2026步步高高考大二轮复习数学-新运算为导向的压轴题

新运算为导向的压轴题1.矩阵可以理解为一个二维数列，在数列的研究中有重要的应用.记一个m行l列的矩阵A为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a1，1…a1，l,⋮⋱⋮,am，1…am，l))，A中第i行第j列的元素为，j(i＝1，2，3，…，m，j＝1，2，3，…，l)，记一个l行n列的矩阵B为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(b1，1…b1，n,⋮⋱⋮,bl，1…bl，n))，我们定义一个双目运算符“⊗”使得矩阵C＝A⊗B，那么有以下规则：a.A的列数必须与B的行数相等.b.C是一个m行n列的矩阵.c.C中的元素ci，j＝eq\o(∑,\s\up6(l),\s\do4(k=1))(，k×bk，j).d.若有n个相同的矩阵A相⊗后得到一个新矩阵，可将其记作An，⊗.e.⊗运算满足结合律，不满足交换律.(1)求eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(14,25,36))⊗eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(123,456)).(2)数列{fn}满足：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f1＝f2＝1，,fn＝fn－1＋fn－2（n≥3，n∈N*）.))存在唯一的矩阵D使得D⊗eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(fn－1,fn－2))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(fn,fn－1))(n≥3，n∈N*).①求矩阵D，并用矩阵相⊗的形式表示出矩阵[fn](n≥3，n∈N*)；②用矩阵相⊗的形式表示出矩阵[eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i=1))fi](n≥3，n∈N*).解(1)由题意得eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(14,25,36))⊗eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(123,456))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1×1＋4×41×2＋4×51×3＋4×6,2×1＋5×42×2＋5×52×3＋5×6,3×1＋6×43×2＋6×53×3＋6×6))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(172227,222936,273645)).(2)①由题可知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1×fn－1＋1×fn－2＝fn，,1×fn－1＋0×fn－2＝fn－1))(n≥3，n∈N*)，所以eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(11,10))⊗eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(fn－1,fn－2))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(fn,fn－1))(n≥3，n∈N*)，所以D＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(11,10))，所以eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(fn,fn－1))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(11,10))⊗eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(fn－1,fn－2))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(11,10))eq\s\up12(2，⊗)⊗eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(fn－2,fn－3))＝…＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(11,10))eq\s\up12(n－2，⊗)⊗eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(f2,f1))(n≥3，n∈N*)，所以[fn]＝[10]⊗eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(fn,fn－1))＝[10]⊗eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(11,10))eq\s\up12(n－2，⊗)⊗eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,1))(n≥3，n∈N*).②设Sn＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i=1))fi，因为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1×Sn－1＋1×fn－1＋1×fn－2＝Sn，,0×Sn－1＋1×fn－1＋1×fn－2＝fn，,0×Sn－1＋1×fn－1＋0×fn－2＝fn－1))(n≥3，n∈N*)，所以eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(111,011,010))⊗eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(Sn－1,fn－1,fn－2))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(Sn,fn,fn－1))(n≥3，n∈N*)，所以eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(Sn,fn,fn－1))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(111,011,010))⊗eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(Sn－1,fn－1,fn－2))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(011,011,010))eq\s\up12(2，⊗)⊗eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(Sn－2,fn－2,fn－3))＝…＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(111,011,010))eq\s\up12(n－2，⊗)⊗eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(S2,f2,f1))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(111,011,010))eq\s\up12(n－2，⊗)⊗eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2,1,1))(n≥3，n∈N*)，所以[eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i=1))fi]＝[Sn]＝[100]⊗eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(Sn,fn,fn－1))＝[100]⊗eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(111,011,010))eq\s\up12(n－2，⊗)⊗eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2,1,1))(n≥3，n∈N*).2.已知有序数对X：{x1，x2，x3}，有序数对Y：{y1，y2，y3}，定义“Ω变换”：y1＝|x1－x2|，y2＝|x2－x3|，y3＝|x3－x1|，可以将有序数对X转化为有序数对Y.(1)对于有序数对X：{3，4，5}，不断进行“Ω变换”，能得到有序数对{0，0，0}吗？请说明理由.(2)设有序数对X：{x1，x2，x3}经过一次“Ω变换”得到有序数对Y：{y，2，x}(x≥y)，且有序数对Y的三项之和为2024，求eq\f(y,x)的值.(3)在(2)的条件下，若有序数对Y经过n次“Ω变换”得到的有序数对的三项之和最小，求n的最小值.解(1)对于有序数对X：{3，4，5}，不断进行“Ω变换”，得到的有序数对分别为{1，1，2}，{0，1，1}，{1，0，1}，{1，1，0}，{0，1，1}，…以下重复出现，所以不能得到有序数对{0，0，0}.(2)易知y＝|x1－x2|，2＝|x2－x3|，x＝|x3－x1|，因为有序数对Y的三项之和为2024，且x≥y，所以x＋y＝2022，x≥1011≥y，所以|x3－x1|≥1011≥|x1－x2|，故|x3－x1|最大，即x1>x2>x3或x3>x2>x1.当x1>x2>x3时，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x1－x2，,2＝x2－x3，,x＝x1－x3，))由x＋y＋2＝2024，得2(x1－x3)＝2024，即x＝1012，所以y＝1010，故eq\f(y,x)＝eq\f(1010,1012)＝eq\f(505,506).当x3>x2>x1时，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x2－x1，,2＝x3－x2，,x＝x3－x1，))由x＋y＋2＝2024，得2(x3－x1)＝2024，即x＝1012，所以y＝1010，故eq\f(y,x)＝eq\f(1010,1012)＝eq\f(505,506).综上，eq\f(y,x)＝eq\f(505,506).(3)有序数对Y：{y，2，y＋2}，将有序数对Y经过6次“Ω变换”得到的有序数对分别为{y－2，y，2}，{2，y－2，y－4}，{y－4，2，y－6}，{y－6，y－8，2}，{2，y－10，y－8}，{y－12，2，y－10}，由此可见，经过6次“Ω变换”后得到的有序数对也是形如{y，2，y＋2}的有序数对，与有序数对Y“结构”完全相同，但最大项减小12，