导数的概念及其几何意义课件-高二上学期数学人教A版选择性

5.1.2导数的概念及其几何意义物体运动的平均速度物体运动的瞬时速度无限逼近取极限(1)平均速度：(2)瞬时速度：1.瞬时速度的本质是平均速度的极限.2.求物体在时刻t0的瞬时速度一般步骤：复习引入“当Δt无限趋近于0时，平均速度的极限为瞬时速度”在获得知识的过程中用到了特殊到一般、极限思想极限符号平均速度瞬时速度物理角度数学角度平均变化率瞬时变化率都采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的极限思想方法.求极限逼近问题探究

类比思想

极限可导概念生成导数的概念

导数是平均变化率的极限，是瞬时变化率的数学表达.小试牛刀

利用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤：问题探究函数的平均变化率表示割线P0P

的斜率平均变化率的几何意义对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋∆x，函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋∆x).则函数y＝f(x)从从x0到x0＋∆x的平均变化率.POy=f(x)f(x0)f(x0+∆x)x0x0+∆xP0割线

平均变化率的几何意义是什么？

问题探究

导数的几何意义对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋∆x，函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋∆x).则函数y＝f(x)从从x0到x0＋∆x的平均变化率.POy=f(x)f(x0)f(x0+∆x)x0x0+∆xP0

导数(平均变化率的极限值)的几何意义是什么？

T切线当点P无限靠近点P0，即∆x无限趋近于0时，割线P0P无限趋近于切线P0T。问题探究从几何图形上看，当横坐标间隔|Δx|无限变小时，当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于点P0处的切线P0T

.

割线P0P的斜率k无限趋近于点P0处的切线的斜率k0.平均变化率、导数的几何意义POy=f(x)f(x0)f(x0+∆x)x0x0+∆xP0T1.割线的斜率2.切线的斜率

函数图象在点P0(x0,f(x0))处的斜率

例题讲解

问题探究导函数

导数的几何意义：导数表示函数表示的曲线上任意一点的切线的斜率。

例题讲解

问题探究例5图中是高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数

h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11的图象.根据图象，请描述、比较曲线

h(t)在t＝t0，t1，t2附近的变化情况.分析：在

t＝t0，t1，t2处的切线在

t＝t0，t1，t2附近的曲线近似代替斜率刻画利用导数的几何意义判断函数的变化

导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导数大小的问题可以用数形结合思想来解决.问题探究例5图中是高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数

h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11的图象.根据图象，请描述、比较曲线

h(t)在t＝t0，t1，t2附近的变化情况.(1)当

t＝t0时，曲线

h(t)在

t＝t0处的切线

l0平行于

t轴，

，这时，在

t＝t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降.解：用曲线

h(t)在

t＝t0，t1，t2处的切线斜率，刻画曲线

h(t)在上述三个时刻附近的变化情况.(2)当

t＝t1时，曲线

h(t)在

t＝t1处的切线l1的斜率，这时，在

t＝t1附近曲线下降，即函数

h(t)在t＝t1附近单调递减.(3)当

t＝t2

时，曲线

h(t)在

t＝t2

处的切线l2的斜率，这时，在

t＝t2附近曲线下降，即函数

h(t)在t＝t2附近单调递减.l2l1利用导数的几何意义判断函数的变化问题探究例5图中是高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数

h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11的图象.根据图象，请描述、比较曲线

h(t)在t＝t0，t1，t2附近的变化情况.曲线

h(t)在

t＝t1和

t＝t2附近都是下降的，两个时刻的下降趋势是否有区别呢？追问直线

l1的倾斜程度小于直线

l2的倾斜程度曲线

h(t)在

t＝t1附近比在

t＝t2附近下降得缓慢.解：l2l1小结：导数可以反映函数在一点处变化的快慢程度.斜率的正负：增减趋势；斜率的大小：增减快慢。利用导数的几何意义判断函数的变化1.根据图象，描述曲线h(t)在t=t3,t4附近增(减)以及增(减)快慢的情况.t4ht3O••t•l3l4解:(1)当t=t3时,曲线h(t)在t=t3处的切线l3的斜率h′(3)>0.这时,曲线在t=t3附近上升,即函数h(t)在t=t1附近单调递增.课本P69(2)当t=t4时,曲线h(t)在t=t4处的切线l4的斜率h′(t2)>0.这时,在t=t2附近曲线上升,即函数h(t)在t=t2附近也单调递增.从图中可以看出,直线l3的倾斜程度大于直线l4的倾斜程度,这说明曲线h(t)在t=t3附近比在t=t4附近递增快.xy12O•••32.函数f(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是().

(A)f'(1)>f'(2)>f'(3)>0

(B)

f'(1)<f'(2)<f'(3)<0

(C)0<f'(1)<f'(2)<f'(3)(D)

f'(1)>f'(2)>0>f'(3)A课本P70问题探究利用导数的几何意义判断函数的变化

导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导数大小的问题可以用数形结合思想来解决.

√1.物体运动的平均速度及瞬时速度2.抛物线的割线及切线的斜率无限逼近无限逼近小结：切线的斜率是割线的斜率的极限值；切线斜率的本质是瞬时变化率。利用导数的几何意义判断函数的变化.课堂小结3.导函数

1.你认为应该怎样定义抛物线f(x)=x2在点(x0,x02)处的切线?试求抛物线f(x)=x2在点(－1,1)处切线的斜率.课本P642.求抛物线f(x)=x2+1在点(0,1)处的切线方程.课本P641.在例2中，计算第3h与第5h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.解：在第3

h附近，原油温度大约以1

℃/h的速率下降；在第5

h附近，原油温度大约以3

℃/h的速率上升.课本P66解：课本P663.一质点A沿直线运动，位移y(单位:m)与时间t(单位:s)之间的关系为y(t)=2t2+1，求质点A在t=2.7s时的瞬时速度.课本P664.设函数f(x)=x2-1.求:

(1)当自变量x由1变到1.1时，函数的平均变化率；

(2)函数在x=1处的导数.课本P66课本P70分析：切点是切线上一点，只需要再求出切线的斜率.切线的斜率等于相应函数在切点处的导数.解决切线问题的关键是利用导数的几何意义求出切线的斜率.新课程标准解读核心素养1.经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，体会导数的概念的实际背景．2.了解导函数的概念，理解导数的几何意义．3．根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．4．正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求其方程．1．通过导数概念和导数几何意义的学习，培养学生数学抽象及直观想象的核心素养．2．借助切线方程的求解，提升学生的数学运算核心素养.知识层面导数的概念；根据定义求给定函数在某点处导数的步骤；应用导数的意义对实际问题进行了分析和解释；导数的几何意义：

f′(x0)的几何意义就是曲线

y＝f(x)在

x＝x0处切线的斜率.

思想方法层面运动变化的观点；极限思想.数形结合；以直代曲.小结反思问题探究图中哪条直线最贴近点P0附近的曲线？思考在点

P0附近，曲线y＝

f(x)可以用点

P0处的切线

P0T近似代替，这是微积分中重要的思想方法——以直代曲.

问题探究

例5下图中是人体血管中药物浓度c=f(t)(单位:mg/mL)随时间t(单位:min)变化的函数图象.根据图象，估计t=0.2,0.4,0.6,0.8min时，血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1).追问血管中药物浓度的瞬时变化率与函数的图象有什么关系？

血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度

f(t)在此时刻的导数，从图象上看，它表示曲线

f(t)在此点处的切线的斜率.答案以

t＝0.8时刻为例，作出

t＝0.8处的切线.在切线上取两点，如

(0.7，0