2026年中考数学二轮复习讲练测（全国）专题04 全等三角形的基本六大模型（题型）（原卷版）

专题04全等三角形的基本六大模型

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第一部分题型破译微观解剖，精细教学

典例引领方法透视变式演练

题型01一线三等角模型

题型02手拉手模型-旋转型全等

题型03倍长中线模型

题型04截长补短模型

题型05十字架模型

题型06半角模型

第二部分题型训练整合应用，模拟实战

题型破译

典例引领

【典例01】（2025·江苏盐城·一模）如图1，是大家非常熟悉的“一线三直角模型”，受到这模型的启发，我

们研究如下问题：如图2，在ABC中，A90，将线段BC绕点B顺时针旋转90得到线段BD，作DEAB

交AB的延长线于点E，连接CD并延长交AB的延长线于点F，

(1)若AB2，AC6，求线段EF的长；

BN

(2)在（1）的条件下，连接CE交BD于点N，求的值；

BC

3

(3)在（1）的条件下，在直线AB上找点P，使sinBCP，直接写出线段BP的长度．

5

【典例02】（2025·宁夏银川·二模）综合与实践：如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀

算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图

2，在ABC中，A90，将线段BC绕点B顺时针旋转90得到线段BD，作DEAB交AB的延长线于

点E．

(1)【观察感知】如图2，通过观察，线段AB与DE有怎样的数量关系？

(2)【问题解决】如图3，连接CD并延长交AB的延长线于点F，若AB2，AC6，求BDF的面积；

BN

(3)【类比迁移】在（2）的条件下，连接CE交BD于点N，求的值；

BC

方法透视

模型识别与分类：主要考查在一条直线上出现三个相等角的情形，包括直角、锐角、钝角三类，

考向1.

要求学生能快速识别模型。

解读

2.相似与全等应用：常考利用“一线三等角”证明两三角形相似；若模型中出现一组对应边相等，

则可证三角形全等。

3.综合压轴题：多与坐标系、函数、特殊三角形（等腰直角、等边）结合，求点坐标或线段长度。

4.图形变换背景：常与翻折、旋转等变换结合，需要学生从复杂图形中抽离出基本模型。

找线寻角定模型：在图形中找同一直线上的三个等角顶点，确定“一线三等角”的基本结构。

方法1.

2.无边证相似：若只有角相等条件，直接得到三角形相似，利用对应边成比例列方程求解。

技能

3.有边证全等：若模型中有一组对应边相等（常为等腰三角形边），则证三角形全等，实现边的

转移。

4.辅助线构造：当模型隐含时，主动过顶点作垂线构造“一线三直角”，尤其在坐标系中常用。

变式演练

【变式01】（2025·广东云浮·一模）【模型建立】

如图1，三个直角三角形的直角顶点都在同一条直线上，这一模型叫作“一线三垂直”型．这种模型是证明三

角形全等的常见模型，在数学解题中被广泛使用．如图，一次函数yx10的图象与x轴、y轴分别交于

B,A两点．

【模型探索】

（1）如图2，求证：AOB是等腰直角三角形．

（2）如图3，M,N是直线ykx上的两动点，连接BM,AN．若BMMN,BM6，求AN的长的最小值．

【模型应用】

1

（3）如图4，经过点B的直线yx5与y轴交于点C，H为线段OB上的一点，作射线CH．若BCH45，

2

求直线CH的函数解析式．

典例引领

【典例01】（2026·四川德阳·模拟预测）如图1，正方形ABCD与正方形AEFG的边AB、AEABAE在

一条直线上，正方形AEFG以点A为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为．在旋转过程中，两个正方形只有点

A重合，其他顶点均不重合，连接BE，DG．

(1)当正方形AEFG旋转至如图2所示的位置时，求证：BEDG；

(2)如图3，如果45，AB1，AE22，连接BG，GE，求BEG的面积．

【典例02】（2026·山东临沂·模拟预测）问题背景：如图（1），ABC与ADE为等腰直角三角形，

BACDAE90，连接BD、CE，请直接写出线段BD与CE有什么关系？

尝试应用：如图（2），ABC与ADE为等腰直角三角形，BACDAE90，连接BD、CE，且点D，

B，C在一条直线上，过点A作AFCD，垂足为点F，猜测：CD，CE，AF之间有什么数量关系，并

证明．

拓展延伸：如图（3），等腰直角ADE绕点A逆时针旋转一定角度，使得点B、C、D在一条直线上，

BACDAE90，ABAC2，CD1，连接AD、CE交于一点F，在线段AD上有一动点P，求

2

DPCP的最小值．

2

方法透视

模型特征：两个共顶点的等腰三角形（或等边、正方形），顶角相等，绕公共顶点旋转构成全

考向1.

等三角形。

解读

2.全等证明：常考利用“边角边”证明拉手线构成的三角形全等，进而得到对应边相等、对应角

相等。

3.结论应用：常考查拉手线的数量关系（相等）与位置关系（夹角等于顶角或互补）。

4.综合压轴：多与几何变换、最值问题结合，考查学生从复杂图形中抽离基本模型的能力。

识别公共顶点：找到两个等腰三角形的公共顶点，确认顶角相等是模型成立的前提。

方法1.

2.找准拉手线：两个三角形非公共顶点间的连线即为拉手线，常证这对三角形全等。

技能

3.全等得结论：由三角形全等推出拉手线相等，再导角证明拉手线夹角与顶角的关系。

4.动态中抓不变：图形旋转时，全等关系保持不变，对应边相等、对应角相等始终成立。

变式演练

【变式01】（2024·湖南娄底·模拟预测）图1是边长分别为n，m的正方形ABCD、正方形DEFG叠放在一

起的图形．

操作与证明：

(1)操作：固定正方形ABCD，将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转30，连接AE，CG(如图2)，线段

CG与线段AE之间的数量关系为．

(2)证明：若将图1中的正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转(90180)，使AE，CG相交于点P，

线段CG与AD相交于点K(如图3)，线段CG与线段AE之间具有怎样的数量与位置关系？证明你的结论．

(3)猜想与发现：在（2）的基础上，作DMCG于点M，作DNAE于点N，则四边形DNPM的形状是，

请证明你的结论．

典例引领

【典例01】（2025·山东青岛·模拟预测）【问题提出】

小红遇到这样一个问题：如图1，ABC中，AB6，AC4，AD是中线，求AD的取值范围．

【构建模型】

她的做法是：延长AD到E，使DEAD，连接BE，证明△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解

决．她的这种做法把中线延长了一倍，所以我们通常称为“倍长中线法”．

请回答：

（1）小红证明△BED≌△CAD的判定定理是：．

（2）AD的取值范围是

【模型应用】

（3）如图2，在ABC中，AD是ABC的中线，CAD45，在AD上取一点E，连接BE，若BEAC4，

则“燕尾”四边形AEBC的面积为．

【典例02】（2025·山东济宁·一模）（1）如图①，在ABC中，若AB10，AC6，则BC边上的中线AD

的取值范围是_____；

（2）如图②，在ABC中，D是BC边上的中点，DEDF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，

连接EF，求证：BECFEF；

（3）如图③，在四边形ABCD中，BD180，CBCD，BCD140，以C为顶点作一个70角，

角的两边分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明．

方法透视

模型定义：将三角形中线延长一倍，构造全等三角形，实现边的转移和角的等量代换。

考向1.

2.全等证明：常考利用“边角边”证明倍长后构成的三角形与原三角形全等，得到对应边相等。

解读

3.应用方向：常用于证明线段不等关系（三角形三边关系）、求线段取值范围、证明线段倍分关

系。

4.综合压轴：多与等腰三角形、直角三角形结合，考查学生构造辅助线解决问题的能力。

中线倍长法：见到中线（或中点），将中线延长一倍，连接端点构造全等三角形。

方法1.

2.全等得等量：倍长后证三角形全等，得到对应边相等，实现分散线段的集中转移。

技能

3.构造中位线：倍长中线后常出现中位线，结合中位线性质进一步推导线段关系。

4.求取值范围：利用三角形三边关系，通过倍长构造将所求线段放入三角形中求解。

变式演练

【变式01】（2025·吉林松原·三模）（1）【问题探究】如图1，已知AD是ABC的中线，延长AD至点E，

使得DEAD．连结BE,CE，求证：四边形ABEC是平行四边形．

（2）【拓展提升】如图2，在ABC的中线AD上任取一点M（不与点A、点D重合），过点M、点C分

别作ME∥AB，CE∥AD，连结AE，BM，求证：四边形ABME是平行四边形．

（3）【灵活应用】如图3，在ABC中，ÐB=90°，AB8，BC12，点D是BC的中点，点M是直线AD

上的动点，且ME∥AB，CE∥AD，当MEMC取得最小值时，求线段CE的长度．

典例引领

【典例01】（2025·广东韶关·一模）【知识技能】

（1）如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，EAF45，连接EF，试猜想EF，BE，DF

之间的数量关系．

梳理解答思路并完成填空．

A．旋转法：把Rt△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，

可使AB与AD重合，则BEDG，ADGB90，可

易证△AFG≌______，故

得FDG180，即F，D，G三点共线．

EF，BE，DF之间的数量

B．截长补短法：延长CD至点G，使得DGBE，由

关系为________．

BADG90，ABAD，即△ABE≌△ADG，可以

得到AEAG．

【数学理解】

（2）如图2，在ABC中，BAC90，ABAC，点D，E均在边BC上，且∠DAE45，试猜想BD，

DE，EC之间的数量关系，并说明理由．

【拓展探索】

（3）如图3，正方形ABCD的边长为2，EAF45，连接BD，分别交AE，AF于点M，N．若M恰

好为线段BD上靠近点B的三等分点，求线段MN的长．

【典例02】（2025·广东惠州·一模）已知正方形ABCD中，E是BC上一动点，过点E作EFAE交正方形

的外角DCL的平分线于点F．

(1)【动手操作】

如图①，在BA上截取BQBE，连接EQ，根据题意在图中画出图形，图中AQE_____度．

(2)【深入探究】E是线段BC上的一个动点，如图②，过点F作FGAE交直线CD于点G，以CG为斜边

向右作等腰直角三角形HCG，点H在射线CF上，连接AG．试判断四边形AEFG的形状，并证明．

(3)【拓展应用】

E是射线BC上的一个动点，过点F作FGAE交直线CD于点G，以CG为斜边向右作等腰直角三角形

HCG，点H在射线CF上，连接AG．若AB5，CE2，求线段AG的长．

方法透视

模型定义：主要解决证明线段和差关系（如）的问题，通过截长或补短构造全等或等

考向1.\(a=b+c\)

腰三角形。

解读

2.截长法：在最长线段上截取一段等于某条短线段，证明剩余部分与另一短线段相等。

3.补短法：将一条短线段延长，使延长部分等于另一短线段，证明新线段与最长线段相等。

4.应用场景：常与角平分线、垂直、等腰三角形结合，考查学生构造辅助线证明线段关系的能力。

观察定法：根据图形特点选择截长或补短，通常两种方法均可，选择证明更简洁的一种。

方法1.

2.构造全等：截长或补短后，常结合已知条件（如角平分线）证明三角形全等，实现边的等量代

技能

换。

3.等腰配合：当出现角平分线+平行线或垂直时，常可构造等腰三角形简化证明。

4.双法检验：用一种方法证完后，可用另一种方法验证，确保线段和差关系成立。

变式演练

【变式01】（2025·吉林长春·二模）【问题提出】在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且EAF45，

连结EF.求证：EFBEDF.

【问题探究】如图①，小亮采用“截长补短”的方法，在CD的延长线上鹤取DGBE，连结AG，通过证明

三角形全等，进而得证.

下面是小亮的部分证明过程：

证明：在CD的延长线上截取DGBE，连结AG.

四边形ABCD是正方形，

ABAD,BADCADG90.

又BEDG，

ABE≌ADG.

AEAG.

证明过程缺失

EFBEDF.

请补全缺失的证明过程.

【方法总结】常用“截长补短”的方法证明线段间的数量关系.

【问题解决】如图②，在【问题探究】的基础上，连结AC，点M在AC上，过点M作MNAE，垂足为

点P，交CB延长线于点N且MNAE.若DF5,CM42，则线段EF的长为_______.

【问题拓展】如图③，O是ABC的外接圆，ABC90,ABBC，点P在O上，且点P与点B在AC

PB

的两侧，连结PA,PB,PC.若PC2PA，则的值为_______.

PA

典例引领

【典例01】（2025·内蒙古·一模）（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AEDF，

垂足为点G．求证：ADE≌DCF．

【问题解决】

（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AEDF，延长BC到点H，使CHDE，

连接DH．求证：ADFH．

【类比迁移】

（3）如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AEDF11，DE8，AED60，求

CF的长．

【典例02】（2024·安徽阜阳·一模）【模型建立】

（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，且AE⊥DF，求证：DECF；

【模型应用】

（2）如图2，在矩形ABCD中，AB3，BC5，点E在边AD上，点M，N分别在边AB，CD上，且BEMN，

BE

求的值；

MN

【模型迁移】

AB2

（3）如图3，在四边形ABCD中，BAD90，，ABBC，ADDC，点E，F分别在边AB，

AD3

CF

AD上，且DECF，垂足为G，求的值．

DE

方法透视

正方形中的全等：在正方形中，若内部互相垂直的两条线段与边相交，则这两条线段相等。常

考向1.

考通过证明三角形全等得到结论。

解读

2.矩形中的相似：在矩形中，若内部互相垂直的两条线段与边相交，则这两条线段的比等于矩形

的邻边之比，常考利用三角形相似求解。

3.三角形中的拓展：在等边三角形或直角三角形中，也有类似的“十字”结构，常涉及全等与相

似的综合应用。

4.折叠问题结合：常与图形的翻折变换结合，需要从折叠图形中抽离出十字架模型解决问题。

识别垂直特征：见到四边形内部两条线段垂直，立即联想十字架模型，考虑证明全等或相似。

方法1.

2.平移构造：当线段端点不在顶点上时，通过平移将线段端点移到顶点处，构造标准十字架结构。

技能

3.比例关系应用：矩形中记住结论“垂直两线段之比等于矩形邻边之比”，直接建立方程求解。

4.多解验证：正方形中“垂直→相等”成立，但“相等→垂直”不一定成立，需结合图形具体分

析。

变式演练

【变式01】（2024·广东深圳·三模）【基本模型】（1）如图1，矩形ABCD中，AB3，BC4，AEBD

AE

交BC于点E，则的值是__________．

BD

【类比探究】（2）如图2，Rt△ABC中，BAC90，AB6，AC8，D为AC边上一点，连接BD，

AE2

AEBD，交BC于点E，若，求BE的长．

BD3

【拓展应用】（3）如图3，矩形ABCD中，E是BC的中点，DFAE于点F，连接AC交DF于点G，若

点G把线段AC分成2:3的两部分，请直接写出tanACB的值．

典例引领

【典例01】（2024·湖北·模拟预测）【问题发现】

（1）如图1，小万将正方形纸片ABCD折叠，使得边AB，AD都落在对角线AC上，展开得到折痕AE，AF，

连接EF，则EAF___________；

【探究猜想】

（2）小唯将图1中的EAF绕点A旋转，使它的两边所在直线分别交边BC，CD于点P，Q，连接PQ，

如图2．小唯猜想线段BP，PQ，DQ之间存在某种数量关系，请你帮小唯猜想线段BP，PQ，DQ之间的数

量关系，并证明；

【探究应用】

（3）小原受到小唯的启发，想探究如图3所示的一个内角为120的菱形ABCD中满足的相关结论，他在BC

边上取点P，连接AP，以AP为边向右作PAQ60，交CD于点Q，连接PQ．请你试着判断△APQ的形

状，并说明理由．

【典例02】（2025·山东·模拟预测）（1）如图1，四边形ABCD是边长为5cm的正方形，E，F分别在AD，

CD边上，EBF45．为了求出DEF的周长．小南同学的探究方法是：

如图2，延长EA到H，使AHCF，连接BH，先证ABH≌CBF，再证EBH≌EBF，得EFEH，

从而得到DEF的周长cm；

（2）如图3，在四边形ABCD中，ABAD，BAD100，BADC90．E，F分别是线段BC，CD

上的点．且EAF50．探究图中线段EF，BE，FD之间的数量关系；

（3）如图4，若在四边形ABCD中，ABAD，BD180，E，F分别是线段BC，CD上的点，且

2EAFBAD，（2）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由；

（4）若在四边形ABCD中，ABAD，BD180，点E、F分别在CB、DC的延长线上，且

2EAFBAD，请画出图形，并直接写出线段EF、BE、FD之间的数量关系．

方法透视

模型特征：在一个大角（常见°或°）内部包含其一半的小角（°或°），且小角

考向1.901204560

顶点与大角顶点重合。

解读

2.旋转构造：常考通过旋转构造全等三角形，将分散的线段集中到同一个三角形中解决问题。

3.线段关系：主要结论为半角两边与正方形（或等边三角形）边构成的线段和差关系（如

EF=BE+DF）。

4.综合应用：常与勾股定理、最值问题结合，考查学生构造旋转辅助线的能力。

旋转定方向：将半角一侧的三角形绕顶点旋转，使旋转边与大角另一边重合，构造全等。

方法1.

2.证全等得等量：旋转后证明两个三角形全等，得到对应边相等，实现线段转移。

技能

3.勾股求值：将转移后的线段集中到直角三角形中，利用勾股定理列方程求解。

4.结论巧记：熟记正方形中45°半角模型结论EF=BE+DF，可快速解决填空选择题。

变式演练

【变式01】（2025·广东深圳·三模）【综合与实践】

【问题背景】阅读以下材料，并按要求解决问题：

从正方形的一个顶点引出夹角为45的两条射线，与正方形两个边的交点构成的基本平面

几何模型称为半角模型．半角模型可以利用旋转得出多个几何结论，例如：

如图1，在正方形ABCD中，以A为顶点的EAF45，AE、AF与BC、CD边分别交于

E、F两点，若BEa，DFb，EFc（a，b，c为常数）．易证：EFBEFD，则

可以得到a，b，之间的数量关系是：cab．

证明：如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转90，得到ABG，由GBE180可得

G、B、E三点共线，GAEEAF45，可证明AEGAEF，故EFGEBEDF，

进而得到cab．

【方法转化】如果把背景中的正方形换成特殊顶角的等腰三角形，同学们可以利用上述问题背景得到多个

结论．

【问题解决】在半角模型中可以利用旋转的方法解决问题．

（1）如图3，在等腰RtABC中，以A为顶点的DAE45，AD、AE与BC边分别交于D、E两点，将

ADB绕点A逆时针旋转90，如图4，得到△ACF，易证ECF90，ADEAFE，则可以得到

BD，DE，CE之间的数量关系．

①若BD3，CE4，则可得DE___________

②若BDa，CEb，DEc，则a，b，c之间的数量关系是：___________

（2）如图5，在等边ABC中，以A为顶点的DAE30，AD、AE与BC边分别交于D、E两点．若

BDa，CEb，DEc，则a，b，c之间的数量关系是：___________

（3）如图6，在等腰ABC中，顶角BAC120，以A为顶点的DAE60，AD、AE与BC边分别交

于D、E两点，则可以得到BD，DE，CE之间的数量关系．

①若BD3，CE4，则可得DE___________

②若BDa，CEb，DEc，则a，b，c之间的数量关系是：___________

【实践应用】

（4）在第（3）问第①小问基础上，把△ABD绕点A逆时针旋转120得△ACF，如图7，如果线段EF与

边AC交于点G，则线段CG___________

题型训练

1．（2024·广西·一模）为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如

下尝试：如图1，在ABC中，AD是BC边上的中线，延长AD到M，使DMAD，连接BM．

(1)【探究发现】图1中AC与BM的数量关系是___________，位置关系是___________；

(2)【初步应用】如图2，在ABC中，AD是BC边上的中线，若AB12，AC5，AD6.5，判断ABC

的形状；

(3)【探究提升】如图3，在ABC中，若AB12，AC8，D为BC边上的点，且BD2CD，求AD的取

值范围．

2．（2025·四川绵阳·一模）在数学的研究中，我们常常利用类比联想的思想方法，可以对一些问题进行引

申拓展研究，达到“解一题，知一类”的目的．

【题根分析】例如：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，EAF45，连接EF，试猜想

EF、BE、DF之间的数量关系．解题思路：把ABE绕点A逆时针旋转90至△ADG，可使AB与AD重合，

由ADGB90，得FDG180，即点F、D、G共线，易证EF、BE、DF之间的数量关系为

EFBEFD．

【类比引申】

（1）如图2，ABC中，ABAC,BAC90，点D、E是BC边上两点，∠DAE45．试猜想BD、DE、EC

之间的数量关系．（直接写出你的猜想，不必写出证明过程）

【联想拓展】

（2）如图3，在ABC中，ABAC,BAC60，点D、E均在BC边上，且DAE30，若BD4,EC6，

求DE的长．

3．（2025·甘肃定西·三模）【模型建立】

（1）如图1，在Rt△ABC中，ACB90,CBCA，直线l经过点C，过点A作ADl于点D，过点B作

BEl于点E，用等式写出线段AD,BE,DE的数量关系，并说明理由；

【模型应用】

（2）如图2，在ABC中，D是BC上一点，CAD90,ACAD,DBADAB,AB23，求点C到AB

的距离；

【模型迁移】

（3）如图3，在正方形ABCD中，E为正方形内一点，连接AE,CE,DE,AEDE,DE4，求CDE的面

积；

4．（2024·贵州·模拟预测）模型的发现：

如图

(1)如图1，在ABC中，BAC90，ABAC，直线l经过点A，且B,C两点在直线l的同侧，BDl，

CEl，垂足分别为点D,E，请直接写出DE,BD和CE的数量关系；

(2)模型的迁移1：位置的改变

如图2，在（1）的条件下，若B,C两点在直线l的异侧，请说明DE,BD和CE的数量关系，并证明；

(3)模型的迁移2：角度的改变

如图3，在（1）的条件下，若三个直角都变为了相等的钝角，即BAC12a，其中90a180，

（1）的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明DE,BD和CE的关系，并证明．

5．（2025·甘肃平凉·二模）【模型建立】

（1）我们知道，正方形的四条边都相等，四个角都为直角．如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在

边BC，CD上，连接AE，AF，EF，并延长CB到点G，使BGDF，连接AG．若EAF45，则BE，

EF，DF之间的数量关系为________；

【模型应用】

（2）如图2，当点E在线段BC的延长线上，且EAF45时，试探究BE，EF，DF之间的数量关系，并

说明理由；

【模型迁移】

（3）如图3，在Rt△ABC中，ABAC，BAC90，点D，E在B，C上，∠DAE45，试探究BD，

DE，CE之间的数量关系，并说明理由．

6．（2025·吉林长春·二模）【模型提出】手拉手模型是初中几何中的一个重要基本模型，主要涉及两个顶

角相等且共用顶角顶点的等腰三角形．通过连接对应的底角顶点，可以得到全等三角形，我们称其为手拉

手全等模型．

如图①，ABC和ADE中，ABAC，ADAE，且BACDAE，连接BD，CE．

请找出图中的一对全等三角形：________．

【模型构造】数学课上，王老师提出这样一道数学问题：如图②，在ABC中，ABC60，BC4，AB3，

以点A为顶点，以AC为腰作等腰三角形DAC，若DAC120

求BD的长．

某学习小组构造手拉手全等模型，利用等腰三角形中的三线合一和直角三角形中的勾股定理等知识，求出

线段BD长度．以下是这个学习小组解题的部分过程：

如图③，过点A在AB左侧作BAE120，且满足AEAB，连接EC、EB，

则EABDAC，所以CAEDAB．

又ACAD

ACE≌ADB

ECBD

过点A作AF⊥BE于点F．

又AEAB

EFBF

FABFAE60

FBA30

……

请将上述过程补充完整．

2

【模型应用】如图④，ABC中，cosCAB，分别以AB和BC为直角边作等腰直角三角形ABE和等

2

AD

腰直角三角形CBD，连接AD，ACD112.5，则________．

AC

7．（2024·山东临沂·模拟预测）几何探究与实践

(1)【模型认识】如图1所示，已知在ABC中，BAC90，分别以AB、AC为直角边构造等腰直角三角

形ABD和ACE，连接BE、CD，则BE与CD的关系是：；

12

(2)【初步应用】如图2所示，连接DE，求证：S四边形BE；

BCED2

(3)【深入研究】在（2）的条件下，试判断ABC和ADE的面积有何关系，并加以证明；

(4)【拓广探索】如图3，在ABC中，BAC75，AB42，AC2，以BC为直角边构造等腰直角三

角形BCP，且PBC90，连接AP，试直接写出AP的长度．

8．（2025·山东济宁·三模）当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半

角模型”，通常用“旋转的观点”看待图形的几何变换，使得两个分散的角变换成为一个三角形，相当于构造

出两个三角形全等．

【问题初探】

（1）如图1，在四边形ABCD中，ADCD，AADCBCD90，E、F分别是AB、BC边上的点，

且EDF45，求出图中线段EF，AE，FC之间的数量关系．

如图1，从条件出发：将ADE绕着点D逆时针旋转90到位置，根据“旋转的性质”分析CM与AE之间的

关系，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系，可证得结论．

【类比分析】

（2）如图2，在四边形ABCD中，ABAD，BADBCD90，EAF45，且BC10，DC14，

CF8，求BE的长．

【学以致用】

（3）如图3，在四边形ABCD中，ABAD，ABC与ADC互补，点E、F分别在射线CB、DC上，

1

且EAFBAD．当BC4，DC9，CF2时，求出△CEF的周长．

2

9．（2025·山东济南·一模）（一）模型呈现（1）如图1，点A在直线l上，BAD90,ABAD，过点B

作BCl于点C，过点D作DEl于点E，由122D90，得1D，又ACBDEA90，

可以推理得到ABC≌DAE，进而得到AC_______，BC_______．我们把这个数学模型称为“K字”模型

或“一线三等角”模型；

（二）模型体验（2）如图2，在ABC中，点D为AB上一点，DEDF3,AEDFB，四边形CEDF

的周长为10，ABC的周长为18．小诚同学发现根据模型可以推理得到ADE≌BFD，进而得到

AEBD,ADBF，那么ABAEBF，再根据题目中周长信息就可得AB_______；

（三）模型拓展（3）如图3，在ABC中，ACB90,AC2BC，直线MN经过点C，且ADMN于点

D，BEMN于点E．请猜想线段DE,AD,BE之间的数量关系，并写出证明过程：

（四）模型应用（4）如图4，已知在矩形ABCD中，AB