,z)

(I)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；

(II)在该样品的一等品中，随机抽取2件产品，

(/)用产品编号列出所有可能的结果；

(”)设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4"，求事件B

发生的概率.

高考概率真题复习参考答案与试题解析

一.解答题（共12小题）

1.已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法

从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.

（I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？

（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进

一步的身体检查.

（/）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；

（，）设4为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事

件A发生的概率.

【解答】解：（1）单位甲、乙、内三个部门的员工人数分别为24,16,16.人数比为：

3：2：2,

从中抽取7人现，应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3,2,2人.

（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进

一步的身体检查.

（/）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，

随机变量X的取值为：0,1,2,3,p（X二机二J，k=0,1,2,3.

所以随机变量的分布列为：

X0123

p112184

35353535

随机变量x的数学期望石（X）=QX—+1X—+9X—+3X—=—：

（"）设A为事件“抽双的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，

设事件B为：抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人，事件C

为抽取的3人中，

睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人，

则：A=BUC,且0（8）=P（X=2）,P（C）=P（X=l）,

故P(A)=P(BUC)=P(X=2)+P(X=l)=A.

7

所以事件A发生的概率：A.

7

2.己知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽

样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动.

(I)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？

(II)设抽出的7名同学分别用A,B,C,D,E,F,G表示，现从中随机抽取2名同

学承担敬老院的卫生工作.

(/)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；

(//)设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率.

【解答】解：(I)由己知得甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3：2：2,

由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，

，应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿意者中分别抽取得3人，2人，2人.

(H)(/)从抽取的7名同学中抽取2名同学的所有可能结果为：

{A,B},{A,C},{A,D],{A,E},{A,F},{A,G},{8,C},{B,D},

{B,E},{从F},{13,G},{C,D},{C,E},{C,用，{C,G},{D,£},

{Q,r},{D,G},{£户},{E,G),{F,G},共21个.

(/)设抽取的7名学生中，来自甲年级的是A,B,C,

来自乙年级的是。，E来自丙年级的是EG,

M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，

则事件M包含的基本事件有：

{A,B},{A,C},{B,C},{D,E},{凡G},共5个基本事件，

••・事件M发生的概率户(M)=A.

21

3.从甲地到乙地耍经过3个卜宇路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红

灯的概率分别为工，工，X

234

(I)设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期

望；

(II)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到I个红灯的概率.

【解答】解：(I)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3；

则p（x=o）=（i-A）x（i-i）（I--L）=JL,

2344

p（x=i）=Lx（i-•1•）x（।-_L）+（i__L）x_Lx（i--L）+（i--L）x（i-

2342342

、

-1-）ZvX..1..-_1--1--,

3424

p（x=2）=（1-L）x_Lx_L+_Lx（i--L）x-L+_Lx-Lx（i--L）=X

2342342344

P（X=3）=-Lx-Lxi=-L；

23424

所以，随机变量X的分布列为

X0123

P1n_11

724724

随机变量X的数学期望为七（X）=oxl-+lX11.+2X1.+3X_L=H：

42442412

（II）设丫表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，

则所求事件的概率为

p（r+z=1）=p（y=o,z=i）+P（r=।,z=o）

=p（y=o）・p（z=i）+p（y=i）・p（z=o）

=lxll+Kxl

424244

=A1_；

48

所以，这2辆车共遇到I个红灯的概率为红.

48

4.电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.已知每次播放甲、

乙两套连续剧时.，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：

连续剧播放时长（分钟）广告播放时长（分钟）收视人次（万）

甲70560

乙60525

已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间

不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用X,），

表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.

（/）用x,y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域：

（〃）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？

70x+60y<6007x+6/<60

5x+5y〉30x+y)6

【解答】（I）解：由已知，工，），满足的数学关系式为,x42y，即1x-2y40.

x〉0x〉0

y〉0y)0

该二元一次不等式组所表示的平面区域如图:

（H）解：设总收视人次为z万，则目标函数为z=60x+25y.

考虑z=6ar+25.v,将它变形为尸」2x金，这是斜率为‘4随z变化的一族平行直

5255

线.

工为直线在），轴上的截距，当工取得最大值时，z£勺值最大.

2525

又•・"，y满足约束条件，

・•・由图可知，当直线z=60x+25y经过可行域上的点M时，截距二_最大，即z最大.

25

解方程组（7"+6行60,得点收的坐标为您，3）.

x-2y=0

••・电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.

60x+25>=0

5.某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别

为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.

（/）设4为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4"，求事件4发生的概率;

（//）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数

学期望.

C1・c+C2

【解答】解：（/）由已知得：--=X

C23

b10

所以，事件发生的概率为工；

A（5分）

3

（H）随机变量X的所有可能取值为0,1,2；-----------------------（6分）

222

C

3+C3+C44

7分

计算P（X=O）=C2

1O15

C3c3+C3C；7

P(X=l)=（分）

15,8

1*1

C

34

-9分

2

P(X=2)C

1O

所以，随机变量X的分布列为

X012

P474

"1515"15

随机变软X的数学期望为

E（X）=OX-1-+1X-L+2X-1-=|.--------------------（12分）

151515

6.某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A,8,C三种主要原料，生产1车皮甲种肥料

和生产I车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示:

肥料原料ABC

甲483

乙5510

现有八种原料200吨，B种原料360吨，。种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种

肥料.已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的

利润为3万元、分别用x,），表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数.

（I）用无），列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；

（H）向分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利

润.

4x+5y<200

8x+5y^360

【解答】解：（I）由已知X,3'满足不等式j3x+10y<300'则不等式对应的平面区域

x〉0,y〉0

为，

（II）设年利润为z万元，则目标函数为z=2x+3y,即>-=-Zi+三，

33

平移直线y=-2计三，由图象得当直线经过点M时，直线的截距最大，此时z最大，

33

由（4x+5y=200得产20,即“⑵,24）,

l3x+10y=300（y=24

止匕时z=40+72=112,

即分别生产甲肥料20车皮，乙肥料24车皮，能够产生最大的利润，最大利润为112万

元.

7.为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加，现有来自甲

协会的运动员3名，其中种子选手2名，乙协会的运动员5名，其中种子选手3名，从

这8名运动员中随机选择4人参加比赛.

（I）设A为事件“选出的4人中恰有2名种了选手，且这2名种了选手来自同个协

会”，求事件A发生的蹴率；

（II）设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.

2222

CC

23+C33

有x

z)4

【解答】解：（I）由已知,C

8

，事件A发生的概率为且：

35

(II)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.

^k^4-k

PCX=k)=5?(k=l,2,3,4).

C4

・••随机变量X的分布列为：

X1234

P13_3_1

IT7714

随机变量X的数学期望七(X)=IX」一+2X2+3XW+4X」一金.

1477142

8.设甲、乙、丙三个乒兵球协会的运动员人数分别为27,9,18,先采用分层抽取的方法

从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛.

(I)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；

(II)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为4,人2,人3,44,85,86,现从这6

名运动员中随机抽取2人参加双打比赛.

(/)用所给编号列出所有可能的结果；

(/7)设4为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生

的概率.

【解答】解：(I)由题意可得抽取比例为一—=X

27+9+189

27X-L=3,9X-L=1,18X-L=2,

999

・•・应甲、乙、丙三个协会中分别抽取的运动员的人数为3、1、2：

(II)(/)从6名运动员中随机抽取2名的所有结果为：

(Ai,A2),(Ai,Ai),(Ai,4),(Al,A5),(Ai,A6),

(A2,A3),(A2，A4),(A2,A5),(A2,A6),(A3，A4),

(A3，A5),(43，A6),(44,A5),(Al,A6),(A5，A6),

共15种;

(")设A为事件”编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，

则事件A包含：(A1,A5),(A\,A6),(A2,45),(公2,A6),

(A3,A5),(A3,A6),(4,A5),(4,/U),(45,A6)共9个基本事件，

，事件A发生的概率?=且=芭

155

9.某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，在这10名同学中，3名同学来自数学学

院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机

选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）.

（I）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；

（II）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.

【解答】（I）解：设”选出的3名同学是来自互不相同学院”为事件A,

则P(A)二

所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为壁.

60

pkp5-k

（H）解：随机变量X的所有可能值为0,I,2,3,P（X=k）=T々6，（仁o,1,2,3）

v10

所以随机变量X的分布列是

X0123

P31

-6~2Io30

随机变量,的数学期望E（X）RXH＞4+2＞4+3X*4

10.某校夏令营有3名男同学，A、3、。和3名女同学X,Y,Z,其年级情况如表:

一年级二年级三年级

男同学ABC

女同学XYZ

现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）

（I）用表中字母列举出所有可能的结果；

（II）设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和I名女同学”，求事

件M发生的概率.

【解答】解：（I）用表中字母列举出所有可能的结果有：（A,B）、（4,C）＞（4,X）、

（A,丫）、（A,Z）、

（B,C）、（8,X）、（B,Y）、（B,Z）、（C,X）、（CY）、（C,Z）、（X,V）、

（X,Z）、（KZ）,共计15个结果.

（II）设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和I名女同学”，

则事件M包含的结果有：（A,V）、（4,Z）＞（B,X）、（B,Z）＞（C,X）、（C,H,共计

6个结果，

故事件M发生的概率为丑-=2.

155

11.一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,2,3,4；白色卡片

3张，编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性

相同）.

（I）求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率.

（1【）在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X,求随机变量X的分布列和

数学期望.

【解答】解：（/）设取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片为事件4则

C1C32C2

2525