高中北师大版数学选修2-1学案2.6距离的计算

§6痘寓的计算

|自,预习学案Zl—ZHU-YU-XI-XUE-AN⑴

情景引入之

^ingjingyinni**

网上称当前全球口径最大、射程最远、威力最大的狙击步枪是美国巴雷特公司的

XMI09—“狙击步枪之三”.该枪全长116.84厘米，重21千克，能够打击两千米之外的目

标（枪口与目标点两点之间H勺距离）.由于是超大口径，它使用的25亳米子弹是由“阿帕奇”

攻击直升机上M789机关炮使用的30亳米高爆子弹改进来的.该枪至少能够穿透50亳米的装

甲钢板，有能力摧毁轻装甲车辆和其他轻装备，能轻而易举地将敌人撕成碎片，被称为杀伤

力最残忍的狙击步枪.

显然，能够操作该枪肯定需要了解点与点之间的距离，这也是本节课我们要研究的问题

之一.

新知导学

"inzhidaoxuc

1.点到直线的距离

因为直线和直线外一点确定一个平面，所以空间点到直线的距离问题就是空间某一平面

内点到走线的距离问题.

如图，设/是过点P平行于向量s的直线，4是直线/外一定点.

作AA'±/,垂足为A',则点A到直线/的距离”等于线段A4'的长度，而向量说在s

上的投影的大小I新狗（同=1）等于线段以'的长度，所以根据勾股定理有点A到直线I的距离

-麻SgP.

2.点到面的距离

如图，设兀是过点。在直于向量〃的平面，A是平面兀外一定点.

作AA'In,垂足为A',则点4到平面7t的距离d等于线段A4'的长度.而向黄萩在

n上的投影的大小曲切|（|加=1）等于线段A4'的长度，所以点A到平面兀的距离d=

一@1一.

预习自测：＞

ruxizice**

1.已知向量〃=（1,0,—1）与直线/垂直，且/经过点4231）,则点尸（-2,1,4）到直线/

的距离为（D）

3走

-

A.2B.2

C.gD.^2

2.在正三棱柱/IBC-A/iG中，AB=2,A4=l则点入到平面48C的距离为（B）

A.当B.坐

I4

C.乎D.小

3.如下图，空间四边形A4C。的各边及两对角线的长均为〃?，则点A到平面3CQ的距离

是（A）

八力〃

C.oD.r5ni

［解析I设点A'是点A在平面BC。上的射影，分别连接4'R、A'C.A,。，如图.由

于AB=AC=AD,

所以它们在平面8c。上的射影A'8、A'C、4'。也都相等，所以点A'是△BCO的中

心.因为BC=m，所以△BC。的高为监儿所以A'。=W〃?.在RtaAVD中，

IA4'|=5》-4,D，=等I,即点A到平面BCZ)的距离为令儿

4.已知在长方体A8CQ-A］BiG。中，底面是边长为2的正方形，高为4,则点A到截

面AS。的距离是(C)

B.1

O

［解析］如图，建立空间直角坐标系，则4(204),A(2A0),3(224),0(004).

设平面ABiDi的法向量为〃=(x,y,z),则

〃•/访i=0,

〃•丽=0,

解得x=2z,且y=-2z.

不妨设〃=(2,—2,1),

设点4到平面481D1的距离为儿

4

则

力-

-3

5.在棱长为〃的正方体A8CD—A0G。中,M是A4的中点，则点4到平面M8。的

距离是(A)

A亚

A.学B.6a

V6

C./

D.3。

叵号探究学案一

HU—DONG—TAN—JIU-XUE-AN团

［解析］启=(—2,0,-1),两=小，或病=一右，点P到直线/的距离为

d=q两2一商常

=\^-2=^-

命题方向2玲点面距

■典例2已知正方形48C。的边长为4,E、尸分别是AB、4。的中点，GC_L平

面ABCO,且|GQ=2,求点3到平面EFG的距离.

I思路分析I在用向量方法求证垂直问题或求距离时，可以建立空间直角坐标系，通过坐

标运算求解，也可直接通过向量运算进行求解.还可利用等积法求解.

［解析］解法一：(转化法)

连接AC,4。交于点0,设AC与EF交于H,连接G”，GO,

FE、二分别为AB、AD的中点,：.EF//BD.

平面GEF,

.♦.80〃平面GEF.

，点B到平面E尸G的距离即为点O到平面EFG的眄离.

「ABC。是正方形，：.AC±BDt：.EF±AC.

•「GC_L平面48C。，又£”u平面48C。，

GC1EF,EFL平面GCH.

*：EF面GEE

...平面GE凡L平面GCH.

过。点作0M_LG〃于M,

则0M_L平面G£”，因此0M是。点到平面GE”的距离，也等于3点到平面GEF的距

离.

•.•正方形ABC。边长为4,

・•.|CM=和0]=(X4啦=3<2.

V|Gq=2,且GC_LCA,.,.防=。4+18=亚.

VRtAaWAZ^RtAGCW,

•IOMIGC1.2VTT

''\OH\~\GH\y||•

点8到平面EFG的距离为呼.

解法二：(等体积法)

连接8G,BF,可知VGBEF=VB-GEF,

:E为4B的中点，

S△BEF=5S△ABF=5XgX2X4=2.

连接AC交£产于“，连接G"，

V£F±/\C,GC1.EF,.•.后/_1_平面6。〃，:.EF上GH.

•••|GC]=2,|AC]=4娘，A|C/^=jX4^2=3-72,

：.\GH\=ylGC2~\~CH2=-4+18=厄.

二•SAGE尸=4x|£/1X|GH|=3x26x/=2，Ti.设点3到平面GEF跑离为h

由VG-BEF=VB-GEF,得1X|GC|XS&BEF=；X〃XSAGEF，

11—

.,.TJX2X2=JTX//X2^11,

解得〃-11.

••・8点到平面GEF的电离为笔L

解法三：(向量法)

如图所示，以。为原点，分别以CD、CB、CG所在的直线为工轴、y轴、z轴建立坐标

系，则8(040。E(2,4,0),凡4,2,0),G(0,0,2).

.\GF=(4,2,-2),球=(2,-2,0),

设平面GE尸的法向量为〃=(x,y,z),

n-GF=02x+y-z=0

则，

x—y=0[z=3x.

n-EF=0

令x=l,得〃=(1,1,3).

又而=(0.4,-2),

|C/?-w|14-61?A/TT

:.点、8到平面GEF的距离d=

।3―yn_11.

『规律方法」向量法求点到平面的距离的关键步骤

(I)求出平面的法向量小

(2)确定该点与平面内一点连线对应的向量.

(3)计算该向量在平面法向量上的射影.

(4)取射影的绝对值即为要求的点到平面的距离.

〔跟踪练习2〕

如图，正方体的棱长为1,O是底面的中心，则点。的平面

48G。］的距离为(B)

1

A.2

2

命题方向3。应用向量求直线与平面的距离

典例3四棱锥中，四边形ABC。为正方形，平面ABC。，PD=

DA=2,F、E分别为4。、PC的中点.

(1)证明：OE〃平面PF&

(2)求DE到平面PFB的距离.

［思路分析I(1)建立恰当的空间直角坐标系，写出相应点的坐标,向量励用成与防线性

表示，从而证明线面平行.

(2)利用点。到平面PFB的距离，可求得线面距.

［证明］(1)以。为原点，建立如图所示的坐标系，则P(0,0,2),F(l,0,0)、仅2,2,0)、EQ1』).

FP=(-1,0,2),初=(1,2.0),DE=(0,l,l),

：.DE=\FP^FB,

・•.丘〃平面PFB.

又,?ZX平面PFB,：.DE//平面PFB.

⑵〃平面PFB,

?.DE到平面PF8的距离等于点。到平面尸产B的距离.

设平面PFB的一个法向量为〃=(x,y,z),

n-FB=0［x+2y=0

则4司ICC，

左八一

［nFP=0x+2z=()

令x=2,得y=—l,2=1,

/./i=(2,-1,1),FD=(-1,0,0),

.•.点D到平面PFB的距离］=需1=余=坐

则OE到平面的距离为尊.

『规律方法』求线面距的基本策略

求直线与平面的距离，前提是直线与平面平行，故可转化为点面距，为此找出平面的一

个法向量和该点与平面内一点连线的对应向量，即可通过向量的数量积来求.一般地，平面a

的法向量为〃，平面内一点P和平面外一点Q,则Q到G的距离d=端用=|两

（跟踪练习3〕

已知长方体人4。。一4向。|。|中，棱AM=5,/W=12,那么直线8iG到平面A18CQ1的

距离是（C）

C.V?D.8

I解析]解法一：•.•8Ci〃4C,且8IGQ平面A4c。，BCU平面ABC。，・・・BiG”平面

AiBCD1.

从而点Bi到平面ABCD的距离即为所求.

过点当作8|E_LA由于E点.

•「BUL平面4A且囱EU平面AMBBi,

：.BC±B\E.

又BCCAiB=8,，小七，平面AIBCQI,

在RtZXAI由中，

口rAifii-BiB5X1260

[48=小2+]22=正'

因此直线8c和平面A^CDt的距离为胃.

解法二：以。为原点，DA.DC,而।的方向为工、)、z轴正方向建立空间直角坐标系，

则C(0,12,0),。。0,5),设B(x,12,0),Bi(x,12,5)(x#0),

设平面48CD1的法向量〃=(a,b,c),

由〃_LBC,〃_LC£)i得

n-BC=(a,b,c)-(—x,0,0)=—ar=0,

6/—0,

n-CD\=(a,b,<?)•((),—12,5)=—12〃+5c=0,

.\b=-^c,，可取〃=(0,512),BiB=(0,0,—5),

/.Bi到平面的距离公隼用=兽

命题方向4◊应用向量求平面与平面的距离

典例4正方体A/3CQ-A用IGOI的棱长为I,求平面与平面8|C"间的距

离.

［思路分析］平面MBD与平面sen间的距离等于平面MBD内任意一点到平面fi.CDi

的距离，这样可转化为点到平面的距离求解.

［解析］以。为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则4(1,01),8(1,1,0),Di(0,0,D，

.*.A7B=（O.I.-I）,/Cb=（-i,o,-i）,0.0）.

设平面的一个法向量为〃=(x,y,z),

〃A|8=O,

则.

./iAiD=0,

:.点、。到平面4丽的距离4=|"产|=+=噂.

•・•平面48。与平面8C。间的距离等于点Di到平面48。的距离,

A

.・.平面A与平面5Cd间的距离为华.

『规律方法』求两平行平面之间的距离，通常也是转化为点面距求解，其基本思路是:

设点4为平面a内任意一点，B为平面A内的任意一点，〃为平面a或夕的法向量，a〃夕，则

平面a与夕间的距离为1=端型=|初・〃。|.

〔跟踪练习4〕

如图所示，在直三棱柱48c—418cl中，N4EC=90。，BC=2,CG=4,E为上一

点，EBi=l,。,F,G分别为CG、BC、4G的中点，E/与8。相交于点”.

(I)求证:BQ_L平面力BO.

(2)求证：平面EGF〃平面A8D.

(3)求平面EGF与平面4B。的距离.

［解析］⑴如图所示，建立空间直角坐标系,设Ai(gO),则G(0,2,0),/(0,1,0),£(0,0,1),

A(«0,4),6(0,0,4),。(0,2,2),G8,I,0).所以布=(0,2,2),公=(一〃。0),册=(0,2,-2),

所以而)病=()+0+0=0,助历=0+4—4=0.所以B\DLBD.又

所以SDJL平面ABD.

(2)因为靠=(一40,0),砺=(0,2,-2),行=(一10,0)，俞=(01，一I)，所以成〃后,

7

EF//BDt所以G尸〃A6,EF//BD.又GFCEF-F,ABQBD-B,所以平面EG/〃平面A8Z).

(3)由(1)(2)知。”为平面EFG与平面A3。的公垂线段.设瓦力=7帅=(0,22,2Z),即胡

二(0,2入2>.-l),际=(0,1,-1),因为丽与际共线，配以了=±「，即人=不所以瓦7/=

(0,5,所以而=(0,1,|),所以|而产斗.因此，平面EGF与平面AM的距离为乎.

V学科核心素养：•:，”去岫七六屈"I、”?；

“uekehexinsuyang'探索性、存在性问题

以“平行、垂直、距离和角”为背景的存在判断型问题是近年来高考数学命题创新的一

个显著特点，它以较高的新颖性、开放性、探索性和创造性深受命题者的青睐，此类问题的

基本特征是：要判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形等)是否存在或某一结论是

否成立.“存在”就是有，找出一个来；如果不存在，需要说明理由.这类问题常用“肯定

顺推”，求解此类问题的难点在于：涉及的点具有运动性和不确定性.所以用传统的方法解

决起来难度较大，若用空间向量方法来处理，通过待定系数法求解存在性问题，则思路简单、

解法固定、操作方便.

■典例5如图所示，在三棱锥。一48c中，A13=AC,。为3C的中点，00_L平面

ABC,垂足。落在线段A。上，已知8C=8,。0=4,4。=3,00=2,在线段4P上是否存

在点M,使得二面角A-MC-8为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理

由.

［思路分析I建立空间直角坐标系，假设在线段AP上存在点M,巧妙地引入参数M即待

定系数），利用二面角A-MC-4为直二面角，把点M的探索问题转化为参数2的确定，然后

通过向量运算来求出A的值，使探索问题迎刃而解.

［解析］以0为原点，以射线。户为z轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Ox”,

则0(000),40,-3,0),8(4,2。),C(-4,2,0),P(0,0,4),

.,.或=(0,-3,-4),«C=(-8,0,0),AC=(-4,5,O),

设线段4P上存在点M,使得二面角A—MC—8为直二面角，

则P石=%或"#1),

・•.而=际+丽=(一4,一2,4)+40,-3,-4)=(-4,-2-3A,4-4A),

设平面4MC的法向量机=(.叫，6，zi),平面APC的法向量〃=(刈，)*Z2),

f-4,vi-(2+32)yi+(4-42)zi=0,

由1得

尿加=0,1一知=。，

即=0,

*2+32

z尸二护”

取》=1,得向量〃2=（01，廷^），

APn=0,3L+4Z2=0,

打即《

—4X2+5>'2=0,

ACn=0,

取”=4,得向量〃=(5,4,—3),

,2+32

由mn=0,得4—3---77=0,

4—4Z

),a_

解得丸=亍PM=^PA,.,.AM=^AP,

.*.P4A/|=T|A7>|=TX5=3.

JJ

综上所述，存在点M使得二面角A—MC-8为直二面角，人M的长为3.

『规律总结」解决与平行、垂直有关的存在性问题的基本策略是：通常假定题中的数

学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理，若能导出与条件吻合的数据或事

实，说明假设成立，即存在，并可进一步证明：若导出与条件或实际情况相矛盾的结果，则

说明假设不成立，即不存在.如本例，把直二面角转化为这两个平面的法向量垂直，利用两

法向量数量积为零，得参数人的方程.即把与两平面垂直有关的存在性问题一转化为方程有无

解问题.

〔跟踪练习5〕

如图，已知三棱柱4BC-48〈中，侧面8。。|8I_1_底面48。.

(1)若M,N分别是A6,AC的中点,求证：MN〃平面BCGBi；

(2)若三棱柱ABC-ASG的各棱长均为2,侧棱“小与底面/WC所成的角为60。，问在

线段AG上是否存在一个点P,使得平面3CPJ_平面ACG4?若存在，求GP与布।的比

值；若不存在，说明理由.

［解析］(1)VA/,N分别是A8,AC的中点，

:.MN〃BC\、

•:BGU平面BCBC,MNQ平面BCBC,

，MN〃平面BCBCi.

(2)作向O_LNC于。点，连接AO,因为平面^CGHiJL底面A8C,所以办OJL平面A5C,

以。为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则40,小，0),5(-1,0,0),C(1AO),Bi(0,0,小)

由屹尸G尸而i,可求出4(1,小，小)，G(2,0,小),

设点P(x,y,z),A\C\=kA\P.

则尸(J+1,小一坐，巾)，

CP=(|»小-田,小),

函=（-1,0,邛）.

设平面AiCP的法向量为〃1=（.仃，yi,Z1）,

ii\CP=O,

由.

wiCTi=O,

令Z|=l,解得〃1=(小，7^7,1).

同理可求出平面ACGAi的一个法向量〃2=(小，1,-1).

由平面8iCP_L平面ACGA］,得〃「〃2=0,

即3+-J7—1=0,解得2=3,

I-X

所以4C1=34P,从而GP：%|=2.

易混易错警示：＞

hunyicuojingshi"

■典例6在四棱锥。一A8CO中，底面48co是边长为1的菱形，ZABC=J,0A

_L底面ABC。，0A=2,求点8到平面OCO的距离.

［错解］(1)建立空间直角坐标系后，坐标轴上点的坐标较易求，而点D不在坐标轴上，

若求错。点坐标，会导致后面求解结果错误.

(2)向量种是以平面OC。内一点O为起点，点B为终点的向量，是求点B到平面距离的

一个重要前提，若把渔的坐标求错、会导致求解结果错误.

(3)平面。CO的法向量〃，若向量〃的坐标求错，会直接导致结果错误.

［辨析］由A4CO是边长为1的菱形，。43_平面A8C。可知如何建系，而由A8=l,

=2,/48。=；可以求出所涉及的点的坐标.

［正解］在平面4BCO内作AP_LC力，交C。于点P,以点4为坐标原点，以AB,AP,

AO所在直线分别为x,)，，z轴建立空间直角坐标系，如图，则A(0,0,0),8(100),P(0,乎，0),

《一坐,坐0),0(00,2),所以决=((),乎，一2),而=(一乎,乎，一2),OB=(\,0,

-2).设平面0C。的一个法向量为〃=(x,)，，z),

取z=l,则〃=(0,26,

1).设点8到平面OCQ

■»

的距离为d,则1=铝回=*所以点8到平面08的距离为之

I”]11

『规律方法』1.合理建系

在利用向量处理立体几何问题时，要从题目的已知券件分析，合理地建立空间直角坐标

系，特别注意线的垂点，直角等条件，如本例中由OAJ•底面A8CO及底面是菱形，可以知道

如何建立坐标系.

2.求解坐标时要合理利用已知条件

在利用向量处理立体几何时，建系固然重要，但建系后正确求出点的坐标更是关锭，故

解题时要充分观察、利用已知条件，准确地求出所需的点的坐标，特别是一些不在坐标轴上

的点的坐标，如木例中的点£)的坐标.

课堂达标验收之

%tang