自动控制原理 课件 第三章 线性系统的时域分析法

自动控制原理第三章

线性系统的时域法分析法授课目录1.

时域分析基本概念2.自动控制系统典型输入信号3.一阶系统的时域分析4.二阶系统的时域分析5.自动控制系统的稳定性分析6.自动控制系统的稳态误差分析稳：(基本要求)系统受脉冲扰动后能回到原来的平衡位置准:(稳态要求）稳态输出与理想输出间的误差(稳态误差)要小快:(动态要求)过渡过程要平稳，迅速控制系统的研究内容如何分析这些性能，有何具体指标？经典控制理论中常用的工程方法有时域分析法根轨迹法频率特性法3.1

时域分析基本概念时间响应是指控制系统在典型信号的作用下，输出量随时间变化的函数关系。1.稳定性：若控制系统在初始条件或扰动影响下，其瞬态响应随着时间的推移而逐渐衰减并趋于零，则称系统稳定；反之，不稳定。2.暂态响应：也称瞬态响应是指系统在典型输入信号作用下，系统输出量从初始状态到最终状态的响应过程，又称动态过程或过渡过程。3.稳态响应：指系统在典型输入信号作用下，当时间t趋于无穷时，系统输出量的表现方式。稳态响应又称稳态过程，稳态响应可以提供系统有关稳态误差的信息。控制系统的时域分析，就是对一个特定的输入信号，通过拉氏反变换，直接求解线性系统的动态微分方程，以得到系统输出(被控量)随时间变化的表达式及其相应曲线，来分析系统的稳定性、快速性和准确性等。选择典型信号目的：为了方便系统的分析和设计，使各种控制系统有一个进行比较的基础，需要选择一些典型试验信号作为系统的输入，然后比较各种系统对这些输入信号的响应。选择典型信号原因：不管采用何种典型输入型号，对同一系统来说，其过渡过程所反应出的系统特性应是统一的。这样，便有可能在同一基础上去比较各种控制系统的性能。选择典型信号原则：1.简单的时间函数，以便于分析处理；2.易于通过实验产生；3.能使系统工作在最不利的情况下的输入信号作为典型实验信号。3.2

自动控制系统典型输入信号典型的输入信号（时域）谐和函数：3.3

一阶系统的时域分析一阶系统：能用一阶微分方程描述的系统。典型形式是惯性环节传递函数的一般形式为时间常数增益，常为1控制系统的时间响应：瞬态响应是指系统从初始状态到最终状态的响应过程。稳态响应是指当时间t趋于无穷大时，系统的输出状态。一阶系统的单位阶跃响应给系统以典型的单位阶跃输入信号，研究其输出变化情况C(t) 1 0.632 t 斜率=1/T

T O 2T 3T 4T 5T 一阶系统的单位斜坡响应

T稳态速度误差：速度误差：一条由零开始逐渐变为等速变化的曲线，稳态输出与输入同斜率，但滞后一个时间常数T，即存在跟踪误差，其数值大小也等于T。一阶系统的单位脉冲响应

一条单调下降的指数曲线，T越小，系统的惯性越小，过渡过程越短，系统的快速性越好，反之，T越大，系统的惯性越大，系统的响应越慢。一阶系统的典型输入响应特性与时间常数T密切相关，时间常数T越小、单位脉冲响应的衰减越快，单位阶跃响应的调整时间越小，单位斜坡响应的稳态误差及滞后时间也越小。线性定常系统的重要特征对输入信号积分的响应就等于系统对输入信号响应的积分对输入信号导数的响应就等于系统对输入信号响应的导数3.4

二阶系统的时域分析其中K为系统的开环放大系数，T为时间常数。由二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。E(t)R(t)_C(t)二阶系统结构图典型二阶系统的结构图。系统的闭环传递函数为式中，称为无阻尼自然振荡角频率（简称为无阻尼自振频率）称为阻尼系数（或阻尼比）。闭环特征方程为：其特征根即为闭环传递函数的极点为：1.当0<ξ<1时，此时系统特征方程具有一对负实部的共轭复根系统的单位阶跃响应具有衰减振荡特性，称为欠阻尼状态。(如图a)2.当ξ=1时，特征方程具有两个相等的负实根，称为临界阻尼状态。（如图b）3.当ξ>1时，特征方程具有两个不相等的负实根，称为过阻尼状态。（如图c）4.当ξ=0时，系统有一对共轭纯虚根，系统单位阶跃响应作等幅振荡，称为无阻尼或零阻尼状态。（如图d）具体实例(m-k-f模型)二阶系统的单位阶跃响应对上式进行拉氏反变换即可求得单位阶跃响应。无超调，无振荡。2上式表明，系统的单位阶跃响应由稳态分量和瞬态分量组成，其稳态分量为1，瞬态分量包含两个衰减指数项，随着t增加，指数项衰减，响应曲线单调上升。二阶系统的单位阶跃响应系统的瞬态响应为等幅振荡，振荡频率为无阻尼自然振荡频率。阻尼自然频率二阶系统的单位阶跃响应系统的稳态响应为1，瞬态分量是一个随时间t的增大而衰减的正弦振荡过程。振荡的角频率为它取决于阻尼比和无阻尼自然频率。推导过程类似于欠阻尼状态，略二阶系统的单位阶跃响应不同阻尼比下的单位阶跃响应曲线二阶系统的两个特征参量阻尼比和无阻尼自然频率决定了整个系统的瞬态响应。除了一些不允许产生振荡的控制系统外，通常允许控制系统有适度的振荡特性，以求能有较短的调整时间，因此系统一般工作在欠阻尼(0.4-0.8)状态下。以欠阻尼为例，推导瞬态响应各项特征指标的计算公式。二阶系统的瞬态响应指标延迟时间td：第一次达到稳定态的一半所需的时间上升时间tr：第一次达到稳定态所需的时间（产生振荡时）或从稳定的10%上升到稳态值的90%所需的时间（无振荡时）峰值时间tp：达到超调量的第一个峰值所需的时间。超调量σ%：超出稳态值（为1）的最大偏离量

调整时间ts：第一次达到并保持在允许误差范围（一般为稳态值的Δ=5%或2%）内所需的时间稳态误差ess

:当时间趋于无穷时，响应曲线的实际值(即稳态值)与期望值之差定义为稳态误差。在单位反馈系统中，稳态误差即为输出的响应值与输入值之差。5%的稳态值响应稳态值典型的单位阶跃响应曲线（衰减振荡形式）

1.上升时间tr响应曲线从零开始上升，第一次到达稳态值所需的时间，称为上升时间二阶系统的瞬态响应指标2.峰值时间tp响应曲线C（t）从零开始到达第一个峰值所需时间，称为峰值时间二阶系统的瞬态响应指标在响应过程中，输出量C(t)超出其稳态值的最大差量与稳态值之比。3.最大超调量σ%二阶系统的瞬态响应指标响应曲线到达并停留在稳态值的(或误差范围内)所需的最小时间4.调整时间ts二阶系统的瞬态响应指标1.欲使系统有满意的瞬态响应指标，必须综合考虑和选择合适的阻尼比和无阻尼自然频率2.保持不变而增大，对超调量无影响，却可以减小tp,ts，即可以提高系统的快速性3.保持不变而增大，超调量减小，增加相对稳定性，减弱振荡性能，在，随着阻尼比的增大，ts减小；时，随着阻尼比的增大，tr,ts均变大，系统快速性变差。4.最佳阻尼比结论二阶系统的瞬态响应指标例题3-1C(s)R(s)例题3-2C(s)R(s)例3-3

设单位反馈的二阶系统阶跃响应曲线如图所示，试确定系统开环传递函数。解：由图可直接得出系统的超调量为峰值时间为解得于是得二阶系统开环传递函数为3.5自动控制系统的稳定性分析稳定性是指控制系统偏离平衡状态后，自动恢复到平衡状态的能力。当系统受到扰动作用后，其状态偏离了平衡状态，当扰动撤销后，（1）如果系统的输出响应经过足够长的时间后，最终能够回到原先的平衡状态，称此系统是稳定的。（2）反之，如果系统的输出响应逐渐增加趋于无穷，或者进入振荡状态，则系统是不稳定的。判别系统是否稳定的问题，称为绝对稳定性分析。事实上，对于稳定或者不稳定的系统，还需要进一步分析系统稳定或者不稳定的程度，这称为系统的相对稳定性分析。稳定性的定义31稳定性是系统在扰动消失后，自身具有的一种恢复能力，它是系统的一种固有特性，这种特性只取决于系统的结构和参数，与外作用无关。在下面的讨论中，如果系统的数学模型是建立在小偏差线性化的基础上，则认为系统中各信号的变化均不超出其线性范围。根据上述稳定性的定义，可以用函数作为扰动来讨论系统的稳定性。

设线性定常系统在初始条件为零时，输入一个理想单位脉冲，这相当于系统在零平衡状态下，受到一个扰动信号的作用，如果当t趋于∞时，系统的输出响应c(t)收敛到原来的零平衡状态，即该系统就是稳定的。根据这个思路分析系统稳定的充要条件。稳定性的充要条件设系统的闭环传递函数为特征方程为如果特征方程的所有根互不相同，且有q个实数根和r对共轭复数根,则在单位脉冲函数的作用下，系统输出量为将上式用部分分式法展开并进行拉氏反变换得式中稳定性的充要条件线性定常系统稳定的充分必要条件：闭环系统特征方程的所有根都具有负实部，或者说闭环传递函数的所有极点均位于为S平面的左半部分（不包括虚轴）。当系统特征方程的根都具有负实部时，则各瞬态分量都是衰减的，且有，此时系统是稳定的。如果特征根中具有一个或一个以上的零实部根，而其余的特征根均有负实部，则c（t）趋于常数或作等幅振荡，这时系统处于稳定和不稳定的临界状态，常称之为临界稳定状态。对于大多数实际系统，当它处于临界状态时，也是不能正常工作的，所以临界稳定的系统在工程上属于不稳定系统。如果特征根中有一个或一个以上具有正实部，则该根对应的瞬态分量是发散的，此时有，系统是不稳定的。式中稳定性的充要条件系统稳定性必要条件：系统稳定的必要条件是系统特征方程的系数同号，而且都不为零。特征根和系统之间的关系：劳斯稳定判据也称代数稳定判据，它是基于特征方程根与系数的关系建立的，通过对系统特征方程中的各项系数进行代数运算，得出全部根具有负实部的条件，以此来判断系统的稳定性。劳斯稳定性判据的方法

设闭环系统的特征方程为劳斯表劳思稳定判据：系统稳定的充分必要条件是劳思表的第一列数的符号相同。而且，系统正实部特征根的个数等于劳思表第一列数的符号变化次数。直至其余全为0。劳斯表构成：直至其余全为0。

例3-4

已知系统的特征方程为用劳斯稳定判据判别系统稳定性。

劳思表构成如下：因为劳斯表第一列数符号相同，所以系统是稳定的。例3-5

已知系统的特征方程为s4+2s3+s2+s+1=0

试用劳斯判据判断系统的稳定性。解列劳斯表如下S4

11

1S32

1

0S2(2*1－1*1)/2=1/2(2*1－1*0)/2=1S1(1*1－2*2)/1=－30S0(－3*1－1/2*0)/－3=1

由于劳斯表第一列的系数变号两次，一次由1/2变为-3，另一次由-3变为2，故特征方程有两个根在S平面右半部分，系统是不稳定的。例3-6

已知系统的特征方程为

用劳思稳定判据判别系统稳定性。

特征方程系数的符号不相同，不满足稳定的必要条件，所以系统是不稳定的。因为劳思表第一列数符号变化2次，所以系统是不稳定的，有2个特征根在右半S平面。

当劳斯表某一行的第一列系数为零，而其余项不全为零，可用一个很小的正数ε

代替第一列的零项，然后按照通常方法计算劳斯表中的其余项。特例一：劳斯表某行的第一列系数等于零，而其余各项不全为零的情况例6-4已知系统的特征方程为试判别系统的稳定性。

125120（2ε-5）/ε当ε的取值足够小时，(2ε-5)/ε=2-5/ε将取负值，故劳斯表第一列系数变号两次，由劳斯判据可知，特征方程有两个根具有正实部，系统是不稳定的。对于这种情况，也可以用(s+a)因子乘以原特征方程(a为任意正数)，然后按新的特征方程计算劳斯表。例如在上例中用(s+1)乘以原特征方程得解：由特征方程列出劳斯表05ε513724529（同乘以2）-10101110

劳斯表为显然，劳斯表第一列系数变号两次，其结论与前面是一致的。例3-7

已知系统的特征方程为试判别系统的稳定性。

例3-8

已知系统的特征方程为用劳斯稳定判据判别系统稳定性。劳斯表第一列数符号变化2次，所以系统是不稳定的，有2个特征根在右半S平面。解决办法：用一个很小的正数（也可以是负数），然后继续列劳斯表。特例一：劳斯表某行的第一列系数等于零，而其余各项不全为零的情况等。显然，系统是不稳定的如果劳斯表中某一行（如第k行）各项为零，这说明特征方程中存在一些绝对值相同但符号相异的特征根，即在S平面内存在以原点为对称的特征根。例如，，特例二：劳斯表某行所有系数均为零的情况

例3-9

已知系统的特征方程为分析系统的稳定性。解由特征方程列劳斯表18201621216212160

0

0行的各系数继续计算劳斯表得由上表看出，行的各项全为零，为了求出～各行，由行的各项系数构成辅助方程将辅助方程对s求导得用上式各项系数作为18201621216212168246168/316

这表明系统有共轭虚根，所以系统是不稳定的，共轭虚根可由辅助方程求得，即由由于劳斯表第一列系数符号都相同，因此，可以确定特征方程没有根分布在S平面的右半部分。但由于行的各项均为零，此特例的处理步骤：利用第k-1行的系数构成辅助方程。求辅助方程对s的导数，将其系数代替原全部为零的k行，继续计算劳斯表。特征方程中以原点为对称的根可由辅助方程求得。特例二：劳斯表某行所有系数均为零的情况

解决办法：用上一行的数构成辅助多项式，将辅助多项式对变量得到一个新的多项式。然后用这个新多项式的系数代替全为0一行的数，继续列劳斯表。例3-10

已知系统的特征方程为用劳斯稳定判据判别系统稳定性。因劳斯表第一列数符号变化1次，故系统是不稳定，有1个特征根在右半S平面。求解辅助方程可得系统对称于原点的特征根为应用劳斯表判据分析系统的稳定性时，一般可以按如下顺序进行：1、确定系统是否满足稳定的必要条件。当特征方程的系数不满足ai>0

(i=0,1,2,……n)时，系统是不稳定的。2、当特征方程的系数满足ai>0

(i=0,1,2,……n)时，计算劳斯表。当劳斯表的第一列系数都大于零时，系统是稳定的。如果第一列出现小于零的系数，则系统是不稳定的。3、若计算劳斯表时出现情况特例一和特例二，此时为确定系数极点的分布情况，可按情况特例一和特例二的方法处理。

解系统的开环传递函数为特征方程为劳思表构成如下：由劳思稳定判据，系统稳定的充分必要条件为

例3-11图示系统中，确定系统稳定的参数K1的取值范围。要使系统稳定得例3-12

试确定如图系统稳定的K、T值。解：系统的特征方程为列劳斯表则稳定条件为：3.6自动控制系统的稳态误差分析误差定义：是指被控对象的实际输出信号与希望输出信号之差，即：G(s) H(s) R(s) C(s) + - B(s) E(s) 1/H(s) + - E’(s) Cr(s) 一般关系由于实际系统中希望输出不便于测量，而且输入与输出往往是量纲不同而不便比较，所以常用偏差的定义来代替

系统稳态误差的定义偏差定义：即输入信号与反馈信号之差显然对于单位反馈则两者相同。因此一般用系统的偏差信号E(s)来定义系统的误差，即偏差＝误差G(s) H(s) R(s) C(s) + - B(s) E(s) 1/H(s) + - E’(s) Cr(s) 误差：瞬态误差和稳态误差稳态误差：终值定理系统稳态误差的定义稳态误差包括给定稳态误差ess和扰动误差essd。前者表征了系统的精度，后者反映了系统的抗干扰能力，即系统的刚度。引起的因素：系统的结构、参数和输入量的形式等一个符合工程要求的系统，其稳态误差必须控制在允许的范围之内。例如工业加热炉的炉温误差若超过其允许的限度，就会影响加工产品的质量。又如造纸厂中卷绕纸张的恒张力控制系统，要求纸张在卷绕过程中张力的误差保持在某一允许的范围之内。若张力过小，就会出现松滚现象，而张力过大，又会促使纸张的断裂。稳态性能控制系统的性能动态性能系统稳态误差的定义系统的误差传递函数G(s) H(s) R(s) C(s) + - B(s) E(s) 1/H(s) + - E’(s) Cr(s) 暂态分量动态误差稳态分量稳态误差使用条件？给定输入信号作用下的稳态误差54终值定理：设

且在右半平面与虚轴上没有极点，则终值定理法：设在右半平面及虚轴上（除原点外）没有极点，为则稳态误差的终值给定输入信号作用下的稳态误差

例3-13

已知单位反馈系统的开环传递函数为

求当系统输入分别为阶跃、速度、加速度时的稳态误差。满足终值定理条件

解：（1）给定输入信号作用下的稳态误差满足终值定理条件（2）

例3-13给定输入信号作用下的稳态误差（3）

例3-13给定输入信号作用下的稳态误差

例3-14已知单位反馈系统的开环传递函数为时，求系统的稳态误差。当给定输入信号作用下的稳态误差在虚轴上存在极点，不满足终值定理条件，不能用终值定理求系统稳态误差。应用终值定理求稳态误差时，一定要注意条件

对E(s)采用拉氏逆变换求得e(t)

例3-14已知单位反馈系统的开环传递函数为时，求系统的稳态误差。当给定输入信号作用下的稳态误差开环传递函数

对于一个给定的稳定系统，当输入信号形式一定时，系统是否存在稳态误差就取决于开环传递函数所描述的系统结构。因此，按照控制系统跟踪不同输入信号的能力来进行系统分类是必要的。K为开环增益；τi和Ti为时间为时间常数；ν为开环系统在s平面坐标原点上的极点的重数。即二、静态误差系数给定输入信号作用下的稳态误差(1)阶跃输入令已知二、静态误差系数可见，由于0型系统中没有积分环节，它对阶跃输入的稳态误差为一定值，误差的大小与系统的开环放大系数K成反比，K越大，ess越小，只要K不是无穷大，系统总有误差存在。对实际系统来说，通常是允许存在稳态误差的，但不允许超过规定的指标。为了降低稳态误差，可在稳定条件允许的前提下，增大系统的开环放大系数，若要求系统对阶跃输入的稳态误差为零，则必须选用Ⅰ型或高于Ⅰ型的系统。给定输入信号作用下的稳态误差(2)斜坡输入二、静态误差系数指系统在速度(斜坡)输入作用下，系统的稳态输出与输入之间存在位置上的误差Kν称为静态速度误差系数0型系统稳态时不能跟踪斜坡输入;Ⅰ型系统稳态时能跟踪斜坡输入，但存在一个稳态位置误差;Ⅱ型及Ⅱ型以上系统，稳态时能准确跟踪斜坡输入信号，不存在位置误差I型单位反馈系统的速度误差给定输入信号作用下的稳态误差(3)加速度输入二、静态误差系数II型单位反馈系统的加速度误差给定输入信号作用下的稳态误差Kν：静态速度误差系数Ka：静态加速度误差系数Kp：静态位置误差系数减小和消除稳态误差方法提高系统的开环增益增加开环传递函数中积分环节系统的稳定性给定输入信号作用下的稳态误差

如果系统的输入信号是多种典型函数的线性组合：如根据线性叠加的原理，可将每一种输入分量单独作用于系统，再将各误差分量叠加起来这时至少应选Ⅱ型系统否则稳态误差将无穷大。