北航矩阵理论期末试题及解答

2010—2011学年B班

fl%%、T

一、（20分）设4=12%，x=0

2i\

1%1/0

（1）求列范数IIAlli与行范数IIAIL.（2）求向量范数||Av%,\\AX\\2R\\AX\\^.

⑶画出A的盖尔园（估计特征值范围），判断A是否可逆

答⑴列范数l|A||产3+七行范数11AL=3+3（6分）

（2）向量范数||Ax-11^2+1，||心电二"巨T，IIAxh=1（8分）

（3）A的盖尔园为：G：IZ-1|。，G2:|Z-2|<1.5,G3:|Z-2/|<1.5

画出A的盖尔园可知原点0不在盖尔园中，故A为可逆.（6分）

因为原点0不在盖尔园中，故A为可逆.

（1）求A的满秩分解

（2）计算—«z4）A与A100；（3）证明A可对角化（A为单阵）.

/q生…4\Z1X

...2O]2〃“2......

答（1）4==.（4，生，…，可）=4（分解不唯一）（4分）

••••・

•••••

"na2…nan）〔力

（2）利用/?&='+2a?H-----Fnan=trA

A2-（/rA）A=0

,OO

=>A=(/?«)"A=(6Z1++〃q)99A(6分)

(3)1-(〃八)4=(),("4/0)0A的一个零化式(也是极小式)为

/一(〃八)1=0且无重根，故A可对角化(A为单阵)(5分)

(24、-A

三、(18分)设4=(1)求A的谱分解；(2)求0皿4与"‘01人的谱分解

3)

(3)求谱半径")与行列式det(网与.

(24、

答⑴A=可知A的谱为b(A)={7,-2},令4=7,4=-2的

[53)

A的谱分解公式为4=4Q+4G2其中

G2=/-G,=1(7-A)=|JT]即4的谱分解:

—54.

，44、5-4'

A=7G1+(-2)G2=7x-2xJ

、55,-54;

也可令4=一2,办=7可写A的谱分解为(此时的G，G与上面次序相反):

(5-44-4、

A=-2G\+7G?=—2x1+7x-1其中。=景7-4)==

「54【54

(2)可知/(4)的谱公式为f(A)=〃4)GI+f(4)G2,(且G，G?同上),

令/(x)=sinx=/(7)=sin7J(—2)=-sin2得sinA的谱分解为

44)-4

sinA=(sin7)5-(sin2)G=sin7x1-sin2x

254J

再令/•*)=*nxn/(7)=ersin7,/(-2)=得"八的谱分解为

(44、-4]

fsinA/sin7,sin2/sin7,5

c=(e)G,+(e-)G2=exi+产2

p5)\-54,

⑶由。(P)={«7,"2}n谱半径Q(")=〃

由={esin7,由丽2}二行列式det（*"）=注…2

(\

2011四、(15分)设4=123/=2

(000(0

（1）求A的一个满秩分解，并求4+

⑵证明Ar=〃相容，并求其极小范数解.

i0k

[\*BC（分解不唯一）（3分）

解（1）满秩分解4=01

2

(00J力

有满秩分解得公式A'=C+/T（若写出A+相关公式给2分）

10

」00

其中8=01=夕=(3〃3尸8〃

、010

、00;

1iL1气-3、

11r36<14

c==c=cH(ccHy"=i212i=i20

I2%16(■63J1-43j

iV13

‘8-3],8-30]

A+=C+B+=120100、

=i200（有A+的过程与结果给5分）

(010>

-431-43Oj

（2）证明：因为〃恰为4的一个列则〃£R（A）可知—=/?相容，也可由

秩r(A|B)=«A)=2=Ar=〃为相容.(3分)

Ar=/?极小范数解公式为x=(1分)

8-30121

得极小范数解x=A+0=A+2=120o22=1(1分)•

13。八°,

(\

1

、0

解(1)由04-2)2=0与台乐公式/04)=工：牛5-2)£

可得公式f(A)=/(2)/+/(2)(A-2).(6分)

r50

解⑵4yAn正奇异值为逐，1

<01

「5，有正交特征向量：x,=7"0

A"=,X]=

<0

0、

fAX,AX?(\0)

令夕=01，令Q=(X],X2)=

<0b

叫1、

得到简化奇异值分解为4=PAQ"=01

小

为°0+1A

」0、

把。=01扩充为正交阵u=010(不惟一)，令Y=Q=

<0L

1%0;|

0

10、"

奇异值分解为A=UQV"01001（共9分）

10

0I00

小八/

「-342玉⑺

At

七、（15分）设/=-231,b(t)=0,x=x(t)=x2(r),⑴求e

21

-222/e（外

⑵求解齐次微分方程组£=Ar,初始条件为x（0）=C=（0,1,of

⑶用矩阵方法导出微分方程//詈Y=Ar+优。满足条件x（0）=C的解公

式：W）=*C+*J（，”eMu（不必求解，若求出解有附加分）.

，-4422

C

解(1)由A-/=-2N1=1(-2,2,1)可知谱为b(A)={0,1,1)

c

-2L

令4=0,4=1可知最小式加（%）=（%-0）（兀一1）,故有了⑷的谱公式为

/（A）=/（4）a+/（4）G其中

2-4-2、

（AX%）（A-4）二（4-4）

=-(A-l)=/-A=2-2-1

（4*4）（4一%）（%-4）

2一2-1；

「342、

G2=I-G}=A=-231（过程正确4分）

-222

\7

令/")=*="0)=1,/⑴=，，得/=屿+«&=(/—A)+/A(2分)

‘4-3"-4+4--2+2，、

=2-2el-2+3/-1+/(最后结果1分)

2-2--2+2el-\+2el

dx

（2）由齐次微分方程=Ax,x(0)=C的解公式工=/C(2分)

71

代''-4+4/

得X=*1=一2+3"(1分)

\一2+2//

dx

（3）由方程二Ar十仇。可得

~di

A,AtAt

—(e-x)=""(—4)X+-4—=e-[--Ax]=e-b(t)

dtdtdt

上式两边积分得，£'(e-Alx)dt=[e-A'b(t)dt

即e-Atx(t)-x(O)=[e^bMdv,于是解公式为

Jo

xQ)=eA,C+/£e~Avb{v}dv(3分)

口+i2-1]（C

（2（X）9）：（15分）设4二-i-12+i（『=—1）,x=0

〔3l+2iUJ

⑴计算I琳与14•⑵计算网，网2及网8・

（3）估计A的特征值分布范围.

赠拓卜4+及（列范数）

解：1）、M||

7=1

MIJ吧给力%|=5+6(行范数)

7■•

2)、Ax=(Z-2j+3,5Z)7

所以||Ar|L=]_2|+/+3|+|54=9+6+5

22

||Ar||2=J|z-2|+|/+3|+|5zf=740=2M

||A^=max{|/-2|Jz+3|,|5/|}=5

3)、A的盖尔&={ZGC||Z-(1+/)|<3)G2={ZGC||Z+1)|<V5+1}

G3={zeC||z-2/|<V5+3)

3

所以A的特征值/IwUG，或者夕(A)«MIL=4-夜

2—24—11

2009：一、设;I/—A二?7>，(A为7阶矩阵)

02+1

求初等因子与Jordan标准形

解1：因为

"-22-lVlz,八(A-21')/'0

歹此2-。7

(02+1；2\02+1J1,(/1+1)(2-2)(A

(0\}(\0、

二1(4+1)(%—2)0广10(2+1)(2-2)J

可知(4/—A)合diagW+1)(/1-2),(2+1)(4—1),(4—2),(2-2)2,1,1)

可得初等因子为：{(冗+1),(兄+1),(/1-2),(2-2),(4-2)2,(；1-1)}

不变因子为：(九一2)2(；1+1)(/1—1),(兄一2)(4+1),(兄—2)

极小多项式：加(小)=(4+1)(4-1)((-2)2

2

Jordan形为JA=

(川

解法2

02+1J|_()(2+1)(2-2)

所以4/一A3由ag{l,(4+1)(2—2),1,万一IJU—2),(义一2尸}

初等因子：{4+1,4-2,/1+1,；1-1,4-2,(；1-2)21

2

不变因子：J7(/l)=a+1)(/1-1)(2-2),J6(2)=(2+1)(/1-2),4-—2,

a(2)=幺(2)=&(»=4⑷=1

2)、Smith标准形diag{1,1,1,1,2-2,(4-2)(2+1),(2+1)(2-1)(2-2)2}

2

3)、加八(％)=dd(2)=(2+1)(2-1)(2-2)

Jordan标准形为:

2I

2

2009三、证明：若44"可逆(即A是行满秩)贝ljA{1,4}={4*}

证：由于A，=A”(AA〃)T,所以A4+=/(1)

任取大0£4],4}有

3,4)A=A(2)

(A。⑷A)〃=A(⑷A(3)

由(1)、(2)及AA

从而4，4)44”用=屋⑷(4)

及(人4⑷)〃=AA(L4)(5)

由(2)、(3)、(4)、(5)知，小闻为A的M-P逆

由唯一性知A{1,4}={A'}

"I-1

六2009（15分）设4=一11

「22

(1)求A的满秩分解.(2)计算4+.

(3)判断加=。是否相容，并计算其极小范数解或极小最小二乘解.

解：1)、

-1-1065

A，吟变睥001-24

00000

10

1-1065

故，令尸=-11G=

001-24

-21

A=FG

2）、

=GF

-1-2

11

31

-31

228

-270

1067

3）、

因为秩4=2〈秩(A,b)=3,4=人不相容

故极小最小二乘解为玉)=A+〃

2009四、证明：1)因为A*=A，故A'=A

所以秩A二秩A?三秩A?W秩A,所以秩A?=秩A

2)、由工一4二0,故;P将A零化，且23-/1=0无重根，A可对角化。

3)、A的特征根为1、-1和0,而秩A=r。

故非零特征根的个数为(对角线非零元素的个数为Q

1

0

故4~为Jordan标准形