周期变化课件-高一下学期数学北师大版

作课人：廉文杰数学之王——欧拉北师大版（2019）高中数学必修第二册作课人：廉文杰焦作市外国语中学第一章

三角函数第1节

周期变化

第1课时（共1课时）学

习

目

标目

标重

点难

点1、了解现实生活中的周期现象，能判断简单的实际问题中的周期.2、初步了解周期函数的概念，能判断简单的函数的周期性.1、初步了解周期函数的概念，能判断简单的函数的周期性.1、初步了解周期函数的概念，能判断简单的函数的周期性.新

知

引

入数学王子——高斯赋得古原草送别离离原上草，一岁一枯荣。野火烧不尽，春风吹又生。草原上的草每年都会经历枯萎和繁荣的周期变化，即使遭受野火的焚烧，到了春天又会重新生长，体现了季节循环下生物生长的周期性。新

知

引

入韦

达单摆做简谐运动。简谐运动是一种特殊类型的周期性运动。新

知

引

入布

丰

如图是水车的示意图，水车上点P到水面的距离为y，假设水车匀速，则每经过时间t,点P又回到原来的位置，那么y每经过时间t就会取相同的值，因此y随时间t的变化是周期变化.周期变化是指事物在运动、变化的发展过程中，某些特征多次重复出现。典

例

引

路集合论之父——康托例1、下列变化中，不是周期现象的是(

)A．春去春又回B．钟表的分针的运行C．天干地支表示年、月、日的时间顺序D．某同学每天上学的时间D同

步

练

习无冕的数学之王——希尔伯特A练1、下列现象是周期现象的是（

）①日出日落；②潮汐；③海啸；④地震A．①②B．①②③C．①②④D．③④学

习

新

知欧几里得（约公元前300年）《几何原本》问题1：画出函数y=(-1)[x]的图像，并讨论其性质。

0123-1-1-2-31f(-3)=_______=________=_________对任意一个实数x，每增加______的整数倍，其函数值保持________。这种变化是重复的，函数f(x)=(-1)[x]的变化是周期性的。

2不变f(-1)f(1)f(3)学

习

新

知阿基米德（公元前287年—公元前212年）《阿基米德全集》问题2：画出函数y=x-[x]的图像，并讨论其性质。

0123-1-2-31f(-2)=______=______=______=_____对任意一个实数x，每增加______的整数倍，其函数值保持________。这种变化是重复的，函数f(x)=x-[x]的变化是周期性的。1不变f(-1)f(0)f(1)f(2)学

习

新

知阿波罗尼奥斯（约公元前200年）

《圆锥曲线论》

一般地，对于函数y=f(x)，如果存在一个非零常数T，使得对任意的x∈D，都有x+T∈D,且满足f(x+T)=f(x),那么函数y=f(x)称作周期函数.

非零常数T称作这个函数的周期.周期函数注意：1、

2、周期函数的定义域是无限集。周期函数定义中的“f(x+T)=f(x)”是对定义域中的每一个x值来说的,只有个别的x值满足f(x+T)=f(x),不能说T是y=f(x)的周期.学

习

新

知拉格朗日

一般地，对于函数y=f(x)，如果存在一个非零常数T，使得对任意的x∈D，都有x+T∈D,且满足f(x+T)=f(x),那么函数y=f(x)称作周期函数.

非零常数T称作这个函数的周期.周期函数注意：3、4、5、6、周期函数的周期不止一个.T是周期，则nT(n∈Z且n≠0)也是周期。如果在周期函数y=f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就称作函数y=f(x)的最小正周期.若不加特别说明，本书所指周期均为函数的最小正周期.常值函数是周期函数，任意非零实数都是它的周期，且无最小正周期。周期不能为零。典

例

引

路柯

西例2、(1)讨论函数y=7+(-1)n,n∈N是否为周期函数，如果是,请指出它的周期.

解：当n∈N时,该函数的取值为8,6,8,6,8,⋯

可见它是周期函数，且周期T=2.（2）已知函数f(x)满足f(x)f(x+2)＝13，求证：f(x)是周期函数．

同

步

练

习解析几何之父——笛卡尔

典

例

引

路皮

亚

诺例3、（1）若存在非零常数a，使函数f(x)在定义域上满足：f(x+a)＝－f(x)，则f(x)是周期函数吗？若是，其周期是什么？解：∵f(x+2a)=-f(x+a)=-[-f(x)]=f(x)∴f(x)是以2a为一个周期的周期函数。

A同

步

练

习庞加莱

典

例

引

路华罗庚例4、若函数f(x)关于x=a,x=b都对称,且a<b,则f(x)是周期函数,且T=2(b-a)证明：∵函数f(x)关于x=a,x=b都对称∴f(x)=f(2a-x),f(x)=f(2b-x)∴f(2a-x)=f(2b-x)

用2a-x代替上式中的x，则f[2a-(2a-x)]=f[2b-(2a-x)]

化简得f(x)=f[(2b-2a)+x]∴f(x)是周期函数，且T=2(b-a)同

步

练

习陈景润

典

例

引

路傅里叶例5、若函数f(x)关于(a,0),(b,0)都对称,且a<b,则f(x)是周期函数,且T=2(b-a)证明：∵函数f(x)关于(a,0),(b,0)都对称∴f(x)=-f(2a-x),f(x)=-f(2b-x)∴-f(2a-x)=-f(2b-x)∴f(2a-x)=f(2b-x)

用2a-x代替上式中的x，则f[2a-(2a-x)]=f[2b-(2a-x)]

化简得f(x)=f[(2b-2a)+x]∴f(x)是周期函数，且T=2(b-a)同

步

练

习洛必达练5、设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2+x)＝－f(1-x).(1)证明y＝f(x)是周期函数，并指出其周期；(2)若f(1)＝2，求f(2)＋f(3)的值．

典

例

引

路贝叶斯例6、若函数f(x)关于(a,0),x=b都对称,且a<b,则f(x)是周期函数,且T=4(b-a)证明：∵函数f(x)关于(a,0)，x=b都对称∴f(x)=-f(2a-x),f(x)=f(2b-x)∴-f(2a-x)=f(2b-x)

用2a-x代替上式中的x，则-f[2a-(2a-x)]=f[2b-(2a-x)]

化简得f(x)=-f[(2b-2a)+x]①

用(2b-2a)+x代替①式中的x，则

f[(2b-2a)+x]=-f[(2b-2a)+(2b-2a)+x]=-f[(4b-4a)+x]②

②代入①得：f(x)=f[(4b-4a)+x]∴f(x)是周期函数，且T=4(b-a)同

步

练

习佩雷尔曼

B典

例

引

路牛

顿

C同

步

练

习黎

曼练7、已知函数f(x)是定义在R上的周期函数，周期T＝2，且当x∈[－1,1]时，f(x)＝x2，求函数f(x)的解析式．解：当x∈[2k－1,2k＋1](k∈Z)时，x－2k∈[－1,1]，又∵函数y＝f(x)的周期T＝2，∴f(x)＝f(x－2k)＝(x－2k)2，故函数f(x)的解析式为f(x)＝(x－2k)2,(x∈[2k－1,2k＋1](k∈Z))．典

例

引

路狄利克雷例8、已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对于任意的x∈R都有f(x+4)＝f(x)＋f(2)，f(1)＝4，求f(3)＋f(10)的值．解：由题意可知f（x+4）＝f(x)＋f（2），令x＝－2，可求得f(-2)＝0，又函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(2)＝0，即f(x+4)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，又f(1)＝4，所以f(3)＋f(10)＝f(-1)＋f(2)＝f(1)＋0＝4.同

步

练

习莱布尼兹例8、设定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且当x∈[0,2)时,f(x)=2x-x2,则f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2018)=________