变化率问题课件-高二上学期数学人教A版（2019）选择性

5.1导数的概念及其意义5.1.1变化率问题学习目标1.通过实例分析，经历由平均速度过渡到瞬时速度的过程.2.理解割线的斜率与切线的斜率之间的关系.3.体会极限思想早在十七世纪，欧洲资本主义发展初期，由于工场的手工业向机器生产过渡，提高了生产力，促进了科学技术的快速发展，其中突出的成就就是数学研究中取得了丰硕的成果——微积分的产生。而今天所要学习的导数就是计算微积分的基础工具。牛顿莱布尼茨导数是微积分的核心内容之一，是现代数学的基本概念，蕴含着微积分的基本思想；

导数定量地刻画了函数的局部变化，是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等性质的基本方法，因而也是解决诸如增长率、膨胀率、效率、密度、速度、加速度等实际问题的基本工具.在本章，我们将通过丰富的实际背景和具体实例，学习导数的概念和导数的基本运算，体会导数的内涵与思想，感悟极限的思想，通过具体实例感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用，体会导数的意义.平均速度问题探究思考2：平均速度可以准确描述运动员的运动状态吗？

问题一：跳水运动员的速度

在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系:

请计算对应时间段的平均速度：新知探究：思考追问1：(1)运动员在这段时间里是静止的吗?(2)平均速度能准确反映运动员的运动状态吗?要精确地描述非匀速直线运动,就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度．

为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬间速度的概念.我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.瞬时速度：物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.

当时，在时间段内当时，在时间段内=

=新知探究问题

运动员在t=1s时的瞬时速度是多少？Δt是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0.当Δt<0时,在时间段[1+Δt,1]内当Δt>0时,在时间段[1,1+Δt]内Δt=-0.01-4.951Δt=0.01-5.049Δt=-0.001-4.9951Δt=0.001-5.0049Δt=-0.0001-4.99951Δt=0.0001-5.00049Δt=-0.00001-4.999951Δt=0.00001-5.000049Δt=-0.000001-4.9999951Δt=0.000001-5.0000049∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙新知探究归纳总结

归纳总结1.求问题1中高台跳水运动员在t=0.5s时的瞬时速度.课本P61巩固练习2.火箭发射ts后，其高度(单位:m)为h(t)=0.9t2.求：(1)在1≤t≤2这段时间里，火箭爬高的平均速度；(2)发射后第10s时，火箭爬高的瞬时速度.课本P61巩固练习问题2

抛物线的切线的斜率与研究瞬时速度类似,为了研究抛物线f(x)=x2在点P0(1,1)处的切线,我们通常在点P0(1,1)的附近取一点P(x,x2)考察抛物线f(x)=x2的割线P0P

的变化情况.

我们发现,当点P无限趋近于点P0时，割线PP0无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线P0T称为抛物线f(x)=x2在点P0(1,1)处的切线.

探究！我们知道斜率是确定直线的一个要素，如何求抛物线f(x)=x2在点P0(1,1)处的切线P0T的斜率呢？

我们可以用割线P0P的斜率k近似地表示切线P0T的斜率k0，并且可以通过不断缩短横坐标间隔|∆x|来提高近似表示的精度，得到如下表格.

新知探究：抛物线的切线斜率切线位置割线位置无限逼近切线斜率割线斜率无限逼近取极限

记点P的横坐标x＝1＋Δx，则点P的坐标即为(1＋Δx，(1＋Δx)2).于是割线P0P的斜率Δx→0时，斜率kP0P→2.可以通过不断缩短横坐标间隔|∆x|来提高近似表示的精确度，得到如下表格：Δx<0Δx>0∆xk=∆x+2∆xk=∆x+2-0.011.990.012.01-0.0011.9990.0012.001-0.00011.99990.00012.0001-0.000011.999990.000012.00001-0.0000011.9999990.0000012.000001∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙

我们发现，当Δx无限趋近于0时,即无论x从小于1的一边,还是从大于1的一边无限趋近于1时,割线P0P的斜率k都无限趋近于2.概念形成事实上，由可以发现，当∆x在无限趋近于0时，

无限趋近于2，我们把2叫做“当△x无限趋近于0时，的极限”，记为xyO121234PP0T当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于点P0处的切线P0T，割线P0P的斜率k无限趋近于点P0处的切线P0T的斜率k0．因此，切线P0T的斜率k0＝2．抛物线的割线及切线的斜率1.割线的斜率2.切线的斜率

函数图象在点P0(x0,f(x0))处的斜率概念形成

T

试求抛物线f(x)＝x2在点P0(﹣1，1)处的切线P0T的斜率.巩固练习

解：

记点P的横坐标x＝﹣1＋Δx,则P(﹣1＋Δx,(﹣1＋Δx)2).于是割线P0P的斜率故抛物线在点P0(﹣1，1)处的切线斜率为﹣2.在点

P0(2,4)处的切线斜率呢？点(x0，x02)？巩固练习例1求抛物线f(x)=x2+2x在点P

(1,3)处切线的斜率.变式求抛物线f(x)=x2+2x在点P

(1,3)处的切线方程.你学到了什么？1.抛物线切线的斜率(2)割线的斜率：(3)切线的斜率：(1)切线的定义：(4)瞬时速度的几何意义.切线割线无限