高数二下练习题答案全部

高等数学11练习题

学院专业班级姓名学号

反常积分、定积分应用（一）

1、求无穷限积分（«＞（））o

广""二」（过程略）

J。a

3、求由曲线），2=2X与x+y=4所围成图形的面积。

解上或-=8是两交点

x+y=4[y=2[y=-4

'•S=£（4_y浮dy=（4y-H）R=18

4、求由曲线不，=1和直线），=x,x=2所围成的平面图形的面积。

S=gx2x2-（j：T/r+J：：aj=|-ln2（请自己画草图，体会两种不同的求法）

5、抛物线)，=-X2+4X-3与其在点(0,-3)和(3,0)处的切线所围成的图形的面积。

解：

过点(0,-3)的切线方程为)，+3=4x,而过(3,0)处的切线方程为)，=一2(大一3)

故求的两切线交点为(1,3),则所要求图形的面为：

S=S\+S?=-3)-(-x2+4x—3)k++6)—d+4x—3)拉=1

6、设椭圆的参数方程为x=2cos，,y=gsin，，求椭圆的面积。

解：由椭圆的对称性，椭圆的面积可表示为：

S=4fydx=4/.6sinrd(2cos。=-8\/3j^sin2tdt=267r

(简单的计算过程略，希望同学们自行补充完成〉

7、在［0,1］上给定函数)，=/,问/取何值时，右图中曲边三角形OACO与ADBA的面积

之和最小？何时最大？yA

J

解：设曲边三角形OACO和4D"的面积之和为A(f)/

AQ）二J：打3十£'（i-V7）dy=1J?「+（），

J

z.A\t)=4r-2r,令A'(f)=0,:.t=0或，=-

当/£［0,L对，A")<0，函数单调减少

2

当止J,1］时，A⑺>0,函数单调增加

・・・40)=：,衲)=；,41)=：

所以当r=l时，面积之和最大，当/=,时，面积之和最小。

2

高等数学11练习题

学院专业班级姓名学号

定积分应用（二）

1、求由曲线）/=工和），=，围成的图形绕X轴旋转所得的旋转体的体积。

解：

（研,=青

2、分别求由曲线J7=x,y=2-x及x轴所围成的图形绕x轴、），轴旋转而成的旋转体的

体积。

解：

绕x轴旋转而成的旋转体的体积

八、

K--=4O（X2\）2&1+.2,（2—x）2~dar=三7C+Q7V=R8"

绕），轴旋转而成的旋转体的体积

K=万£[（2-y）2-y]d>'=%（4），-。y?+?2）八二?不

J°236

3、求由曲线），=/和直线x=2、），=0所围成的平面图形分别绕x轴和），轴旋转的旋转

体的体积。

解：

图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积

匕="，（丁『心"方九

图形绕y轴旋转而成的旋转体的体积

匕=乃x2?x4—/（G）dy=8/

4、求曲线y=^sinx（xG（0,4））所围成的图形绕y轴旋转的旋转体体积。

（参考课本第214页（4）的（6.37）的做法，注意是按圆环体来分隔）

解：

图形绕y轴旋转的旋转体体积

V=2万1）x|/（x）|dx=2〃/x2sinxdx=-2H-X2COSX；+2xcosxdr

=27,+47rxsinsinxdx=24'-84

高等数学11练习题

学院专业班级姓名学号

定积分综合

一、选择题

1、设函数/(此在们二连续，则曲线)，=/(幻与直线x=a,x=〃,y=0所围成的平面

图形的面积等于

(C)

(A)jf{x}dx(B)£f(x}dx(C)jh\fM\dx(D)-a)(a<b)

KJT打

2^设I=江，I2=^4xdx,A=『sinxdr,则(D)

(A)Z,>Z2>L(B)/J,>/I,>/K(C)/I,>/J,>/I,(D)Z?/>lZ.a>?I-.

3、设/3)连续，/*)=1+2。⑺力，则/*)=(B)

(A)x(B：x-\(C)x-2(D)x+1

4、下列结果正确的是(B)

”4b

*r222n2

A)slnfB\nfs

一iJt-

批si

4面"si

\2\2

c)DJTn厂cBn

瓦2-

sint~dt)=sinxXZIrssir

公

5,设/（"（J；J：；W则〃x）在KM］上(B)

（A）单调增加（B）单调减少（C）有增有减(D)无界

6、设/（X）是连续函数，则//⑴公一//（〃+〃一公公二

(A)

JaJa

rh

（A）0（B）1（C）a+b(D)[f(x)dx

Ja

7、若/（x）是连续函数且为奇函数，则，/⑺力是(B)

（A）奇函数（B）偶函数（C）非奇非偶函数(D)既奇既偶函数

8、下列反常积分发散的有(C)

dx

(A)——(C)——dx(D)fe7dx

J。1+xJexJo

9、下列反常积分收敛的有(D)

10、由曲线y=/(x),)=g(x)(f(x)<g(x),)及直线x=。，x=/?所围

图形绕x轴旋转而成立体的体积是(B)

<A)J：加g(x)—/(x)『at(B)^[g2(x)~f2(x)\dx

(C)^7vg2(x)dx(D)j\[^W-/(x)Uv

二、填空题

1、利用定积分的几何意义，填写下列定积分的结果:

⑴J。\l4_fdx=[⑵J：(x-1)公=__________

2、利用定积分的性质，填写下列各题：

九27r

2—八Q-

(1)6<J\l+x)rfx<51⑵9W]xarctanxdx<3

3^设J。/")力=xsinx,则/(x)=sinx+—cos*

4、己知/(工)在(-8,+8)上连续，且/(())=2,且设/")=.f(t)dt,则尸(0)=

Jsinx

2

_o3cos9x.

N_____。--(-c-os-x-y-)；--sinx

r3.r个fCOSA-v.2.&

5、设y=y(x)由J。cos厂力+J0e力=0所确定，则y=。

6、设/(x)为连续函数且满足「”/⑺力r则/⑺=12。

7、求下列定积分[

(l)j;(2x+l)/小200(2)°cos/题=—

(4)/产=____26-2________

(3)]：|2工-4四二—13

xjl+lnx

(5)J^_x8sinxdLr=_,「Tnx,1

0(6)-------1------------

sinxdr=_____0___________(8)j:cos9二2JJcosxtZr

8、若反常积分『；(；：『收敛,

>I

9、某厂生产的边际成本函数C'(x)=13+4x,且固定成本C0=10,则总成本函数

13X+2X2+10

C(x)=;当产量由2个单位增至4个单位时，总成本的增量

是。

高等数学11练习题

学院_______专业班级姓名学号

一阶微分方程

1、求cosydx+（1+e*）sinydy=0的通解。

解：原方程可化为tanydy=-一^—dx

1+6

积分，得ln|8sy|=ln（l+，）+C'（其中C为任意常数）

令C=±/'，不难看出C为任意常数，

故，方程的通解为cosy=C（l+ev）（C为任意常数）

2、求微分方程ydx+x2dy-4dy=0,满足y\目=2的特解。

解：原方程可化为=

yx-4

1r+2

积分得ln|y|=-ln|--|+C（其中C为任意常数）即

4x-2

）'4二±/'—7，令C=±e4。，不难看出C为任意常数，故原微分

方程通解可表示为：段），其中C为任意常数，当乂i=2时,

c=3

3

故满足条件的方程的特解为寸=等黑

3（^-2）

3、求微分方程（），2-6元）丝+2），=0的通解。

dx

dxa”

解：方程可化为：------x=——

dyy2

所以

X=（J一/JF办+C）=（卜].,3加,力+C）=y3（b].士由,+C）

4、微分方程不，'一「一五2-♦=（）的通解。

解：当x>0时，原微分方程可等价为齐次微分方程

设"二£则有

A

1,1,

---------）-------------du=—ax

〃+J/-1一〃x

对应的通解为u+Ju?_1=CM

即y+JV—/=02（其中c为任意常数）

当x<0,易得原微分方程的通解为同样的形式。综上所述,

微分方程9'-y-Jy2-x2=0的通解为

y+^y2-x2=Cx2（其中c为任意常数）

5、求微分方程y'=：+^,满足）力.尸2的特解。

解：令〃=上，则原微分方程变为

x

11

----------dJu=—dJx

u+u-ux

积分得

v=,nH+c

即千二/（加k|十。）（其中C为任意常数）

由初始条件MI=2,代入上式，可求得C=2,所以原微分方程在此初始条件下的

特解为y2=2x2（ln|x|+2）

6、求微分方程+y=3的通解。

解：易知原微分方程对应的齐次微分方程可表示成

1」1；

—ay=—ax

yx

其通解为

c

>•=-（其中C为任意常数）

由常数变易法，令原微分方程的通解形式为y=则y=c'（x』：c（”代入

xx

原微分方程，得

C'（x）=3,积分得C（x）=3x+C（其中c为任意常数1。

于是，所求微分方程的通解为

y=-+3（其中c为任意常数）

x

7、设/(X)为连续函数，由1V⑺4=/+/*)所确定，求/(工)。

解：对积分方程两边求导数得xf(x)=2x+f\x),

即/V)-xf(x)=-2xR/(O)=0

f(x)=J"(j-2xeiulxdx+C)=e5(J_2xdx+C)=e^(2e~+C)=2+Ce7

当x=O时，/3)=0代入上方程得。二一2

,y

故/(x)=2—2”

8、巳知生产某产品的固定成本是a>0,生产Q单位的边际成本与平均单位成本之差为:

且当产量的数值等于。时，相应的总成本为加，求总成本C与产量Q的函数关

aQ

系。

解：由题意得C'(Q)-30=2-g

Q。。

...”畋="。=1=_1

Q

・•.C(Q)=AQ+Qf(&-g)4dQ=4Q+，Q2+a(A为常数)

JaQQa

•・•当Q=M,C(Q)=2a:.A=0C(Q)=-Q2+a

高等数学11练习题

二阶微分方程

1、求方程)，"=)，'的通解。

解：特征方程为r2=r,得特征根为4=0,弓二1

所以方程的通解)，=G+G/

2、求微分方程＜+69+(9+。2)),=0的通解，其中常数。＞0。

解：特征方程为：,+6r+9+。2=0,求得特征根工2=-3±切

所以方程的通解y=""(Gcosar+C2sinax)

3、求方程4y〃+4V+)=0,V,E=2,^皿=。的特解.

解；特征方程为4r2+4r+l=0,解得特征根为4=^=—-

-2

所以方程的通解为y=(G+C2x)e^

把Ri=2,y|v=0=o代入上二式，得G=2，G=1

।

故所求方程满足条件的解为y=(2+x)e2"

4、求微分方程y〃-y'-2y=5sinx的一个特解。

解：特征方程为：分一4-2=%—1,%=2

故设微分方程的特解为Acosx+Bsinx,代入微分方程得

(-Acosx-Bsinx)-(-Asinx+Bcosx)-2(Acosx+BsinJ:)=5sinx

4=1

-A-B-2A=0I2

＞

-B+A-2B=5^\D3

D=---

2

.•.微分方程的一个特解为X.

5、求微分方程)，“-5)，'-6y=--3的通解“

解：特征方程为:储一54—6=0,.二4二一1，4=6

・•.齐次微分方程的通解为y=+G*

设非齐次微分方程的特解为4+Ax+代入微分方程得

2

2A2-5(2A,x+A)-6(A2X+9+&)=V-3

[A23

A)=—

3=11。8

~5

—10A,—6A=0=>A.=—

~1,18

2A5AI-64=-3।

非齐次微分方程的通解为)，=C—+C*—-2+g

618108

6、设函数求微分方程了〃-2)，'+'=沅、一，满足初始条件兀=()=1，¥1)=1的特解。

解:特征方程为:万-2/1+1=(),.•.4=4=1

x

・・・齐次微分方程的通解为y=(C.+C2x)e

设非齐次微分方程的特解为f(4+代入微分方程得

6Ax+24=x-\

「•A)=一:，A=7

2o

x2

非齐次微分方程的通解为y=(C,+Czx)e-4-x(-l+lx)^

,/当x=0时,y=l,y=1

；.<G-1..(G-1...特解为y="+X%”(」+L)

口+。2=1[G=o26

高等数学11练习题

学院专业班级姓名学号

微分方程综合

一、选择题

1、下列各微分方程中为一阶线性微分方程的是

(B)

(A)xy'+y2=x(B)yfx4y=sinx(C)yyr=x(D)(yr)2+xy=0

2、满足方程f(x)+2^f(t)dl=x2的解是/(X)=

(B)

(A)--e~2x+x+-(B)-e'2x+x--(C)Ce'2x+x--(D)Ce~2x+x+-

222222

3、已知y\=coscox,y2=3cos公v是方程y"+济y=()的解，则y=Cj+C2y2(CPC2

为

任意常数)

(B)

(A)是方程的通解(B)是方程的解，但不是通解

(C)是方程的一个特解(D)不一定是方程的解.

4、具有特解必,%=2面、的二阶常系数齐次线性方程是

(B)

(A)9y=()(B)y"-6y'+9y=0

(C)y"+9y=0(D)y"+6y'+9y=0

5、微分方程y〃+4V+29y=(),y|x=o=O,/|v=0=15的特解是y=

(C)

(A)3(e~2x-l)cos5x(B)5(e~2'-l)cos3x

(C)3^21sin5A,(D)5^-2vsin3x

6、微分方程)，"-的一个特解应具有形式(式中。功为常数)

(D)

(A)aex+b(B)axex+b(C)aex+bx(D)axeK+bx

7、微分方程/-4y+4y=xe2A+sinx的特解应设为

(D)

(A)y=(Ar3+Bx~)e~x+Csinx(B)y=Axye~x+Bsinx+Ccosx

C)y=(Ax+B)e2x+Csinx+DcosxD)

y=(Ar3+Bx2)e2'+Csinx+Dcosx

8、设微分方程y"-2y'—3)，=/(x)有特解y*,则它的通解是

(A)

vxx3x

(A)y=C<+C2?4-y(B)y=C1e-+C2e

xxKyx

(C)y=C[xe~+C2xe,+y*(D)y=C1e+C2e~+y

二、镇空题

।小八士工“，「---7八3注初口y+=丘,其中。为任意常数

1、微分方程通/一〉一，厂一厂=0的通解是'"______________

2、微分方程)，'=：+7,满足.¥|一二2的特解为旷=2%(1!!凶+2)

y=(x+C)cosx,其中C为任意常数

3、微分方程y'+ytanx=cosx的通解为

4、微分方程)，"一2y'-3y=()的通解是—y=G""+G/、,其中G，G为任意常数.

)，=(G+c#e-"(G，c,为任意常数)

5、微分方程y〃+6y'+9y=0的通解是

6、具有特解％和y=e-2x的二阶常系数齐次线性方程为‘)”

yn-2yf+5y=0

7、设y=e*(G以”21+。2sin2x)为某方程的通解，其方程为

耳

x2e^(A)+A4+4必)，

8、方程4)，"-]2y,+9y=e^(3x2+2)的特解可设为其中4，A，&为待定常数

,4+AX+4—(A),&A,为待定常数)

9、方程)，"+)，=1+1的特解可设为一”.-

xev(Acos2x+Bsin2x),其中A8为待定常数

10、方程y〃-2)，'+5)，=/sin2x的特解可设为.

其中A,3为常数

11、方程)产一6V+9)，=(x+1)/、的特解可设为.

注意：特解的表达式里面出现的常数，可说成“其中。。。。为常数”或者“其中。。。。为待定

常数”两者都可以。

高等数学11练习题

学院—专业______一__班级姓名_______学号.

空间解析几何、多元函数概念和性质

一.选择题

i方程炉+)，2—4Z+8=0表示

(D)

(A)平面(B)柱面(C)球(D)抛物面

1

2函数z=..=的定义域

71n(x+y)

C)

(A)x+y>0(B)ln(x+y)wO(C)x+y>1(D)x+y^\

3、设z=6+-1)，且当y=1z=x时，则f(y)

(D)

(A)y[y-\(B)y(C)y+2(D)y(y+2)

22

4、若/(x,y)=ln(x-^x-y)(x>y>0)则f(x+y,x-y)

(B)

(A)ln(x-y)(B)21n(五-万)

(C)—(lnx-lny)(D)2ln(Vx-y)

二.填空题

1、方程片+)广=8表示表示空间的准线是xOy平面二的半径为次，原点为圆心的圆,

母线平行于Oz轴的圆柱面

(x-l)2+(y-3)2+(z+2):=14

2、若--球面以点(1,3,-2)为球心且过原点，则其方程为

3、球面：x2+),2+z2—2x+4y—4z—7=0的球心相依丝

，半径R二

4

4、z=ln(v-x)+/6的定义域{-Klf+己〈|,),〉心0}

心Fxy

5、设函数/(x,y)=<3+3)/,则/(工历)=y

6、已知/(〃,匕卬)=〃"+w"+v,则y.x-y.xv)=(x+y)"+-

X2-靖二Hl—一

7、已知/(1+丁,2)=，一),2,则/«),)=。+)y1+)'

X

三.计算题

Klun^2

(x,y)T(2,0)y

解：•.,sin(Ay)〈A^

.•.当(—(2,。)时，3-2

y

则原式=2

(N)TO,O).+4—2

解:—西+2)二衔+2

，个+4-2(q砂+4-2)(网+4+2)

原式=lim(Jxy+4+2)=4

(7)r(O,O)”

1-cosjx?+y2

3、lim

(.r.y)->(0.0)(x2+y2>tW

解：•••1-COSG+)/~；(Y+),2)

|u2+r)

.•.原式=lim—------kr

(*,y)T(OQ)(%2+2)/+2y

=lim—(注意：如何应用变显替换法，把二元函数的极限转化

e+2y

(.r.y)->(0,0)2e2

为一元函数的情形，利用一元函数的常见的等价无穷小来计算！考虑下什么情形下是安全

的！)

高等数学II练习题

学院,专业班级姓名学号.

多元函数导数及微分

1、设函数2=），$也（孙）+（1-），）2©@114+«一"，求0“0）。

CX，

2

解：^-=ycos(A>0+(i-y)—J2J

C"]+(石)2«

&111

o

--十X=

nu2-4-

ax0)4-1

2、求函数z=arclan肛+2厂+y的全微分心。

解：dz1dz1

-=------TV+4x；—=------T-X-

dx1+(刈)~dy1+(冲)-

由全微分公式dz=^dx+^dy

dxdy

则

dz=(3-7+4x)dx+(X+\)dy

1+(孙)-l+(xy)~

，n_xkdzdz

3、设2=arctan—,而大=〃+y,y=u-v,求——+一。

ydudv

解:由链式法则'矣翳+舞=

―--[--—]

2

1+(-))'V

)'

dz_dzdxdzdy_1

।4J

dvdxdvdydv〔+(/>yy-

dzdz2yu-v

---F--=-------=------（注意，最后的答案应写成u,v的形式，因要求的表达式

dudvx2+)尸u2+v2

默认是u,v的函数！）

4、设2sin(x+2y-3z)=x+2y—3z,求它+生及dz。

dxdy

解；山12知z=z（x,y）,原方程两边对x求偏导数

dzc)z

2cos(x+2y-3z)(l-3—)=1-3—

dxdx

对y求偏导数

2cos(x+2y-3z)(2-3—)=2-3—

dydy

整理可求得

dz_2COS(JC+2y-3z)-1_1dz_4cos(x+2y-3z)-2_2

dx6cos(x+2y-3z)-33dy6cos(x+2)，-3z)—33

因喑导1

故z的全微分可表示为:

dz=-dx+-dy=-dx+-dy

dxdy33

z/7

5、设z=ex~2y,而x=sinf,y=,求一。

dt

生二丝虫+生虫="-2、8§/+(_2)/-2、3〃=^n/-2,3(cos/-6r2)

群dtdxdtdydt''v)

(要特别注意上面式子z在不同地方表示不同自变量的函数，如t的函数，x,y的函数：这是

把原来z是t的一元函数表示成z是二元函数的复合函数的情形)

x8rz

6、设2=$后(工)，)+中(工,一)，求-----，其中卬(〃d)有二阶偏导数。

yoxdy

8zrIx

解：—=ycos(xy)+\(x,;(x,-)

exyyy

dzxxxx1x

VV=cos(xy)-盯sin(xy)一一-(p\(x,-)一一^"(x,-)一一

dxdyy~2yyr22yy~y

(注：下标1,2的表示对应的偏导数，参见课本p251例7.25)

7、设Y-3A>2=",求—To

dX

解法一：方程两边对X求偏导数

3z2--3yz-3A>f—=0

dx'ox

整理得

dzyz

--=-------

dxz2-.r>'

上式两边对x求偏导数

汹—琮（-一⑹-），z（2z/一,靠中—田）+V_2近

-

获一（?-AT）2一好一丁一下引

8、设z=z（x,y）由『+产+z，+冷2-6=0所确定的函数，求李（以一）

CX

解：方程两边对X求偏导

3x2+3z2—+yz+xy—=0

dxox

整理得

dz_yz4-3x2

dx3z2+xy

dz\—2+31

因此瓦l（L2I）=3i2~~5

高等数学11练习题

学院专业班级姓名学号.

多元函数极值和最值

1、求函数2=（1—幻2+（1—丁）2的驻点。

解：解方程

—=2（A-1）=0

—=2（y-l）=0

得驻点（1,】）

2、求函数z=.yy（l-x-y）的极值点。

解：由

(0.0)(0.1)(1.0)

求二阶偏导数

A=z：=-2y,B工=1-21-2y,C=z；,=-2x

对点耳］'-4%/T<O,A=/<O

故（1/3,1/3）为极大值点。

对点（0,0）：廿-小。）=1>0,不是极值点

对点（0,1）和点（1,0）,刷h。），故（0,1）和（1,0）都不是极值点;

3、求2=第3+），3—3工2—3），2的极值。

解法I）：由（0,0）,（0,2）,（2,0）,（2,2）

—=3X2-6X=0

dx

—=3y2-6y=0

得驻点（。，。），（。，2），（2，。），（2,2）

计算二阶偏导数

A=z1=6工-6,B=z*.=0,C=z\=6y-6

对应地，

B2-八。(0°)=-36<QA=-6<04-q°,)=36>0

8?-AC|=36>02=-36<0,4=6>0

1(2.0)1B(2.2)-Ad

z|=0

故(0,0)是极大值点，极大直为(0,0)

4(22)=-8.

(2,2)是极小值点，极小值为<2,2>

解法2)：

z*=3x2-6x=0

解：20驻点为(0,0),(0,2),(2,0),(2,2)

Z；,=3y-6y=0

z；=6九-6z7=0z[=6y-6

在(0,0)处，A=-6,B=0,C=-6,在一AC=-36<O...(o,o)为极大值点,z\=0

在(0,2)处，A=-^B=0,C=^B2-AC>0(0,2)不是极值点

在(2,0)处，八=6,3=0,。=一6,52-4。〉0.・.(2,0)不是极值点

在(2,2)处，4=6,3=0,。=6,82-4。<0,「.(2,2)为极小点，zl99=-8

4、设生产某种产品需要甲、乙两种原料,，已知甲种原料的价格为2,乙种原料的价格为1,

而用X单位的甲种原料和y单位的乙种原料可生产产品数量为

z=20-x2+10x-2/+5y,若该产品的单位价格为5,试求最大利润.

解：收入A=5z成本C=2x+y

利润L=5(20-x2+\0x-2y2+5y)-2x-y=-5x2-1Oy2+48x+24y+100

A；=-10r+48L\=-20y+24=>(y,1)

2

L"xv=-10,L1=0,Z/vv=-20,B-AC<0,故最大利润为可丝229.6

55

5、工厂的同一种产品分销两个独立市场.两个市场的需求情况不同，设价格函数分别为

^=60-30,6=20-2。?，厂商的总成本函数为C=12Q+4,。=。1+。2,工厂以

最大利润为目标，求投放每个市场的产量，并确定此时每个市场的价格.

22

解：总收入：R=P1Q^P.Q2=(60-3Q)Q+(20-2Q.)Q2=60Q+20Q2-3Q,-2Q2

22

总利润：L=R-C=60Q+2O02-3e,-2e2-l2(Qt+Q2)-4

22

=48Ql+8Q2-3Ql-2Q2-4

dL

函=-62+48=0

=Q=8,02=2,不难验证（8⑵为最大利润对应的极值点

dL

=-4(2+8=0

葩2

.•.<=36,6=16

6、某厂为促销产品需作两种手段的广告宣传.当广告费分别为X,），时，销售量

e=200%+100^＞若销售产品所得利润L=2_Q—a+y）,两种手段的广告费共25（千

x+5y+105

元），问如何分配两种手段的广告费才能使利润最大？

解：作函数尸。,乂；1）=,。一。+），）+〃25—工一丁）

5

(犬+5)2

「2001Jn

求偏导〈卜=-----7-I-X=0得x=15,y=10

­v(尹10)2

F\=25-x-y=0

••.两种广告分别为15（千元）和10（千元）的时候使得利润最大

高等数学11练习题

二重积分

1＞设区域D由=工所围成，求JJ*2+）“◎。

D

解：

r-4

原式（X型累次积分尸J；甸;（V+田力=门/（五_/）+；X}dx

原式（Y型累次积分）=

1[6y3]dy

£到f，+y）&=Jo|产+产f-=盖

2、设。是由直线x=2,），=x及肛=1所围成的平面区域,求JJIdxdyo

Dy

解:

原式（X型）=J:公办=J：（—x+V世='

xy，

3、设区域。由），轴与曲线x=cosy（<y<］）所围成，求

Jj3x2sin2ydxdy。

D

解：

原式（Y型）=

7t

J:33x2sin2ydx=j^sin2j^-cos3ydy

22

=f2兀(cos3y-cos5y)dy=

J—1s

215

、n1--V—y,x+yWl.八-八

4、设/（x,y）=（「。为正方形：0<x<l,0<y<lt,

n0,x+y〉l

计算公办'。

D

解：原式（矩形区域）=

〕北〃乂）'）公心=1公乂公J；"（x，）'）dy+J=〃无，）'）办=

£小J：*ar一历办=£'（1-^+^2）^=1

冗7T

5、求积分「办尸字公。

解:

把原式Y型的累次积分转化为X型

即原式=

乃衣2.1

JJtZrj=Jjcosx6k=sinxj=-

°°x°2

6、设积分区域。由x=4，x+y=2及y=0所围成，求||（工2+）,2）do。

D

解:

X

原式=工我CT'+V)公

=J；(q+y2x)

dy

36

=131

105

7、设积分区域。为/+）/vi,求0（正+丁一巧）公办。

解：4-x=rcos0,y=rsin

原式=J：帕［：r(r-r2sin<9cos0)dr

112

=£(---sin^cos^)^

arctan—

8、计算]]),.do,其中。由14/+丁2«9,ow)，wx所围成。

Dyjx2+y2

解：^x=rcos0,y=rsin0

原式=/de.arctanOan%%.=2p<9^=—

JoJirJo]6

高等数学11练习题多元函数微积分综合

一、选择题

Hz

1、设z=/(x,y),则三鼠”)=(B)

(A)勒+&，必+△)>/(%，%)(B)垢/(/+馍)'。)-/>。，「。)

4->0AxAr->0Ay

(c)lim/(/+A*)')-/(•%，No)<D)11m/(/，*+△)，)-/(/，为)

ztoArnoAv

2、若z=