31.4 用列举法求简单事件的概率教学设计初中数学冀教版2012九年级下册-冀教版2012

31.4用列举法求简单事件的概率教学设计初中数学冀教版2012九年级下册-冀教版2012课题XX课时1课程基本信息1.课程名称：31.4用列举法求简单事件的概率

2.教学年级和班级：九年级下册九年级（1）班

3.授课时间：2023年X月X日第2节课

4.教学时数：1课时（45分钟）核心素养目标二、核心素养目标教学难点与重点1.教学重点：本节课的核心内容是掌握用列举法求简单事件的概率，包括正确列出所有可能结果、确定事件包含的结果数，并计算概率。例如，在掷一枚均匀骰子时，列举所有可能结果（1,2,3,4,5,6），求点数大于3的概率（即4,5,6，概率为3/6=1/2）。教师需强调列举的完整性和等可能性，确保学生能应用于课本中的基础问题如摸球或抽牌。

2.教学难点：学生难在如何系统列举所有可能结果，尤其在涉及多个步骤或条件时，易遗漏或重复。例如，同时掷两枚硬币，学生可能忽略组合顺序（如正反与反正），导致错误计算概率（实际有4种等可能结果，事件“至少一个正面”包含3种，概率为3/4）。难点在于理解事件的条件性和列举的严谨性，需通过课本练习如掷两个骰子或抽签问题突破。教学方法与手段1.教学方法：①实验法，通过掷硬币、抽牌等实物操作，引导学生直观感受等可能性；②讨论法，小组合作分析列举结果，培养逻辑思维；③讲授法，精讲列举法步骤与概率公式，突出核心概念。

2.教学手段：①多媒体课件动态展示树状图、列表法等列举过程；②实物教具（骰子、扑克牌）增强实践体验；③板书结构化梳理解题步骤，强化重点。教学流程1.导入新课（5分钟）

创设“校园艺术节抽奖活动”情境：学校设置10张奖券，其中3张为一等奖，7张为二等奖，小明随机抽取1张，提问“小明抽到一等奖的概率是多少？”引导学生回顾概率的初步定义（P=事件发生结果数/所有可能结果数），但发现当结果较多时，难以直接列举。顺势引出课题：“如何系统地列举所有可能结果？今天我们学习‘用列举法求简单事件的概率’。”通过生活实例激发兴趣，明确学习目标，为新课讲授铺垫。

2.新课讲授（15分钟）

（1）列举法的概念与步骤（5分钟）结合课本定义，明确列举法：将事件所有可能结果一一列出，再计算概率。强调步骤：①确定所有可能结果（n）；②确定事件包含的结果（m）；③用公式P=m/n计算。举例：掷一枚均匀骰子，求“点数为偶数”的概率。分析：所有可能结果为1,2,3,4,5,6（n=6）；事件包含结果为2,4,6（m=3），故P=3/6=1/2。突出“结果必须等可能”这一核心条件。

（2）列举法的方法——列表法（5分钟）当涉及两个步骤时，用列表法列举。举例：同时掷两枚均匀硬币，求“两枚都是正面朝上”的概率。列表：第一枚结果为正、反，第二枚结果为正、反，所有可能结果为（正,正）、（正,反）、（反,正）、（反,反）（n=4）；事件包含结果为（正,正）（m=1），故P=1/4。强调表格的行列对应关系，避免遗漏。

（3）列举法的方法——树状图法（5分钟）当涉及多个步骤或对象时，用树状图列举。举例：袋中有1个红球、2个白球，随机摸出2个（不放回），求“两球都是白球”的概率。树状图：第一步摸球结果为红、白1、白2，第二步在剩余球中继续摸，列举所有组合（红,白1）、（红,白2）、（白1,红）、（白1,白2）、（白2,红）、（白2,白1）（n=6）；事件包含结果为（白1,白2）、（白2,白1）（m=2），故P=2/6=1/3。强调树状图的分步性和唯一性，突破“多步骤列举易重复”的难点。

3.实践活动（10分钟）

（1）掷骰子实验（3分钟）分组进行：每组1枚骰子，掷20次，记录“点数大于4”的次数，计算频率与理论概率（P=2/6=1/3）对比。引导学生观察“频率稳定于概率”，体会列举法的实际意义，强化“等可能性”理解。

（2）抽牌游戏（4分钟）提供去掉大小王的扑克牌（52张），小组合作设计问题并求解：如“随机抽1张，抽到K的概率”“抽到红色牌且大于10的概率”。要求用列表法列举，每组展示1题，教师点评列举的完整性，突出“n和m的准确确定”这一重点。

（3）生活概率应用（3分钟）举例：“某商店开展‘转盘抽奖’活动，转盘分4等份，分别标1,2,3,4，指针指向偶数则中奖，求中奖概率。”学生独立列举结果（1,2,3,4），事件包含结果（2,4），P=2/4=1/2，体会数学与生活的联系，落实数学建模素养。

4.学生小组讨论（10分钟）

（1）列举时如何避免遗漏或重复？（举例回答）生A：“同时掷两枚骰子，点数和为5的结果有（1,4）、（2,3）、（3,2）、（4,1），不能只写（1,4）和（2,3），要考虑顺序。”生B：“用表格法时，第一枚骰子1-6行，第二枚1-6列，交叉点就是所有结果，不会漏。”教师总结：有序列举或表格、树状图能有效避免重复遗漏。

（2）结果个数较多时，如何高效列举？（举例回答）生C：“掷两枚骰子用表格法，36个结果一目了然；如果是3枚，树状图更清晰。”生D：“袋中有3个球，摸2个，用组合公式C(3,2)=3种，但列举法更直观，适合我们现阶段。”教师强调：根据问题复杂度选择方法，列表法适合两步，树状图适合多步。

（3）概率在实际中的公平性问题？（举例回答）生E：“抽奖活动如果概率相等才公平，比如转盘4等份，2份中奖，概率1/2；如果3份中奖，概率3/4，对商家有利。”生F：“班级选班干部，抽签概率相等，比投票更公平。”教师引导：概率是公平性的数学依据，体现数学的应用价值。

5.总结回顾（5分钟）

师生共同梳理本节课知识点：①列举法概念与步骤（确定n、m，用P=m/n）；②列举方法（列表法、树状图）；③核心条件（结果等可能）；④难点突破（有序列举、避免重复遗漏）。举例回顾：“掷两枚骰子，点数和为7的概率是多少？”学生回答：“列表得36种结果，事件包含（1,6）（2,5）（3,4）（4,3）（5,2）（6,1），m=6，P=6/36=1/6。”教师强调：“列举时一定要‘全’‘准’，才能正确求概率。”布置课后练习：课本PXX习题，用列举法解决实际问题，巩固所学。教学资源拓展1.拓展资源：

（1）列举法变式与深化资源：包含三步及以上事件的列举案例，如“连续掷三次均匀硬币，求至少两次正面朝上的概率”，需用树状图分步列举所有8种结果，明确事件包含3种（正正正、正正反、反正正、反反正）。此外，分类列举案例如“袋中有3红球、2白球、1蓝球，不放回地摸出两个球，求两球颜色不同的概率”，需按红白、红蓝、白蓝分类列举，共C(6,2)=15种可能，事件包含3×2+3×1+2×1=11种结果。

（2）经典概率模型资源：涉及“生日问题”（50人中至少两人同生日的概率）、“抽签公平性问题”（5人抽签，甲先抽与后抽中签概率比较）、“彩票中奖概率”（双色球红球6选1，蓝球1选1，计算一等奖概率），通过列举法验证理论概率，强化“等可能性”理解。

（3）生活应用资源：包含天气预报中“连续三天降水概率80%”的列举计算（列举三天降水情况，求至少两天降水概率）、游戏设计中“转盘分3等份，指针指向红色则中奖，求连续两次中奖概率”的列举分析、产品质量检测中“10件产品有2件次品，随机抽2件，求至少一件次品概率”的列举求解，体现数学与生活的紧密联系。

（4）列举法易错点解析资源：针对“重复遗漏问题”（如掷两枚骰子点数和为5，学生易遗漏(3,2)(4,1)）、“非等可能事件误用”（如“抛图钉，针尖朝上概率”不能用列举法直接计算，需通过实验估算）、“条件概率忽略”（如“已知两球不同色，求都是白球的概率”需在限定条件下列举），提供典型错例及正解思路。

2.拓展建议：

（1）分层练习巩固建议：基础层完成课本P115“习题31.4”第1-3题，重点训练单步和两步事件的列举；提升层设计“家庭抽奖游戏规则制定”任务，如用列举法计算“10张奖券2张中奖，摸3次至少中奖一次的概率”；挑战层分析“篮球比赛七局四胜制，两队实力相当，求比赛打满七局的概率”，用树状图列举前六局胜负情况，突破“多步骤条件列举”难点。

（2）实践探究应用建议：开展“校园概率小调查”活动，如统计班级学生生日，用列举法计算“至少两人同生日概率”；设计“公平游戏方案”，如用骰子和转盘组合游戏，通过列举法确保双方获胜概率相等；记录家庭生活中的概率事件（如“明天是否带伞”），用列举法分析决策依据，提升数学建模能力。

（3）数学史与思想拓展建议：阅读《拉普拉斯概率理论》选段，了解列举法在早期概率研究中的应用；探究“帕斯卡三角形”与概率列举的关系（如掷n枚硬币正面朝上次数的概率分布）；思考“列举法与排列组合的联系”，如“从5人中选3人排座位，用列举法计算特定排列概率”，体会数学方法的内在统一性。

（4）错题反思与总结建议：建立“列举法错题本”，分类整理“遗漏结果”（如掷两枚骰子点数和为8，只列(2,6)(3,5)而忽略(4,4)(5,3)(6,2)）、“重复计算”（如袋中摸球，认为“红1红2”与“红2红1”是不同结果导致重复）、“条件忽略”（如“有放回与不放回摸球”列举方法差异）三类典型错误，每周重做错题并归纳“列举三原则”（有序性、无重复、无遗漏）。课后作业1.题目：掷一枚均匀骰子，求点数大于4的概率。

答案：P=2/6=1/3

2.题目：袋中有1个红球、2个白球，不放回地摸出两个球，求两球都是白球的概率。

答案：P=2/6=1/3

3.题目：同时掷两枚均匀骰子，求点数和为5的概率。

答案：P=4/36=1/9

4.题目：一个盒子里有5张卡片，分别标有数字1,2,3,4,5，随机抽取1张，求抽到奇数的概率。

答案：P=3/5

5.题目：一个游戏转盘分成6等份，其中3份红色，2份蓝色，1份绿色，求指针指向红色的概率。

答案：P=3/6=1/2板书设计八、板书设计

①核心概念：列举法、概率公式P=m/n、等可能性条件。

②方法应用：列表法（表格列举）、树状图法（分步列举）、结果确定。

③关键注意点：完整列举、无遗漏、顺序性、等可能验证。课堂小结，当堂检测课堂小结：本节课重点学习了用列举法求简单事件的概率。列举法的核心是列出所有可能结果，计算概率公式P=m/n，其中n是所有可能结果数，m是事件包含的结果数。关键条件是结果必须等可能。步骤包括：确定所有结果、筛选事件结果、代入公式计算。常用方法有列表法和树状图法，列表法适合两步事件，树状图法适合多步事件。难点在于列举时确保完整无遗漏或重复，避免错误计算。

当堂检测：题目：一个盒子里有4张卡片，分别标有数字1、2、3、4，随机抽取一张，求抽到偶数的概率。答案：P=2/4=1/2。题目：掷一枚均匀硬币两次，求两次都是正面的概率。答案：P=1/4。题目：袋中有2个红球和3个蓝球，不放回地摸出两个球，求两球都是蓝球的概率。答案：P=3/10。题目：一个转盘分成3等份，分别标A、B、C，指针指向字母的概率相等，求指向A或B的概率。答案：P=2/3。题目：同时掷两枚骰子，求点数和为7的概率。答案：P=6/36=1/6。教学反思与总结教学反思：本节课通过实验法、讨论法引导学生主动探究，学生参与度高，但部分小组在树状图绘制时仍出现分支遗漏，需加强分步列举的规范性指导。课堂时间分配上，实践活动环节略显仓促，个别学生未能充分完成实验数据记录，下次需压缩导入时间，确保探究环节充足。当堂检测显示学生对单