22.1(1)多边形的内角和 教学设计-2023-2024学年沪教版（上海）八年级数学第二学期

-1-22.1(1)多边形的内角和教学设计-2023-2024学年沪教版（上海）八年级数学第二学期教学设计课题课型新授课√□章/单元复习课□专题复习课□习题/试卷讲评课□学科实践活动课□其他□设计意图一、设计意图：基于三角形内角和知识，通过分割多边形为三角形的探究活动，引导学生从四边形、五边形等特殊多边形入手，归纳得出n边形内角和公式，渗透转化与归纳思想。注重学生动手操作与合作交流，培养几何直观与推理能力，为后续学习多边形外角和及解决实际问题奠定基础，符合八年级学生从具体到抽象的认知规律。核心素养目标分析二、核心素养目标分析：通过多边形内角和的探究，发展数学抽象与逻辑推理能力，归纳n边形内角和公式；借助图形分割培养几何直观，提升分析问题、解决问题的数学建模意识；渗透转化思想，体会数学与现实联系，增强应用意识与创新思维。重点难点及解决办法三、重点难点及解决办法：重点为多边形内角和公式的推导与应用，源于学生需从具体多边形抽象出一般规律，通过分割多边形为三角形（如课本中四边形、五边形示例），结合小组讨论归纳公式；难点为理解“n边形内角和=(n-2)×180°”中“n-2”的含义，学生对分割后三角形个数与边数关系易混淆。解决方法：借助几何画板动态演示分割过程，引导学生从一点出发连接非相邻顶点，观察三角形个数变化，通过“特殊—一般”转化突破难点；分层设计例题，从已知边数求内角和到已知内角和求边数，强化公式应用。教学资源准备四、教学资源准备：教材：每位学生配备沪教版八年级数学第二册教材，确保“22.1(1)多边形的内角和”内容可查阅。辅助材料：准备四边形、五边形分割示意图，多边形内角和推导动态视频，不同边数多边形实物模型。实验器材：几何画板软件，纸质多边形卡片供学生动手分割操作。教室布置：设置分组讨论区，每组配备白板及马克笔，便于展示分割思路与结论。教学流程1.导入新课（4分钟）：复习三角形内角和180°，提问：“四边形、五边形的内角和怎么求？”展示四边形木架，引导学生回忆“从一个顶点出发连接对角线，分成2个三角形，内角和2×180°=360°”，进而追问：“六边形、n边形呢？”引发学生探究多边形内角和规律的欲望，明确本节课目标。

2.新课讲授（17分钟）：

（1）特殊多边形内角和探究（6分钟）：呈现四边形、五边形、六边形图形，让学生动手分割（从一顶点出发连接非相邻顶点），记录分割三角形个数及内角和：四边形分2个三角形，内角和360°；五边形分3个三角形，内角和540°；六边形分4个三角形，内角和720°。引导学生观察边数n与三角形个数关系，归纳“n边形分n-2个三角形”，得出内角和公式(n-2)×180°，强调“n≥3且为整数”。

（2）公式验证（6分钟）：以五边形为例，展示另一种分割法——从内部一点出发连接各顶点，分成5个三角形，内角和5×180°=900°，减去中心周角360°，得540°，与之前结果一致，验证公式普遍性；再拖动几何画板中五边形顶点，变为凹五边形，内角和仍为540°，说明公式与形状无关。

（3）公式应用（5分钟）：例1：求十边形内角和——(10-2)×180°=1440°；例2：已知多边形内角和是1080°，求边数——设边数为n，列方程(n-2)×180°=1080°，解得n=8；例3：一个正多边形每个内角135°，求边数——先求内角和135°n，再列方程(n-2)×180°=135°n，解得n=8，强调公式中n的取值范围。

3.实践活动（14分钟）：

（1）动手分割验证（5分钟）：发放纸质多边形卡片（四边形、七边形、九边形），学生分组从一顶点出发分割，计算三角形个数，求内角和并测量实际内角和对比（如七边形分5个三角形，内角和900°，实际测量误差±5°内），体会公式准确性。

（2）几何画板动态演示（5分钟）：学生操作几何画板，绘制n边形（n=3,4,5…10），选择“从一顶点分割”功能，观察三角形个数随n变化规律，记录数据并填入表格（虚拟表格，描述为“记录n与n-2的对应值”），验证公式(n-2)×180°。

（3）实际问题解决（4分钟）：给出情境“一个多边形花坛，每个内角140°，求它是几边形？”引导学生用两种方法解决：方法1设边数n，列方程(n-2)×180°÷n=140°；方法2先求外角和360°，每个外角40°，360°÷40°=9，得n=9，体会多边形内角和与外角和的联系。

4.学生小组讨论（4分钟）：

（1）问题1：“从n边形一个顶点出发，为什么只能分n-2个三角形？”举例：六边形顶点A，不能连接A、B、F（相邻顶点），只能连接C、D、E，但连接AC、AD、AE中，AC分出1个三角形，AD分出2个，AE分出3个，即n-2=6-2=4？不对，纠正为“从一个顶点出发连接非相邻顶点，可连接n-3条对角线，将多边形分成n-2个三角形”，如六边形连接2条对角线（n-3=3？不对，六边形从一个顶点出发可连接3个非相邻顶点？不，六边形顶点A，相邻是B、F，非相邻是C、D、E，共3个，连接后分出4个三角形？不对，连接AC，分出△ABC和五边形ACDEF，再连接AD，分出△ACD和四边形ADEF，连接AE，分出△ADE和△AEF，共4个三角形，即n-2=4，所以“从一个顶点出发连接非相邻顶点，分成的三角形个数=对角线条数+1=(n-3)+1=n-2”。

（2）问题2：“如果多边形是凹多边形，内角和公式还适用吗？”举例：凹四边形（有一个内角大于180°），分割成2个三角形，内角和360°，与凸四边形一致，说明公式适用于任意简单多边形（凹、凸）。

（3）问题3：“已知多边形内角和，求边数时，为什么n必须是整数？”举例：方程(n-2)×180°=540°，解得n=5，是整数；若(n-2)×180°=500°，解得n≈4.78，不是整数，说明不存在这样的多边形，强调n的取值限制。

5.总结回顾（4分钟）：学生自主总结“本节课学了什么？”，教师提炼核心：多边形内角和公式(n-2)×180°的推导（分割成三角形）、应用（求内角和、边数）、注意事项（n≥3整数）。重申重点：公式的推导过程和应用；难点：“n-2”的含义（分割后三角形个数），强调“从特殊到一般”的归纳思想，布置课后练习：课本PXX习题22.1第1、2题（求内角和）、第3题（已知内角和求边数）。知识点梳理多边形是由不在同一直线上的若干条线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形，边数n≥3且为整数，按边数可分为三角形、四边形、五边形等。本节核心知识点为多边形内角和公式及其推导与应用，具体梳理如下：

一、多边形内角和公式

1.公式：n边形内角和为(n-2)×180°，其中n为多边形的边数（n≥3且为整数）。

2.公式推导：

（1）从一个顶点出发分割法：连接该顶点与所有非相邻顶点，得到(n-2)个三角形，因每个三角形内角和为180°，故n边形内角和为(n-2)×180°。例如，四边形从一个顶点出发可分2个三角形，内角和2×180°=360°；五边形分3个三角形，内角和540°。

（2）从内部一点分割法：在多边形内任取一点，连接该点与各顶点，得到n个三角形，内角和为n×180°，减去中心周角360°，得n边形内角和(n×180°-360°)=(n-2)×180°，验证公式普适性。

3.公式适用范围：适用于任意简单多边形（包括凸多边形和凹多边形），与多边形形状、大小无关，仅与边数有关。例如，凹四边形分割后仍为2个三角形，内角和360°，与凸四边形一致。

二、公式的直接应用

1.求n边形内角和：直接代入公式计算。例如，十边形内角和=(10-2)×180°=1440°；正六边形内角和=(6-2)×180°=720°。

2.已知内角和求边数：列方程(n-2)×180°=S（S为已知内角和），解得n=S÷180°+2，需满足n为整数且n≥3。例如，内角和1080°，则n=1080÷180°+2=8；若内角和500°，则n≈4.78，非整数，说明不存在这样的多边形。

3.求正多边形每个内角：正多边形各内角相等，每个内角=(n-2)×180°÷n。例如，正五边形每个内角=(5-2)×180°÷5=108°；正八边形每个内角=135°。

三、公式的拓展应用

1.结合多边形外角和：n边形外角和恒为360°，内角和与外角和满足内角和+外角和=n×180°。例如，已知正多边形每个外角40°，则边数n=360°÷40°=9，内角和=(9-2)×180°=1260°。

2.解决实际问题：如铺砖问题（求哪种正多边形能密铺，需满足内角数能整除360°）、建筑结构设计（计算多边形框架内角和）等。例如，一个多边形花坛每个内角140°，求边数：设边数为n，则(n-2)×180°÷n=140°，解得n=9。

3.多边形边数与内角和的关系：边数每增加1，内角和增加180°。例如，从五边形（540°）到六边形（720°），增加180°。

四、易错点辨析

1.“n-2”的含义：指从一个顶点出发分割后得到的三角形个数，而非对角线条数（对角线条数为n-3）。例如，六边形从一个顶点出发可分4个三角形（n-2=4），对角线条数为3（n-3=3）。

2.n的取值范围：n必须为整数且≥3，边数不可能为小数或分数。例如，方程(n-2)×180°=900°解得n=7，正确；若解得n=6.5，则无解。

3.凹多边形的内角和：公式仍适用，但需注意分割时三角形个数的计算（仍为n-2）。例如，凹五边形分割后为3个三角形，内角和540°。

五、知识间联系

1.与三角形内角和的关系：多边形内角和公式是在三角形内角和（180°）基础上通过分割推导得出，体现了“化归思想”将多边形问题转化为三角形问题。

2.与正多边形性质的联系：正多边形的每个内角、中心角、边长等计算均依赖于内角和公式，是后续学习正多边形对称性、镶嵌等内容的基础。

3.与方程思想的结合：已知内角和求边数时，需通过建立方程(n-2)×180°=S求解，强化代数与几何的联系。

本节知识点以多边形内角和公式为核心，通过推导过程渗透转化与归纳思想，通过应用培养分析与解决问题能力，为后续学习多边形外角和、正多边形及圆的相关知识奠定基础。课堂七、课堂评价：1.课堂评价：通过提问“n边形内角和公式推导的关键是什么”“已知内角和1080°，求边数的步骤有哪些”等，检测学生对公式推导过程及应用的掌握；观察学生动手分割纸质多边形时的操作规范性和小组讨论中“n-2”含义的讨论深度，及时纠正分割错误（如遗漏三角形）；设计3分钟快速测试，计算八边形内角和、求每个内角108°的正多边形边数，统计正确率，对错误率高的“n取值范围”问题即时讲解。2.作业评价：批改课本PXX习题22.1第1题（求内角和）、第2题（求边数）、第3题（正多边形内角计算），重点标注公式代入错误（如漏写“n-2”）、方程求解步骤不完整（如未检验n为整数）等问题，共性问题下节课前集中反馈；对结合外角和解决第3题的学生给予“思路清晰”评语，鼓励多角度思考，要求订正错题并注明错误原因。内容逻辑关系①旧知迁移到新知：重点知识点：三角形内角和、多边形分割方法；关键词：复习、迁移、从特殊到一般；词句：“三角形内角和为180°”“从一个顶点出发连