数列求和(错位相减裂项相消)课件-高三数学二轮复习

专题二

数

列第3讲数列求和(一)1.(2024·全国甲卷，文T17)记Sn为等比数列{an}的前n项和，已知2Sn=3an+1-3.(1)求{an}的通项公式；探究真题明确方向

解(2)求数列{Sn}的前n项和.

解

解

解

解

解

证明命题热度：本讲是历年高考命题必考的内容，中高档题目都可考查，主要以解答题形式出现.分值约为8~17分.考查方向：主要考查一是利用分组求和法求和，包括并项求和法求和，二是考查裂项相消法求和.考点二裂项相消法考点一分组(并项)求和法内容索引专题突破练考点一分组(并项)求和法

已知数列{an}的前n项和为Sn，an-1+an+1=2an(n≥2，n∈N*)，且a1=1，S5=15.(1)求数列{an}的通项公式；例1考向1分组求和法

解

解

已知公差不为零的等差数列{an}的首项为1，且a1，a2，a5是一个等比数列的前三项，记数列{an}的前n项和为Sn.(1)求数列{an}的通项公式；例2考向2并项求和法

解(2)设bn=(-1)nSn，求数列{bn}的前100项和T100.

解

规律方法

规律方法跟踪演练1

已知数列{an-1}为等比数列，且a1=2，a6=33.(1)求数列{an}的通项公式；

解

解返回考点二裂项相消法

(2025·广州模拟)设Sn为数列{an}的前n项和，且an是Sn和8的等差中项.(1)求数列{an}的通项公式；例3

解

证明裂项是通分的逆变形，裂项时需要注意两点：一是要注意裂项时对系数的调整；二是裂项后，要注意从哪里开始相互抵消，前面留下哪些项，后面对应留下哪些项，应做好处理.规律方法跟踪演练2

(2025·安康模拟)数列{an}满足a2=5，an+1=2an-1.(1)证明：数列{an-1}是等比数列；

证明

证明返回专题突破练答案12341.

答案12341.

答案12342.

答案12342.

答案12343.

答案12343.

答案12344.

答案12344.

答案12344.

1.(2025·长沙模拟)已知公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10=110，且a1，a2，a4成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式；1234答案1234答案

解

1234答案

解1234

答案1234答案

解1234(2)求S20.答案

解3.(2025·佛山模拟)已知数列{an}，{bn}满足a1=1，且-an，an+1是关于x的方程x2-2x-bn=0的两个根.(1)求an；1234答案因为-an，an+1是关于x的方程x2-2x-bn=0的两个根，所以-an+an+1=2，所以数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，因此an=1+(n-1)×2=2n-1.解

1234答案1234答案

解1234

答案1234答案

解1234

答案1234答案

证明1234答案

证明返回专题二

数

列第4讲数列求和(二)1.(2024·全国甲卷，理T18)记Sn为数列{an}的前n项和，已知4Sn=3an+4.(1)求{an}的通项公式；探究真题明确方向

解(2)设bn=(-1)n-1nan，求数列{bn}的前n项和Tn.

解

证明(2)给定正整数m，设函数f(x)=a1x+a2x2+…+amxm，求f'(-2).

解

解(2)求数列{an}的通项公式；

解

证明命题热度：本讲是历年高考命题必考的内容，中高档题目都可考查，主要以解答题形式出现.分值约为8~17分.考查方向：主要考查一是利用错位相减法求和，二是数列和不等式，涉及不等式恒成立、能成立，不等式放缩等问题.考点二数列和不等式考点一错位相减法求和内容索引专题突破练考点一错位相减法求和错位相减法求和，主要用于求{anbn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别为等差数列和等比数列.

例1

解(2)证明：Tn<5.

证明

规律方法跟踪演练1

(2025·合肥模拟)已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且a1=b1=3，a2+a4=2b2，a1a3=b3.(1)求{an}和{bn}的通项公式；

解

解返回考点二数列和不等式

(2025·洛阳模拟)已知正项等比数列{an}满足a1+a2=3，a3+a4=12.(1)求数列{an}的通项公式；例2

解

证明数列与不等式相结合常见题型一是不等式放缩，根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，二是不等式恒成立、能成立问题，这类问题一般转化为求数列的最值问题.规律方法跟踪演练2

已知等差数列{an}满足a3=5，a4+a6=18.(1)求{an}的通项公式；

解(2)记数列{an}的前n项和为Sn，若对一切n∈N*，Sn-2n≥λn-9恒成立，求实数λ的取值范围.返回

解返回专题突破练答案12341.(1)由题意得，an+1=Sn+1，当n≥2时，an=Sn-1+1，两式相减得an+1-an=an，即an+1=2an，又a2=S1+1=a1+1=2=2a1，所以当n≥1时，an+1=2an，所以{an}是等比数列，且首项a1=1，公比q=2，故an=2n-1.答案12341.(2)由(1)得，bn=nan=n·2n-1，所以Tn=1×20+2×21+3×22+…+n·2n-1，

①由①×2得，2Tn=1×21+2×22+3×23+…+(n-1)·2n-1+n·2n，

②由①-②得，-Tn=1+21+22+23+…+2n-1-n·2n=2n-1-n·2n=-(n-1)·2n-1，所以Tn=(n-1)·2n+1.答案12342.

答案12342.

答案12343.

答案12343.

答案12344.

答案12344.

1.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an+1=Sn+1.(1)求数列{an}的通项公式；1234答案1234答案由题意得，an+1=Sn+1，当n≥2时，an=Sn-1+1，两式相减得an+1-an=an，即an+1=2an，又a2=S1+1=a1+1=2=2a1，所以当n≥1时，an+1=2an，所以{an}是等比数列，且首项a1=1，公比q=2，故an=2n-1.解(2)令bn=nan，求数列{bn}的前n项和Tn.1234答案由(1)得，bn=nan=n·2n-1，所以Tn=1×20+2×21+3×22+…+n·2n-1，

①由①×2得，2Tn=1×21+2×22+3×23+…+(n-1)·2n-1+n·2n，

②由①-②得，-Tn=1+21+22+23+…+2n-1-n·2n=2n-1-n·2n=-(n-1)·2n-1，所以Tn=(n-1)·2n+1.解12342.(2025·长沙模拟)已知数列{an}是首项为2的等比数列，各项均为正数，且a2+a3=12.(1)求数列{an}的通项公式；答案1234答案设等比数列{an}的公比为q，由a2+a3=12，a1=2，得q+q2=6，解得q=-3或q=2，又数列{an}的各项均为正数，即q>0，所以q=2，故an=2n.解1234

答案1234答案

解1234答案

解3.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-1(n≥1).(1)求数列{an}的通项公式；1234答案Sn=2an-1，当n=1时，a1=2a1-1，得a1=1；当n≥2时，Sn-1=2an-1-1，两式相减得an=2an-2an-1，则an=2an-1.所以{an}是以1为首项，