江苏常州市六校教研联合体2024-2025学年高二第二学期阶段调研数学试题（解析版）

第1页/共1页常州市六校教研联合体2024-2025学年第二学期阶段调研高二年级数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.已知向量，若，则实数的值为（）A.8 B.7 C. D.14【答案】B【解析】【分析】根据向量垂直，则向量数量积为0，得到，解出即可.【详解】已知向量，因为，所以，解得．故选：B．2.下列求导运算正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据求导公式计算，得到答案.【详解】A选项，，A错误；B选项，，B错误；C选项，，C正确；D选项，，D错误.故选：C3.如图，在四面体中，，，，，为线段的中点，则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据空间向量的线性运算求解．【详解】由已知，故选：D．4.函数在上既有极大值又有极小值，则的取值范围为（）A. B.且 C. D.且【答案】D【解析】【分析】求得，根据题意，得出不等式组，即可求解.【详解】由函数，可得，因为函数既有极大值又有极小值，则满足，解得且．5.如图在棱长为2正方体中，点是的中点，那么异面直线和所成的角的余弦值等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标表示向量，利用向量求出异面直线和所成角的余弦值．【详解】建立空间直角坐标系，如图所示；，0，，，0，，，0，，，2，，，0，；，0，，，2，，，，；所以，；所以异面直线和所成角的余弦值为．故选：A【点睛】方法点睛：求异面直线所成的角常用的两种方法：方法一：（几何法）找（观察）作（平移法）证（定义）指求（解三角形）；方法二：（向量法）利用向量里异面直线所成的角的公式求解.6.函数的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用排除法，先由函数的取值情况判断，再由导数判断函数的极值即可得答案【详解】因为，所以当时，，可知C，D选项错误；又，当时，.当时，，故当时，取得极小值，故选项B正确.故选：B.7.已知函数，若，都有，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】不妨设，则可化为，即，令，则在上单调递增，，求导得，则在上恒成立，由，解得．8.已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求导，根据导数作出函数图象，数形结合求解参数范围即可.【详解】当时，可以看作函数向上平移个单位，当时，，则，因为当，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，，作出函数图象如下图，令，则过定点，由图易知，当时，图象与图象有4个交点，时，，当图象与图象相切时，设切点为，此时，将代入解得，即此时，则的取值范围为，故C正确．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．9.已知直线的方向向量是，两个平面的法向量分别是，则下列说法中正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】AD【解析】【分析】利用空间向量判断直线、平面间的位置关系.【详解】若，则，故A正确；若，则或在内，故B错；若，则，故C错；若，则，故D正确.故选：AD.10.已知函数，其导函数为，下列命题中为真命题的是（）A.的单调减区间是B.的极小值是﹣6C.过点只能作一条直线与的图象相切D.有且只有一个零点【答案】BCD【解析】【分析】求出函数的导数，即可得出其单调性和极值，从而判断ABD的真假，再根据导数的几何意义求切线方程即可判断C的真假．【详解】因为，令，得或，则在，上单调递增；令，得，则在上单调递减．所以极小值为，极大值为，而，故存在唯一一个零点，A错误，B、D正确；设过点直线与的图象相切，切点为，因为，，所以切线方程为．将代入，得．令，则，所以在，上单调递增，在上单调递减．因为，，，所以方程只有一解，即过点只能作一条直线与的图象相切，故C正确．故选：BCD．【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，导数的几何意义的应用，以及零点存在性定理的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题．11.已知，则下列不等式正确有（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】对于选项A，构造函数，求导分析单调性，进而推导不等式即可；对于选项B，结合特殊值判断；对于选项C，构造函数，求导分析单调性与最值即可；对于选项D，由构造函数，利用导数分析函数单调性判断即可.【详解】A项，令，则，令，解得，所以函数上单调递增．所以当时，，即，A正确；B项，令，则，于是，但，B错误；C项，令，则，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，故在时，取得最小值，所以在上恒成立，故在上恒成立，C正确；D项，令，因为，则，构造函数，在上恒成立，即在上单调递增，又，即在上恒成立，则有，化简得，将代入不等式可得：，化简得：，D正确．三、填空题：本题共3题，每小题5分，共15分．12.已知，，且，则向量与的夹角为__________【答案】【解析】【分析】根据向量数量积的坐标运算求出，再利用夹角公式求夹角.【详解】因，，，所以，解得；，因为，所以.故答案为：.13.函数的最大值___________．【答案】【解析】【分析】通过导函数分析函数单调性，计算极值并与区间端点处函数值比大小求解.【详解】解：由题，令，解得，则有：

+0-

极大值则，，，所以.故答案为：．14.若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是___________．【答案】【解析】【详解】函数，求导得，令，解得，，解得或，在和上单调递减，在上单调递增，在上存在最大值的条件为，解得．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（1）已知空间直角坐标系中，，若，求向量；（2）在平行六面体中，四边形是边长为1的正方形，，，求的长．【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）由向量共线的基本定理及向量模长的坐标运算求向量；（2）由，应用向量数量积的定义及运算律求的长.【详解】（1）由题可得，由得：且，则，解得，即或；（2）由题意得，，，，又，所以，所以．16.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求证：．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求得，得到且，结合导数的几何意义，即可求解；（2）根据题意，转化为，令，利用导数求得函数的单调性和最大值，结合，即可得证.【小问1详解】解：由函数，可得，所以，且，即切点坐标为，切线的斜率为，所以曲线在点处的切线方程为，即.【小问2详解】证明：由函数，可得函数的定义域为，由不等式，即，要证，即证，即证，令，可得，其中，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，当时，取值最大值，所以，即在恒成立，所以．17.为冷却生产出来的工件，某工厂需要建造一个无盖的长方体水池，要求该水池的底面是正方形，且水池最大储水量为．已知水池底面的造价为600元，侧面的造价为400元．（注：衔接处材料损耗忽略不计）（1）把水池的造价（单位：元）表示为水池底面边长（单位：m）的函数；（2）若（的常数），为使水池的总造价最低，应如何确定水池底面的边长？【答案】（1）水池的造价，其中（单位：元）（2）时，当水池底面的边长为时，水池的总造价最低.时，当水池底面的边长为时，水池的总造价最低.【解析】【分析】（1）根据已知确定底面积、侧面积，进而写出水池的造价，注意自变量的范围；（2）利用导数求函数的最值，并确定对应自变量即可.【小问1详解】由题意，得水池的底面积为，侧面积为（单位：），所以水池的造价，其中（单位：元）；【小问2详解】对函数求导，得，令，解得，由，解得，故在区间上单调递减，由，解得，故在区间上单调递增,所以，时，取得最小值元，时，取得最小值元，因此，时，当水池底面的边长为时，水池的总造价最低.时，当水池底面的边长为时，水池的总造价最低.18.如图，四棱锥中，底面，，点在线段上，．（1）求证：；（2）若，且，①求平面与平面所成锐二面角的大小；②在棱上是否存在点，使得与面所成的角为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）①；（2）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）通过平行线性质推导线线垂直，结合线面垂直的判定定理及其性质，证明异面直线垂直；（2）①通过建立空间直角坐标系确定各点坐标，利用向量法求平面的法向量，并通过法向量的夹角公式计算两平面所成锐二面角的大小；②：通过参数化表示动点坐标，利用向量共线条件建立方程，再结合线面角公式及三角函数值列式，通过判断解的合理性来确定满足条件的点是否存在.【小问1详解】证明：底面，底面平面平面平面平面；【小问2详解】①建立如图所示空间直角坐标系，由题则，设平面的法向量为，平面的法向量，则有，故取，取，则故，设平面与平面所成的锐二面角的平面角为，，即；②设，则，，则，解得，即，则，，化简得：，平方得，解得，又因故舍去，故不存在点，使得与面所成的角为．19.已知函数．（1）讨论函数的单调递增区间；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）当时，的单调增区间为，当时，的单调增区间为和；（2）【解析】【分析】（1）求出的导函数，对一元二次方程中判别式进行分析讨论，并分析导函数的正负求解；（2）先求出的导函数，再求出的导函数，并分析是增函数，用与0的大小关系进行分类讨论求解.【小问1详解】由题，，则，①当时，