高中数学《数列概念与通项公式》导学案

第=1一第［3章数列

DIERZHANG2.1数列的概念与简单表示法

第1课时数列概念与通项公式

课前自主预习

一、数列的概念及分类

1.数列及其有关概念

(1)数列：画_按照一定顺序排列的一列数称为数列.

⑵项：画类列中的每一个数叫做这个数列的项,第1项通常也叫做画道

项，若是有穷数列，刀后一项也叫做画茎项.

(3)数列的一般形式可以写成g,。3,…，〃“，…，简记为画匈1，这

里〃是画正整数.

2.数列的分类

(1)按项的个数分类

类别含义

有穷数列回项数有限的数列

无穷数列国项数无限的数列

(2)按项的变化趋势分类

类别含义

国］从第2项起.每，项都大;它的前，

递增数列

项的数列

的从第2项起，每一项都小于它的前一

递减数列

项的数列

常数列回各项相等的数列

园从第2项起，有些项大于它的前一

摆动数列

项，有些项小于它的前一项的数列

二、数列的通项公式

1.数列的通项公式

画_如果数列｛必』的第〃项与序号〃之间的关系可以用•个式子来表示,那

么这个公式叫做这个数列的通项公式.

2.数列与函数的关系

对任意数列｛如｝，其每一项与序号都有对应关系，见下表:

序号1234n•♦•

••••••

项a\Q2C1344an

因此，数列也可以看成是定义域为回正整数集N*(或它的画有限子集

｛123,…，山)的函数画。“=血),当自变量〃从小到大依次取值时，该函数对

应的一列函数值就是该数列.反过来，对于函数)，=兀)如果册"=123,…)

有意义，那么就可以得到一个数列川)，12),犬3),…，加)，….

3］自诊小测

1.判一判(正确的打“J”，错误的打"X”)

(1)同一数列的任意两项均不可能相同.()

(2)数列-1,0』与数列1,0,一1是同一个数列.()

(3)数列中的每一项都与它的序号有关.()

答案(1)X(2)X(3)J

2.做一做

T则该数列为一

(1)(教材改编P29例I)若数列的前4项分别是

个通项公式为(）

（一1户（一1）〃

A.B.

〃+1〃+1

1

r(-irn(-ir

Lx♦nLx・n

(2)已知数列｛〃〃｝的通项公式为m=(一则它的第8项是

第9项是.

(3)已知数列｛m｝的通项公式为m=2〃+1,则次+i=.

答案(1)A(2)1-1(3)2&+3

课堂互动探究

探究］数列的概念

例1已知下列数列:

①2,22,222,2222；

12

--

V

T-

11

-

3一*

®1夕

④一1,0,—1,0,…，------2------，…；

⑤〃，a,a,a,….

其中，有穷数列是，无穷数列是,递增数列是,

递减数列是________,常数列为.(将正确的序号填在横线上)

答案①②③④⑤①②③⑤

解析①是有穷递增数列，②是无穷递增数列，③是无穷递减数列，④是无

穷数列，也是摆动数列，⑤是无穷数列，也是常数列.

拓展提升

理解数列的概念应注意的几个方面

(1)判断一个数列是有穷或无穷数列的关键是判断数列的项数是有限的或是

无限的.

(2)判断一个数列的单调性一般是根据数列中的i与〃〃的大小来判断，即

①若数列｛m｝满足,1,则是递增数列.

②若数列｛小｝满足%>。用,则是递减数列.

③若数列｛小｝满足则是常数列.

④若斯与z+i的大小不确定时，则是摆动数列.

(3)有穷数列表示为t72,43,…，或。〃=/(〃)(定义域为正整数集的有限

子集：｛1,2,3,…，〃｝)；无穷数列一般表示为Q2,43,…，。〃，…或4〃=<〃)(〃

=1,2,3,…)，即对于有穷数列要把末项(即有穷数列的最后一项)写出；对于无穷

数列，无法写出末项，要用“…”结尾.

【跟踪训练1］下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增、

递减数列？哪些是摆动数列？哪些是常数列？

(1)1,…，5,…；

(2)1222,…，263；

(3)1,一0.1,0.12,…，(-O.l)n-i,....

(4)0,10,20,…，1000；

(5)—1,1,—1,1,

(6)6,6,6,…；

H71

(7)0,—1,0,…，cos’….

解(1)是无穷递减数列.

(2)是有穷递增数列.

(3)是无穷数列，也是摆动数列.

(4)是有穷递增数列.

(5)是无穷数列，也是摆动数列.

(6)是无穷数列，也是常数列.

(7)是无穷数列，也是摆动数列.

探究2利用观察法求数列的通项公式

例2写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：

(1)3,579,…；

]

⑶1X2,-2X3'3X4'4X5,

(4班，3,V15,回，3小，…;

(5)0.9,0.99,0.999,0,9999,…；

3

6\-

!

/

2*

19

7\-2

!一

/T8,

2J

解(I1••各项减去1后为正偶数，・・・m=2〃+1.

2"-1

(2)...每一项的分子比分母少1,而分母组成数列2爰爰？。…，：.m=.

(3)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数

项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式是：〃〃=(-1)"+|L.

n(n-TI)

(4)原数列可化为小，小,V15,回,y［27,…，即小15,^3X5,

^3X7,6K,…，每个根号里面可分解成两数之积，前一个因式为常数3,后

一个因式为2〃一1,故原数列的通项公式为«M=A/3(2H—1).

(5)将原数列变形为1—0.1,1—0.01,1-0.0011一0.0001,…，故原数列的通项

公式为Un=1—10n=1—(7n|n-

3572

--

….对于分子，是序号的倍

2,5*10173,5,7,9,…2

加1,可得分子的通项公式为为=2〃+1；对于分母2,5/0』7,…，联想到数列

149,16,…，即数列{r},可得分母的通项公式为c〃=〃2+i.

故原数列的通项公式为

-9

⑺将数列变形为:I，y^156

-…，可知分子为〃\分母为2.・•.〃“=5.

［变式探究］把本例(5)改为“0.6066,().666,0.6666,…”又如何求通项公式

呢？

解数列0.6,().66,0.666,().6666,…的通项公式为劣=|1一阖〃.

拓展提升

用观察法求数列通项公式的一般规律

此类问题虽无固定模式，但有规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较

已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.具体

方法为：(1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等；(2)分析这一结构中变化的

部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式；(3)对于符

号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再以(一1)”或(一1)〃+1处理符号；(4)对

于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数，如

三角函数等.

【跟踪训练2】根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：

4142

⑴亍TTT亍…；

小、115132961

⑵,,不一.⑹―32，64，…；

(3)7,77,777,…；

(4)0,3,8,15,24,…；

(5)—1,7,-13,19,

(6)3,5,353,5,….

解(1)注意前四项中有两项的分子为4,不妨把分子统一为4,即为44短

JO

444

TT，应，…，于是它们的分母相差3,因而有.=3〃+2,

(2)分母为2”,易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3,因此第1项为一

2—32—32~—32^—324—3

下二，因此原数列可以化为一方二，二武，一寸，寸，…，所以它的一个

2"-3

通项公式为〃”=(一1尸.

(3)把各项除以7,得1,11,111,…，再乘以9,得9,99,999,…，所以如

(4)观察数列递增运度较快，有点像成平方的递增，不妨用平方数列对照看一

看,即1,22,32,42步,…,很快发现小=〃2—1.

(5)应解决两个问题：一是符号问题，可考虑用(一1)〃或(一I)””表示，二是

各项绝对值的排列规律，不难发现后面的数的绝对值总比它前面的数的绝对值大

6.故通项公式〃〃=(—5).

(6)此数列为摆动数列，奇数项为3,偶数项为5,故通项公式可写作

3(〃为奇数),3+5

此数列两项3与5的平均数为〒=4,奇数项为4—1,偶数项

5(〃为偶数).

为4+1,故通项公式还可写作。〃=4+(—1)〃.

探究3数列通顼公式的简单应用

例3已知数列的通项公式为4〃=3“2-28〃.

(1)写出数列的第4项和第6项；

(2)—49和68是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由.

解⑴丁必产3/-28〃，

.•.44=3X42—28X4=-64,«6=3X62~28X6=~60.

(2)令3/一28〃=-49,

7

即3〃2—28〃+49=0,解得〃=7或〃=3(舍).

1・一49是该数列的第7项,

即47=—49.

令3〃2—28〃=68,即3层一28〃-68=0,

34

解得〃=—2或〃=丁.

•・•一20N二等N*,「・68不是该数列的项.

拓展提升

判断某数是否为数列的项的步骤

(1)将所给某数代入通项公式中；

(2)解关于〃的方程；

(3)若〃为正整数，说明某数是该数列的项；若〃不是正整数，说明某数不是

该数列的项.

【跟踪训练3】己知数列的通项公式为

(1)写出数列的第4项和第6项；

⑵试问七和居是不是它的项，如果是，是第几项？

解(1)由题意易得：

_4_1_4_2

“"=42十3X4=7'"6=6?十3乂6=药

41

Q)令西有=加贝U/+3〃-40=0，

解得/1=5或〃=—8,

由〃£N",故〃=一8舍去.

所以点是数列的第5项.

416

令/^力，则4层+12〃-27=0,

解得〃='或71=—

由〃WN”，所以目不是此数列中的项.

（----------------------------1居瞠提汕

［规律小结］

1.伍〃｝与4〃是不同的两种表示，｛〃〃｝表示数列41,。2,…，〃〃，…，是数列

的一种简记形式.而跖只表示数列｛〃〃｝的第〃项.。〃与｛如｝是“个体”与“整

体”的从属关系.

2.由数列的前几项归纳其通项公式的关键是观察、归纳各项与对应的项数

之间的联系.同时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：（1）分式中分子、

分母的特征；（2）相邻项的变化特征；（3）拆项后的特征；（4）各项的符号特征和绝

对值特征，并对此进行联想、转化、归纳.

3.有的数列的通项公式，在形式上不一定是唯一的.例如：数列一1,1,-

1,1,-1,1,…的通项公式可以写成。〃=（一1）〃，也可以写成。〃=

—1,〃为奇数，

［」为偶数,这些通项公式，形式上虽然不同，但都表示同一个数列.

［走出误区］

易错点＞忽略数列中〃的取值范围致误

［典例］已知数列伍〃｝的通项公式为〃〃=—2"+29〃+3,求数列优〃）的最

大项.

［错解档案］由已知，得

m=-2/+29〃+3=—2（〃一舒+1（尾，

，数列｛m｝中的最大值为108t.

［误区警示］可以将数列的通项公式看作函数，因为〃为项的序号，所以

定义域为正整数集，解题时往往忽略这一点，误认为定义域为R而导致出错.

［规范解答］由已知，得

2

a,t=—2n+29〃+3=—21一等｝+1081,

29

由于〃£N*,故当〃取距离彳最近的正整数7时，4〃取得最大值108.

・・・数列｛小｝中的最大值为6/7=108.

［名师点津］数歹!是一个特殊的函数，在用函数的有关知识求解数列问题

时，要注意它的定义域是N*（或它的有限子集｛1,2,…，〃｝）这一约束条件.

随堂达标自测

1.下面有四个结论，其中叙述正确的有（）

①数列的通项公式是唯一的；

②数列可以看做是一个定义在正整数集或其子集上的函数；

③数列若用图象表示，它是一群孤立的点；

④每个数列都有通项公式.

A.①②B.②③

C.@@D.①④

答案B

解析数列的通项公式不唯一,有的数列没有通项公式，所以①④不正确.

2.下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是（）

,111

A.1,2，3'4'

B.—1,—2,—3,—4,…

一,111

192，4，8，

D.1,啦，小，…,而

答案C

解析对于A,它是无穷递减数列；对于B,〃“=一〃，

N’,它也是无穷递减数列；D是有穷数列；对于C,m=一它是无穷递增

数列.

3.已知数列｛〃”｝的通项公式为小=/一〃一50,则一8是该数列的（）

A.第5项B.第6项

C.第7项D.非任何一项

答案C

解析由/一〃-50=—8,得〃=7或〃=—6（舍去）.

4.如图所示是某一系列有机物的结构简图，图中的小黑点表示原子，两黑

点间的短线表示化学键，按图中结构第〃个图有化学键个.

o

(I)(2)(3)

答案5n+1

解析各图中短线的个数依次为6,6+5,6+5+5,…，将6视为5+1,则上

述数列为1+5,1+5+5,1+5+5+5,1+5+5+5+5,…于是第〃个图有化学键

5〃+1个.

5.已知数列｛斯｝的通项公式为。产〃2-5〃+4.

(1)数列中有多少项是负数？

(2)〃为何值时，即有最小值？并求出最小值.

解(1)由〃2—5〃一4<0,解得Y〃v4.

V/zGN*,：.n=2或3.J数列有两项是负数.

⑵二•〃”=/—5〃+4=1一分一/可知对称轴方程为〃号=25.又V

故〃=2或3时，a“有最小值，其最小值为22—5X2+4=-2.

课后课时精练

A级：基础巩固练

一、选择题

1.下列有关数列的说法正确的是()

①数列1,2,3与数列3,2』是同一数列；

②数列｛an］与｛ain-1)表达同一数列；

③数列一11，一1,1,…的通项公式不唯一；

④数列一1,1,3,5,8,…的通项公式为或=2〃-3,一N*.

A.①④B.②③

C.③D.①②

答案C

解析①是错误的，数列各项顺序不同，即表示不同的数列；②是错误的,

数列｛〃〃｝表达数列0,42,43,44,…，4〃，…,而数列］〃2“」｝表达数列0,43,

。5,…，42〃—I,…，不是同一数列；③是正确的，数列一1』，一1』，…的通项公

式可以是〃〃=(一D",〃”=COS〃兀等；④是错误的，显然当〃=5时，45=7,不是

数列中的项.故选C.

2.已知数列伍〃｝的前四项为1,01,0,则下列可作为数列伍〃｝的通项公式的有

()

①以=;［1+(-1)叫：

②i+（-D咽+m-1）（〃一2）；

③。〃=sin号；

1-COS7Z71

④〃〃=2;

、［（〃为偶数），

⑤z=io（〃为奇数）.

A.1个B.2个

C.3个D.4个

答案C

解析当〃=1,2,3,4分别代入①②③④⑤的通项公式中，可知①③④符合,

对于②当〃=3时不符合，对于⑤显然〃=1时就不符合，故可作为｛〃〃｝通项公式

的有3个.故选C.

3.若数列的前4次分别为2,020,则这个数列的通项公式不可能是（）

A.m=1+（一1）由

B.。〃=1-cos〃兀

C.a”=2sin-^~

D.。“=1+（—1）'门+（〃-1）（〃一2）

答案D

解析当〃=1时：D不满足，故选D.

4.已知下列命题：

①已知数列｛〃〃｝,舄0，（nEN*）,那么卷是这个数列的第10项,且

最大项为第1项；

②数列啦，一小，2啦，一4TT，…，的一个通项公式是

③已知数列｛〃〃｝,Gn=kn-5>且48=11,则07=29；

④已知“，十i=m+3,则数列｛为｝为递增数列.

其中命题正确的个数为（）

A.4B.3

C.2D.1

答案A

解析①。〃=（［八=14^0〃=1°•易知最大项为第1项，故①正确；

n［n十2）1zu

对于②，朕想数列噌，书,Vs,VH,…，则丁=（一1）〃+73八一1,故②正

确;

对于③，。〃=也一5,且。8=11=2=2=>。“=2〃一50。17=29,故③正确；

对于④，由。〃41-。〃=3>(),易知④正确.

二、填空题

5.已知数列伍〃｝的通项公式为m=后;，那么方是它的第项.

答案4

211

解析令了“=而，解得“=4(〃=—5舍去)，所以而是第4项・

6.己知在数列｛小｝中，«1=4,〃”+1=/(4“)，〃£N‘，函数y=/(x)的对应关系

如下表，贝I02017=.

X12345

於)54321

答案4

解析由已知条件得0=4,〃2=火0)=/(4)=2,

。3=4。2)=/(2)=4.

，数列｛〃〃｝是周期数列，“”2=。〃，

02017=41+1008x2=41=4.

an=999…9

、<

7.己知数列｛〃“｝的通项公式为刀个9,则。〃=10」1,那么数

bn=888…8

X.vZ

列｛仇｝的通项公式7?个8可化为力尸.

Q

答案g(io〃T)

OO

〃〃=888-8==><99>・・9=?(10〃-1).

、—v—‘9v—V—'9

解析7?个87?个9

三、解答题

8.根据数列的前几项，写出下面各数列的一个通项公式：

-4,5,,•,；(2)5,55,555,5555,

，…；(4)1,3,6,10,15,•••；

c14_9__16r111J_J_

⑸亍5J而T?…；⑹L~yT—IP亓…，

解(1)这个数列的前4项1,—2,3,-4的绝对值都是序号且奇数项为正,

偶数项为负，所以它的一个通项公式是a〃=(—l)〃+L〃.

(2)因为数列9,99,999,9999,…的第〃项为1(T-1,数列1,11,111,1111,…的

第〃项应为*10〃-1),从而数列5,55,555,5555,…的通项公式是小=米10〃-1).

(3)各项的分母依次为1,3,2,5,似乎没有规律，我们可以大胆设想，分母如果

是2,34,5就好了，又注意到奇数项的分子为1,故将奇数项的分子、分母同乘以

2,于是得到鬲2.

(4)注意到6=2X3,10=2X5,15=3X5,规律还不明显，再把各项分子、分

母同乘以2,即年，空，婴，亨，亨，…，・•・数列的通项公式为z=

〃•(〃+1)

(5)注意各项的分子分别是12.22324、…，分母比分子大1,二.数列的通项公

式为“】=〃2