函数的最值重点考点 专题练 2026年高考数学一轮复习备考

函数的最值重点考点专题练2026年高考数学一轮复习备考一、单选题1．函数的值域为（

）A． B． C． D．2．若函数的定义域为，值域为，则（

）A． B． C． D．3．已知，则的最小值为（

）A． B． C． D．不存在4．已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，若函数的值域为，则函数的最大值为（

）A．2 B．3 C．6 D．95．若函数的值域为，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．6．已知函数的定义域为，值域为，且，则下列结论不正确的是（）A． B．C． D．是增函数7．对于复数，假如复数同时满足以下两个条件：①，且，使得，②，则称为的反演.已知复数的实部等于1，为的反演，则的最小值为（

）A．2 B． C． D．8．下列函数中，值域为且为奇函数的是（

）A． B． C． D．二、多选题9．函数称为狄利克雷函数，对于狄利克雷函数，下列结论正确的是（

）A．B．的值域与函数的值域相同C．D．对任意实数x，都有10．设正实数m、n满足，则下列说法中正确的是（

）A． B．的最小值为C．mn的最大值为 D．的最小值为11．已知函数，则正确的是（

）A．的定义域为RB．是非奇非偶函数C．函数的零点为0D．当时，的最大值为三、填空题12．已知函数，则的最大值是.13．函数满足：①②，．则的最大值等于．14．已知是定义域为的格外数函数，若对定义域内的任意实数均有，则：①

；

②的值域为

；

③

；④是奇函数，则上述结论正确的序号是.15．已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是．16．已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为四、解答题17．已知．(1)若，求的最大值，并求出此时的值；(2)若且，求的最大值．18．若，且，求k的最大值，使得恒成立．19．已知首项为的等比数列的前项和为，且成等差数列.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的最大项.

参考答案题号12345678910答案DDABADCDABDACD题号11答案AD1．D【分析】求出函数定义域，再利用单调性求出值域.【详解】函数的定义域为，又与在上均单调递增，所以在上单调递增，，故的值域为.故选：D.2．D【分析】求函数的定义域和值域，再求即可.【详解】由有意义可得，所以，所以，所以函数的定义域，由，可得，所以函数的值域所以.故选：D.3．A【分析】依据基本不等式，可得答案.【详解】由于，则，故，当且仅当，即时取等号，即的最小值为.故选：A.4．B【分析】依据给定条件，利用奇偶函数的性质，结合函数值域的意义求出最大值.【详解】由函数的值域为，得，由是定义在上的奇函数，得，由是定义在上的偶函数，得，则，则，而函数与的值域相同，所以函数的最大值为3.故选：B5．A【分析】分别争辩在不同取值时得单调性；当时，，不合题意；当时，争辩的最小值即可；当时，由分析可知要求的最小值为0，先确定的范围，再依据的范围确定时函数的单调性，从而求得其最小值即为符合题意.【详解】当．则，此时在，单调递增，在单调递减.当时，若，当，，不合题意；当时，，，则值域为符合题意；当时，要使的值域是，则要求的最小值为．则必定先有，得，即，此时在上单调性为上单调递减，单调递增，有最小值符合题意．故故选：A.6．D【分析】取，代入计算，即可推断A，取代入计算，即可推断B，取代入计算，结合基本不等即可推断C，举出反例，取，即可推断D.【详解】对于A，取，则由已知等式得到，即，又由于值域为，全部，故，故A正确；对于B，取，则，即，故B正确，对于C，令，则，即，留意到，所以，所以，当取得等号，故C正确；对于D，取，则，符合题意，但此时是减函数，故D错误．故选：D．7．C【分析】设，则，利用判别式法可求的最小值.【详解】设，则，所以，故，故，故，设，则，其中，若，则；若，则即，故，故，故，故，故选：C.8．D【分析】利用奇函数排解AB；再求出函数值域即可推断.【详解】对于A，是非奇非偶函数，A不是；对于B，函数值域为R，，是偶函数，B不是；对于C，函数的定义域为R，，是奇函数，当时，，求导得，当时，；当时，，函数在上递增，在上递减，，而当时，，即函数的值域不是R，C不是；对于D，函数的定义域为，，是奇函数；当时，都递减，则函数在上单调递减，函数在上值域为，在上值域为，因此函数在上的值域是R，同理函数在上的值域是R，D是.故选：D9．ABD【分析】由狄利克雷函数定义逐项推断即可；【详解】对于A，依据狄利克雷函数定义可知，即A正确；对于B，易知函数的定义域为，当时，；当时，；即函数的值域为，所以B正确；对于C，若，则，则，若，则，则，综上可得：，故C错误；对于D，当时，，此时；当时，，此时，所以D正确．故选：ABD10．ACD【分析】由题设得，结合指数函数性质推断A；应用三角换元、帮助角公式及正弦型函数性质求的范围推断B；应用基本不等式求最值推断C、D.【详解】对于A，由于正实数m，n满足，则，，故，正确；对于B，设，，，满足正实数m，n的关系式，所以，由于，所以，所以，错误；对于C，由基本不等式得，当且仅当时等号成立，正确；对于D，由于，可得，当且仅当时等号成立，正确．故选：ACD11．AD【分析】利用函数的性质争辩，可以推断A、B、C选项，对于D选项，利用基本不等式来求最值即可．【详解】由可得：函数的定义域为R，故A正确；由，结合定义域为R，可知是奇函数，故B错误；由解得，，所以零点为，故C错误；当时，，取等号条件为，故D正确；故选：AD.12．16【分析】求出的范围，依据复合函数的单调性求解.【详解】由，而，由于单调递增，所以，则的最大值是16.故答案为：1613．/0.5【分析】设且，代入得，令，则有关于的不等式有解，利用判别式求解即可.【详解】解：设且，令，则有，即，设，则，即，所以有解，，所以的最大值等于．故答案为：【点睛】方法点睛：解答与抽象函数有关的题目时，常用赋值法.14．①③【分析】利用赋值法推断①和③的正误；设，代入已知等式即可验证②的正误；取，验证④的正误会.【详解】对于①，令，可得，由于是格外数函数，所以不恒为0，所以，故①正确．对于③，令，则，可得，即，故③正确．对于②，依据，可取，可知是定义域为的格外数函数，且，可知符合题意，但，故②错误．对于④，例如，可知是定义域为的格外数函数，且，留意到同号，可得，可知符合题意，但，即为偶函数，故④错误．故答案为：①③.15．【分析】参变分别可得对任意恒成立，换元令，整理得，结合对勾函数性质分析求解.【详解】由于，且，可得对任意恒成立，令，则，若，则，可得，若，则，可得，由对勾函数可知或，则或，可得，则；综上所述：，即的最大值为，则，所以实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题（1）分别参数法第一步：将原不等式分别参数，转化为不含参数的函数的最值问题；其次步：利用导数求该函数的最值；第三步：依据要求得所求范围．（2）函数思想法第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；其次步：利用导数求该函数的极值；第三步：构建不等式求解．16．4【分析】分析得到，故，利用基本不等式求出最小值.【详解】若，，恒成立，即恒成立，所以二次式与一次式在0到正无穷有相同的解，故才能满足要求（因式分解后二次项和常数项全都），又，故，，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为4.故答案为：417．(1)的最大值为3，此时；(2)3【分析】（1）设，故，代入中，，设，依据二次函数根的分布得到不等式，求出，进而得到的最大值为3，代入，求出；（2）设，由于，，故，将代入等式中得，依据根的判别式得到，验证当时满足要求，从而得到最大值.【详解】（1）设，故，，即，令，开口向上，则，要想在上有解，则要或，由得，由，即，解得，综上，，故的最大值为3，此时，解得.（2）设，由于，，故，将代入中，得，即，，，要想方程在上有解，需要，解得，又，故，当时，，解得，此时，符合要求，故的最大值为3.【点睛】关键点点睛：设，故，转化为关于的一元二次方程，结合根的分布与二次函数图象，得到不等式，求出最值；设，转化为的解问题，利用根的判别式得到不等式，求出答案.18．【分析】法一：接受特殊值探路，再证明结论即可；法二：利用三角换元，设,，再设，求出的范围，再将转化为关于的式子，最终依据函数单调性即可求出最值.【详解】法一：由题意知，由，对称，不妨设代入可得，下证：．事实上由于①，当且仅当等号成立，②，当且仅当时等号成立，①②得，即，故的最大值为．法二：由于，则设,，，由于，则，则，则，则，易知函数在上单调递减，则，则，则