周期变化课件-高一下学期北师大版

学习目标情境引入探求新知典例铺路随堂演练课堂小结当堂检测第一章三角函数互动设计第1课时周期现象学习目标能准确判断生活中和数学中的周期现象返回主页11.掌握周期变化的核心特征，能结合简单实例描述周期、最小正周期的意义；为后续学习三角函数的周期性奠定基础。22.通过情境观察、小组互动、实例分析，经历从具体到抽象、从现象到本质的探究过程，提升观察分析能力、抽象概括能力和归纳推理能力；学会用数学语言描述周期变化，体会数形结合、转化与化归的数学思想。情境引入同学们，我们的生活中存在着许多重复出现的现象，大家仔细观察以下场景：返回主页1.自然界太阳每天东升西落，昼夜交替循环；月亮的圆缺变化，每29.5天左右完成一次完整的圆缺周期；四季更替，每12个月完成一次春、夏、秋、冬的循环。2.日常生活钟表的指针（时针、分针、秒针）围绕表盘匀速转动，秒针每60秒转一圈，分针每60分钟转一圈，时针每12小时转一圈，重复循环；每周的星期数，从周一到周日，循环往复，每7天重复一次。3.科学现象单摆的摆动，在不受空气阻力的情况下，会围绕平衡位置来回摆动，每次摆动的轨迹、幅度和时间基本相同，重复出现；声波的传播、电磁波的振动，也存在规律的重复变化。【问题引导】同学们，这些现象有什么共同的特点？它们不是杂乱无章的，而是按照一定的规律重复出现的。像这样，按照一定规律重复出现的变化，在数学中我们称之为“周期变化”。今天，我们就一起来学习第一章三角函数的第一节——《周期变化》，揭开周期现象的数学本质，学会用数学语言描述和研究这些重复变化的规律。互动设计互动一：小组观察，提炼周期现象的共同特征返回主页互动二：辨析探究，明确周期变化的关键互动三：实例建模，尝试描述周期变化互动一：小组观察，提炼周期现象的共同特征1.分组：全班分成4-5组，每组5-6人，每组分配1-2个上述情境案例（或补充其他典型周期案例）。2.任务：每组合作观察分配的案例，讨论并完成两个问题：①该现象的变化是否存在“重复”？②若存在重复，重复出现的“间隔”是固定的吗？尝试用简洁的语言描述该现象的重复规律。3.展示与提炼：每组派1名代表发言，分享本组观察的案例及讨论结论，教师引导全班补充、修正，最终提炼出周期现象的核心共同特征存在固定的间隔，按照一定规律重复出现。互动二：辨析探究，明确周期变化的关键1.呈现两组对比案例：案例1：每年的节气变化（立春、雨水、惊蛰……大寒），每12个月重复一次；案例2：随机抛出硬币，正面、反面出现的顺序（无固定重复间隔）；案例3：正弦曲线的图像（后续将学习），沿x轴正方向每隔一定距离重复出现；案例4（非周期）：小明每天的零花钱（有时5元、有时10元，无固定重复规律）2.小组任务：每组辨析1-2组案例，讨论：“为什么该案例是（或不是）周期变化？”，重点分析“是否存在固定的重复间隔”“变化规律是否一致”两个关键点。3.互动点评：教师随机提问小组代表，分享辨析思路，引导全班明确：周期变化的关键是“固定间隔”和“规律重复”缺一不可，缺少任意一个，都不是周期变化。互动三：实例建模，尝试描述周期变化1.任务：全班同步，以“钟表分针的转动”为共同案例，小组合作尝试用数学语言（文字或简单符号）描述其周期变化：①分针转动的“重复间隔”（周期）是多少？②从任意时刻开始，经过一个周期后，分针的位置有什么特点？2.小组展示：每组派代表分享本组的描述方式，教师引导全班优化，逐步过渡到规范的数学描述，为后续学习周期的严格定义铺垫，同时引出“最小正周期”的初步概念（如分针转动的周期可以是60分钟、120分钟等，其中60分钟是最小的正周期）。探求新知（一）周期现象与周期变化的定义返回主页（二）核心概念解读（三）常见周期变化实例及周期（四）周期变化的核心特征总结（一）周期现象与周期变化的定义周期现象：在自然界、日常生活和科学技术中，许多现象都会按照一定的规律重复出现，这种按照固定规律重复出现的现象，叫做周期现象。周期变化：当变量y随变量x的变化而变化时，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)，那么就称变量y随变量x的变化为周期变化，简称周期函数（后续将严格定义），其中常数T叫做这个周期变化的一个周期。（二）核心概念解读周期T的要求：T必须是非零常数（不能为0，若T=0，x+T=x，无法体现“变化”与“重复”）；T的取值需满足“对定义域内的每一个x都成立”，不能只对部分x成立（如钟表分针转动，每60分钟对任意时刻的位置都重复，60分钟才是周期）；一个周期变化的周期有无数个（如分针转动，60分钟、120分钟、180分钟等都是周期），其中最小的正周期（通常记为T_0）是我们最常用、最核心的周期（如分针转动的最小正周期是60分钟）。最小正周期：对于一个周期变化，如果在所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数叫做该周期变化的最小正周期（若没有特别说明，后续提到的“周期”均指最小正周期）。非周期变化的判断：若不存在满足条件的非零常数T，使得f(x+T)=f(x)对定义域内所有x成立，则该变化不是周期变化（如随机现象、无规律波动的变化）。（三）常见周期变化实例及周期日常生活中的周期变化：

钟表：秒针转动，周期60秒（最小正周期）；分针转动，周期60分钟；时针转动，周期12小时；星期：每7天重复一次，最小正周期7天；昼夜交替：每24小时重复一次，最小正周期24小时。自然界中的周期变化：

四季更替：每12个月重复一次，最小正周期12个月；月亮圆缺：每29.5天左右重复一次，最小正周期约29.5天；科学领域单摆摆动：在理想状态下，每完成一次全振动的时间固定，最小正周期为摆动周期（与摆长相关）。数学中的周期变化（铺垫后续三角函数）：

正弦函数y=sinx、余弦函数y=cosx，最小正周期均为2π；（四）周期变化的核心特征总结1.重复性：变化过程按照固定规律重复出现，不会出现无规律的波动；2.周期性：存在固定的非零常数T（周期），使得经过T后，变化状态与初始状态完全一致；3.普遍性：周期变化广泛存在于自然界、日常生活和科学技术中，是三角函数的核心背景。典例铺路例题1：判断下列变化是否为周期变化例题2：结合周期变化的定义，描述钟表时针转动的周期变化例题3：周期变化的简单应用（提升题，衔接后续三角函数）例题1：判断下列变化是否为周期变化，若是，指出其最小正周期（基础题）（1）每年的春节（农历正月初一）；（2）小明每天的起床时间（固定为早上6:30）；（3）随机掷骰子，朝上的点数；（4）声波的振动（规律振动，无衰减）。

例题2：结合周期变化的定义，描述钟表时针转动的周期变化（中档题）已知钟表时针围绕表盘匀速转动，时针的位置随时间t（单位：小时）的变化而变化，记时针的位置为f(t)。（1）判断时针的转动是否为周期变化；（2）若为周期变化，指出它的一个周期和最小正周期；（3）用数学语言描述其周期变化的特征（结合f(t+T)=f(t)）。解析：结合周期变化的定义，紧扣“固定间隔”和“规律重复”两个核心。（1）是周期变化；时针围绕表盘转动，每经过固定时间，位置会重复出现，符合周期变化的特征；（2）一个周期可以是12小时、24小时、36小时等；最小正周期为12小时（时针转动12小时，回到初始位置，且12小时是最小的正数周期）；（3）设最小正周期T=12小时，对于任意时刻t（单位：小时），都有f(t+12)=f(t)，即经过12小时后，时针的位置与t时刻的位置完全相同，且该关系对所有时刻t都成立。答案：（1）是周期变化；（2）一个周期为12小时（答案不唯一），最小正周期为12小时；（3）存在最小正周期T=12，对任意时刻t，均有f(t+12)=f(t)，时针位置重复出现。例题3：周期变化的简单应用（提升题，衔接后续三角函数）已知某周期变化的最小正周期为6，且当x=1时，y=5，根据周期变化的特征，求x=1+6k（k为正整数）时，y的值，并说明理由。解析：根据周期变化的定义，若T是周期，则对于定义域内所有x，都有f(x+T)=f(x)，推广可得f(x+kT)=f(x)（k为整数）。因为该周期变化的最小正周期为6，所以6是它的一个周期，对于任意整数k，6k也都是它的周期；因此，当x=1+6k时，f(1+6k)=f(1)；又因为当x=1时，y=5，即f(1)=5，所以f(1+6k)=5。答案：y=5；理由：6是该变化的周期，对于任意正整数k，6k也是周期，根据周期变化的定义，f(1+6k)=f(1)=5。随堂演练返回主页

随堂练1.（基础）判断下列现象是否为周期变化，若是，指出其最小正周期：

（1）地球绕太阳公转；

（2）校园里的铃声（每天固定时间响起，但无“重复间隔”的变量关系）；

（3）正余弦曲线的图像变化（后续学习）；

（4）人的脉搏跳动（规律跳动时）。

随堂练2.（基础）下列说法正确的是（）

A.周期变化的周期只有一个

B.最小正周期是所有周期中最小的数

C.若存在非零常数T，使得f(x+T)=f(x)对部分x成立，则该变化是周期变化

D.周期变化一定是规律变化

随堂练3.（中档）已知某周期变化的最小正周期为4，且f(2)=3，求f(2+4k)（k为整数）的值，并说明理由。

随堂练4.（提升）结合生活实例，举例说明一个周期变化，要求：①明确描述该现象；②指出其最小正周期；③用数学语言（文字或符号）描述其周期特征。训练答案（1）是周期变化，最小正周期为1年；（1分）

（2）不是周期变化，虽固定时间响起，但无“x+T”的变量重复关系，不满足周期变化的定义；（1分）

（3）是周期变化，最小正周期为2π；（1分）

（4）是周期变化，规律跳动时，每跳动一次的时间固定，最小正周期为脉搏跳动周期（如每分钟70次，周期为60/70≈0.86秒）。（1分）2.D（2分）；解析：A选项周期有无数个；B选项最小正周期是最小的正数，不是最小的数（负数也可以是周期，如-6也是6为周期的变化的周期）；C选项需对定义域内所有x成立，不是部分x；D选项正确，周期变化一定是规律变化。3.f(2+4k)=3（2分）；理由：因为该变化的最小正周期为4，所以4是它的一个周期，对于任意整数k，4k也是它的周期（1分）；根据周期变化的定义，f(x+4k)=f(x)，因此f(2+4k)=f(2)=3（1分）。4.示例：（4分）

①现象：潮汐的涨落（规律涨落，无特殊天气影响）；（1分）②最小正周期：约12小时25分钟（两次涨潮或两次落潮的间隔）；（1分）

③周期特征：设潮汐的水位为f(t)（t为时间，单位：小时），最小正周期T≈12.42小时，对任意时刻t，均有f(t+12.42)=f(t)，即经过约12.42小时后，潮汐水位与t时刻的水位完全相同，规律重复。（2分）随堂检测返回主页

随堂测1.（2分）下列变化中，属于周期变化的是（）

A.流星划过夜空的轨迹B.每年的端午节（农历五月初五）

C.股票的涨跌幅度D.小朋友随机跳绳的次数

随堂测2.（2分）关于周期变化的周期T，下列说法错误的是（）

A.T可以是正数B.T可以是负数C.T=0也是一个周期D.一个周期变化有无数个周期

随堂测3.（3分）已知钟表分针的转动是周期变化，其最小正周期为60分钟，若t=10分钟时，分针指向数字2，求t=10+60k（k为正整数）时，分针指向的数字，并说明理由。B（2分）；解析：A、C、D均无固定重复间隔和规律，B选项端午节每年农历五月初五，每12个月重复一次，是周期变化。C（2分）；解析：周期T必须是非零常数，T=0时，x+T=x，无法体现变化的重复，不是周期。（3分）指向数字2（1分）；理由：分针转动的最小正周期为60分钟，60分钟是它的一个周期，对于任意正整数k，60k也是周期（1分）；根据周期变化的定义，f(10+60k)=f(10)，t=10分钟时分针指向2，因此t=10+60k时，分针仍指向2（1分）。课堂小