提分微课(02)含字母的二次函数的性质分析

含字母的二次函数的性质分析提分微课(二)典/例/精/析

根据解析式画出二次函数图象,并结合图象从开口方向、对称轴、顶点坐标、是否过定点、m变化对函数图象的影响几个方面分析图象特征.(1)y=x2-2x+m;

例1图W2-1解:(1)y=x2-2x+m=(x-1)2+m-1,其图象如图①所示.①开口向上(开口方向不变、开口大小不变);②对称轴为直线x=1(对称轴不变);③顶点坐标为(1,m-1)(上下移动);④图象不过定点;⑤随着m的变化,函数图象上下平移.(2)y=x2-2mx+1;图W2-1(2)y=x2-2mx+1=(x-m)2+1-m2,其图象如图②所示.①开口向上(开口方向不变、开口大小不变);②对称轴为直线x=m(左右平移);③顶点坐标为(m,1-m2);④过定点(0,1);⑤随着m的变化,函数图象上下左右平移.(3)y=mx2-2x+1;

图W2-1

(4)y=mx2-2mx-3.图W2-1

(0,4)

写出以下二次函数图象经过的定点坐标,其中m为常数.(1)若y=x2-2mx+4,则该函数的图象经过定点

;

(2)若y=x2+mx-2m,则该函数的图象经过定点

;

(3)若y=mx2-2(m+1)x+4(m≠0),则该函数的图象经过定点

.

例2(2,4)(0,4),(2,0)变式1已知二次函数y=-x2+(m-1)x+m(m为常数且m≥1),该函数图象恒过定点A,则点A的坐标为

.

变式2若关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的一个根是x=-2,则抛物线y=x2+mx+n-5一定过一个定点,该定点的坐标是

.

[解析]∵y=-x2+(m-1)x+m=-(x+1)(x-m),∴定点A的坐标为(-1,0).(-1,0)[解析]∵关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的一个根是x=-2,∴抛物线y=x2+mx+n与x轴的一个交点坐标为(-2,0).∵抛物线y=x2+mx+n向下平移5个单位得到抛物线y=x2+mx+n-5,∴抛物线y=x2+mx+n-5一定过定点(-2,-5).(-2,-5)[通性通法]1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的系数变化与图象变化:系数变化图象变化a,b定,c变a,c定,b变b,c定,a变2.求解含参二次函数y=ax2+bx+c问题时,首先要分析解析式,确定不变量,重点关注三个方面:(1)a的符号(开口方向和开口大小);(2)对称轴(a,b成比例,则对称轴确定);(3)图象是否过定点.3.求含字母系数m的二次函数图象定点坐标的方法:(1)使m失去影响力:将含参数m的项合并,并提取公因式m,令另一个含x的因式值为0,此时x的值就是函数图象定点的横坐标;(2)特殊值法:既然无论参数m取何值,抛物线都经过一个定点,不妨给参数m取两个不同的值,得到两条不同的抛物线,两条抛物线的交点就是这个定点;1.下列关于抛物线y=-mx2+4mx+m的描述,正确的是 (

)A.开口向上 B.与x轴没有交点C.对称轴为直线x=-2 D.一定经过第三、四象限巩/固/训/练

D2.二次函数y=-x2+bx+c,若b+c=0,则该函数的图象一定过点 (

)A.(-1,1) B.(1,-1)C.(-1,-1) D.(1,1)[解析]∵b+c=0,∴c=-b,∴y=-x2+bx+c=-x2+bx-b==-x2+b(x-1),∴当x=1时,y=-1.故该函数的图象一定过点(1,-1).B3.在平面直角坐标系中,无论m取何值,抛物线y=x2+(m+3)x+m+5恒过定点P.若定点P关于原点中心对称的点Q也在抛物线上,则抛物线的顶点位于 (

)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限D4.若抛物线y=ax2+(a2-a)x-a2与一次函数y=ax+b的图象都经过同一定点,则代数式a2+ab-3的值是 (

)A.0 B.3 C.-3 D.±3[解析]∵y=ax2+(a2-a)x-a2=a[x2+(a-1)x-a]=a(x+a)(x-1),∴抛物线必经过定点(1,0),∴一次函数y=ax+b的图象也经过点(1,0),∴a+b=0,∴a2+ab-3=a(a+b)-3=-3.故选C.C5.已知抛物线y=mx2+(1-3m)x+1-4m一定经过一定点P,则点P的坐标是

.[解析]y=mx2+(1-3m)x+1-4m=mx2+x-3mx+1-4m=(x2-3x-4)m+x+1.∵无论m取何值,该抛物线总经过一定点,∴x2-3x-4=0,∴x1=-1,x2=4.当x=-1时,y=0;当x=4时,y=5,∴点P的坐标为(-1,0)或(4,5).(-1,0)或(4,5)6.在平面直角坐标系中,设二次函数y=ax2-bx-a+b(a,b为常数,且a≠0),则该函数图象一定经过定点

.

[解析]∵y=ax2-bx-a+b=(ax2-a)-(bx-b)=a(x-1)(x+1)-b(x-1)=(x-1)(ax+a-b),∴当x=1时,y=0,即该函数图象一定经过定点(1,0).(1,0)7.已知二次函数y=ax2+2ax-1.(1)随着a的取值变化,该函数图象除经过定点(0,-1),经过的另一个定点的坐标为

;

[解析]∵y=ax2+2ax-1=a(x2+2x)-1=ax(x+2)-1,∴当x=0或x=-2时,y=-1,∴无论a取何值,二次函数的图象过点(0,-1),(-2,-1).(-2,-1)(2)该二次函数图象与x轴有交点,过该二次函数图象的顶点与定点(0,-1)作直线,该直线与x轴交于点P(m,0),且|m|≥1,则a的取值范围为

.

0<a≤1或a=-18.画出下列函数的大致图象,并指出其图象的特征.(1)y=mx2-2x+1;图W2-2

①(2)y=mx2-2mx-3m.图W2-3

9.(2025宁波一模)甲、乙、丙三个同学研究了二次函数y=ax2-2ax+a-1(a≠0)的图象和性质,并交流了自己的学习成果.(1)甲同学的说法:当x=0和x=2时,函数值相等.你认为甲同学的说法正确吗?请说明理由;(2)乙同学的发现:a取某个值时,该函数图象上到x轴的距离为1的点有3个,且以这三个点为顶点的三角形的面积为3.根据乙同学的发现,求出此时a的值;(3)丙同学的探索:若a>0,当0<x<3时,y的取值范围中恰有4个不同的整数值.根据丙同学的结论,求出a的取值范围.(1)甲同学的说法:当x=0和x=2时,函数值相等.你认为甲同学的说法正确吗?请说明理由;解:(1)正确.理由如下:∵y=ax2-2ax+a-1=a(x-1)2-1,∴该函数图象的对称轴为直线x=1,∴当x=0和x