2026步步高高考大二轮复习数学-思维提升　培优点5　极点与极线

培优点5极点与极线[考情分析]“极点、极线”是射影几何中的内容，不属于高考考查的范围，但极点、极线是圆锥曲线的一种基本特征，蕴含了很多圆锥曲线的重要性质，自然成为命题人命题的背景知识和方向，掌握了极点、极线的相关知识，就可以从“高观点下”看待高中圆锥曲线的相关内容，更容易抓住问题的本质.考点一极点与极线1.极点与极线的定义过点P(x0，y0)的动直线交圆锥曲线于A，B两点，过A，B的切线交点的轨迹叫做点P关于圆锥曲线的极线，点P叫做相应于此极线的极点，简称极.一个极点与其对应的极线称作一对配极元素，它们之间的关系称作一对配极关系.2.极点、极线与圆锥曲线的位置关系如图(1)，若极点P在圆锥曲线外，则相应的极线l与点P的切点弦重合，即相应的极线l是由点P向圆锥曲线所引的两条切线的切点弦所在直线，极线l与圆锥曲线有两个交点；如图(2)，若极点P在圆锥曲线内，则极线l是圆锥曲线经过点P的弦的两端点处的两条切线交点的轨迹，此时，极线l与圆锥曲线相离，它们无交点；如图(3)，若极点P在圆锥曲线上，则相应的极线l与在点P处的切线重合，即相应的极线l就是圆锥曲线在点P处的切线，极线l与圆锥曲线有唯一交点.例1(多选)已知点P是异于原点的一点，则下列关于极线方程的说法中，正确的是()A.已知点P(x0，y0)和圆C：x2+y2=r2，则关于点P的极线方程为x0x+y0y=r2B.已知点P(x0，y0)在椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)外，则点C.对于双曲线x2a2-y2b2=1，与点P(x0，y0D.对于抛物线y2=2px，若点Pp2答案ABD解析对于A，点P与圆的位置关系有三种，不妨设点P(x0，y0)在圆C的外部，两切点分别为T1(x1，y1)，T2(x2，y2)，两条切线的方程分别为xix+yiy=r2(i=1，2)，∵P(x0，y0)在切线上，∴x0x1+y0y1=r2，x0x2+y0y2=r2，∴T1(x1，y1)，T2(x2，y2)在直线x0x+y0y=r2上，由两点确定一条直线知直线T1T2的方程为x0x+y0y=r2，A正确；对于B，极线l与椭圆相交，且为由点P向椭圆所引两条切线的切点弦所在直线，设两切点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，两条切线的方程分别为lPA：x1xa2+y1yb2=1，∵P(x0，y0)在切线上，∴x即点A(x1，y1)，B(x2，y2)均满足x0xa2故切点弦AB所在直线方程，即为点P相应的极线方程，为x0xa2+y对于C，证明方法同椭圆，可得极线方程为x0xa2-y对于D，由阿基米德三角形的性质可知D正确.[规律方法](1)一般地，若圆M：(x-a)2+(y-b)2=r2，P(x0，y0)是圆外一点(极点)，则过点P(x0，y0)的圆M的切点弦(极线)的方程是(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.(2)从代数角度看，在圆锥曲线方程中，以x0x替换x2，以x0y+y0x2替换xy，以y0y替换y2，以x0+x2替换x，以y0+(3)从几何角度看，如图，设P是不在圆锥曲线上的一点，过P点引两条割线依次交圆锥曲线于四点E，F，G，H，连接EH，FG交于N，连接EG，FH并延长，延长线交于M，则直线MN为点P对应的极线.若P为圆锥曲线上的点，则过P点的切线即为极线.由图同理可知，PM为点N对应的极线，PN为点M对应的极线.因而将△MNP称为自极三角形.跟踪演练1过椭圆C：x225+y29=1内一点M(3，2)，作直线AB与椭圆交于点A，B，作直线CD与椭圆交于点C，D，过A，B分别作椭圆的切线交于点P，过C，D分别作椭圆的切线交于点Q，求PQ答案3x25+解析方法一由题意知直线PQ为点M关于椭圆C的极线，所以直线PQ的方程为3x25+2方法二由题意设P(x1，y1)，Q(x2，y2).则直线AB为点P关于椭圆C的极线，其方程为x1x25+又M(3，2)在直线AB上，所以3x125+2y同理3x225+2y由①②可得直线PQ的方程是3x25+2考点二极点与极线的性质及应用例2设椭圆C：x22+y2=1的右焦点为F，如图所示，过点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，点M的坐标为(2，0)，O为坐标原点，证明：∠OMA=∠证明当直线l的斜率为0时，易证∠OMA=∠OMB；当直线l与x轴不重合时，设其方程为x=my+1，A(x1，y1)，B(x2，y2).联立x消去x得(m2+2)y2+2my-1=0.易得Δ=8(m2+1)>0，所以y1+y2=-2mm2+2，y1y则kAM+kBM=y1x=y=x1而x1y2+x2y1-2(y1+y2)=(my1+1)y2+(my2+1)y1-2(y1+y2)=2my1y2-(y1+y2)=2m·-1m2+2所以kAM+kBM=0，从而∠OMA=∠OMB.综上所述，∠OMA=∠OMB.[规律方法]极点、极线的性质(1)如图1，设点P关于圆锥曲线Γ的极线为l，过点P任作一割线交Γ于点A，B，交l于点Q，则PAPB=AQBQ；反之，若PAPB=AQBQ成立，则点P，Q调和分割线段AB，并且2PQ=1PA+1PB(2)如图2，设点P关于有心圆锥曲线Γ(设其中心为O)的调和共轭点为点Q，PQ连线经过圆锥曲线的中心，则有OR2=OP·OQ，反之若有此式成立，则点Q为点P关于此圆锥曲线的调和共轭点.(3)如图3，A，B为圆锥曲线Γ的一条对称轴l上的两点(不在Γ上)，若A，B关于Γ调和共轭，过点B任作Γ的一条割线，交Γ于P，Q两点，则∠PAB=∠QAB.(4)如图4，已知点Q在圆锥曲线Γ的对称轴上，直线l垂直于该对称轴，过点Q作直线交Γ于点M，N，P为l上任意一点.若点Q与直线l是Γ的一对极点与极线，当对称轴是x轴时，kPM+kPN=2kPQ.(5)如图5，已知点A是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上任一点，极点P(t，0)(|t|<a，|t|≠c，t≠0)，相应的极线x=a2t，椭圆在点A处的切线与极线x=a2t交于点N，过点N作MN⊥AP于点M，则直线MN恒过x轴上的一个定点Q，且点(6)如图6，设圆锥曲线Γ的一个焦点为F，与F相应的准线为l.若过点F的直线与圆锥曲线Γ相交于M，N两点，则Γ在M，N两点处的切线的交点Q在准线l上，且FQ⊥MN；反之，若过准线l上一点Q作圆锥曲线Γ的两条切线，切点分别为M，N，则直线MN过焦点F，且FQ⊥MN.跟踪演练2如图，过椭圆y22+x2=1的焦点F(0，1)的直线l与椭圆交于C，D两点，并与x轴交于点P，A，B分别为椭圆的左、右顶点，直线AC与BD交于点Q.当点P异于A，B两点时，证明：OP·OQ证明设直线l的方程为y=kx+1(k≠0，k≠±1)，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，联立y消去y得(k2+2)x2+2kx-1=0，易得Δ=8(k2+1)>0，则x易知A(-1，0)，B(1，0)，则直线AC的斜率kAC=y1其方程为y=y1x1+1(x+1直线BD的斜率kBD=y2其方程为y=y2x2-1(x-1由③÷④得x+1x-1即xQ+1xQ=k=-=(k-1)(k解得xQ=-k.易得P-1故OP·OQ=xPxQ=-1k·(-k)=1即OP·OQ为定值1.专题强化练[分值：30分]1.(13分)如图，已知椭圆C：x24+y2=1的左、右顶点分别为A，B，上顶点为D，点P是椭圆C上异于顶点的动点，直线AD与直线BP交于点M，直线DP与x轴交于点N.证明：直线MN证明由题意可得D(0，1)，B(2，0)，A(-2，0)，设直线BP的方程为x=my+2(m≠0，m≠±2).联立x消去x得(m2+4)y2+4my=0，解得y=0或y=-4m所以yP=-4m从而xP=myP+2=8-2m故P8-2m所以直线DP的斜率kDP=-4mm2+4故直线DP的方程为y=m+22(m令y=0，解得x=2(2-m)m所以N4-2m又直线AD的方程为x-2+y1=1，即x-2y联立x-2y所以M-2所以直线MN的斜率kMN=0+4m-2所以直线MN的方程为y=m+2整理得m(x-4y+2)+2x-4=0，由x-4y所以直线MN过定点(2，1).2.(17分)设抛物线C：y=x2的焦点为F，动点P在直线l：x-y-2=0上运动，过P作抛物线C的两条切线PA，PB，且与抛物线C分别相切于A，B两点.(1)求△APB的重心G的轨迹方程；(7分)(2)证明：∠PFA=∠PFB.(10分)(1)解设切点A，B坐标分别为(x0，x02)和(x1，x12)(x1≠所以切线AP的方程为2x0x-y-x02=0，切线BP的方程为2x1x-y-x由于P既在AP上，又在BP上，所以2解得xP=x所以△APB的重心G的横坐标xG=x0+x1yG=x02=(x0+所以yP=-3yG+4xG2，由点P在直线l上运动，从而得到重心x-(-3y+4x2)-2=0，即y=13(4x2-x+2)(2)证明方法一因为F0，FA=x0FP=x0FB=x1由于P点在抛物线外，则|FP|≠0.所以cos∠PFA=FP=x=x0同理有cos∠PFB=FP=x=x0x1+14|方法二①当x1x0=0时，由于x1≠x0，不妨设x0=0，则A(0，0)，所以P点坐标为x1则P点到直线AF的距离为d1=|x而直线BF的方程为y