期中评估测试卷（含答案） 2024-2025学年数学北师大版九年级下册

期中评估测试卷(满分:120分时间:120分钟)一、选择题(本题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.如图,在4×4的正方形网格中,tanα的值为 ()A.12 B.2 C.255 2.已知y=(m+1)xm2+1+2x-3是二次函数,则m的值为 A.0 B.1 C.-1 D.1或-13.在平面直角坐标系xOy中,抛物线的顶点是(1,3),当x>1时,y随x的增大而增大,则抛物线表达式可以是 ()A.y=-2(x+1)2+3 B.y=2(x+1)2+3C.y=-2(x-1)2+3 D.y=2(x-1)2+34.抛物线y=-(x+3)(x-2)与x轴的两交点之间的距离是 ()A.1 B.3 C.5 D.65.在Rt△ABC中,∠C=90°,若sinA=513,则cosA的值为 (A.1213 B.512 C.125 6.如图1是莲花山景区一座抛物线形拱桥,按图2所示建立平面直角坐标系,得到抛物线表达式为y=-136x2,正常水位时水面宽AB为36m,当水位上升5m时水面宽CD为 ( 图1 图2A.10m B.12m C.24m D.48m7.(2024深圳龙岗区模拟)桔槔俗称“吊杆”“称杆”(如图1),是我国古代农用工具,始见于《墨子·备城门》,是一种利用杠杆原理的取水机械.桔槔示意图如图2所示,OM是垂直于水平地面的支撑杆,OM=3m,AB是杠杆,AB=6m,OA∶OB=2∶1.当点A位于最高点时,∠AOM=120°.此时,点A到地面的距离为 () 图1 图2A.(23+3)m B.5m C.6m D.7m8.数学实践小组测量某路段上一处标识脱落的车辆限高杆MN的高度AB,如图,他们先用测角仪在C处测得点A的仰角∠AEG=30°,然后在D处测得点A的仰角∠AFG=45°,已知点C,D,B在同一条直线上,测角仪离地面高度CE=1m,CD=2m,则AB高 ()A.(3+2)m B.(3+1)m C.(3+3)m D.(2+2)m9.(2024陕西中考)已知一个二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表:x…-4-2035…y…-24-80-3-15…则下列关于这个二次函数的结论正确的是 ()A.图象的开口向上 B.当x>0时,y的值随x值的增大而减小C.图象经过第二、三、四象限 D.图象的对称轴是直线x=110.(2024泰安中考)如图所示是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象,该函数图象的对称轴是直线x=1,图象与y轴交点的纵坐标是2.则下列结论:①2a+b=0;②方程ax2+bx+c=0一定有一个根在-2和-1之间;③方程ax2+bx+c-32=0一定有两个不相等的实数根;④b-a<2.其中,正确结论的个数是 (A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题(本题共5小题,每小题3分,共15分)11.(2024济宁中考)将抛物线y=x2-6x+12向下平移k个单位长度.若平移后得到的抛物线与x轴有公共点,则k的取值范围是.

12.已知抛物线y=x2-2x+c,且经过点(-2,y1),(-3,y2),试比较y1和y2的大小:y1y2.(填“>”“<”或“=”)

13.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=4,∠A=α,易知tanα=12,小明同学想求tan2α的值,他在AC上取点D,使得BD=AD,则tan2α=14.如图是一款抛物线形落地灯的示意图,防滑螺母C为抛物线支架的最高点,灯罩D距离地面2.25m,最高点C距灯柱AB的水平距离为1.5m,灯柱AB=1.5m,若茶几摆放在灯罩的正下方,则茶几到灯柱的距离AE为m.

15.(2024赤峰中考)综合实践课上,航模小组用无人机测量古树AB的高度.如图,点C处与古树底部A处在同一水平面上,且AC=10m,无人机从C处竖直上升到达D处,测得古树顶部B的俯角为45°,古树底部A的俯角为65°,则古树AB的高度约为m.(结果精确到0.1m;参考数据:sin65°≈0.906,cos65°≈0.423,tan65°≈2.145)

三、解答题(本题共8小题,共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)16.(6分)如图,已知二次函数y=ax2+2x+c图象经过点A(-1,0)和点C(0,3).(1)求该二次函数的表达式;(2)结合函数图象,直接写出当-1<x<2时,函数y的取值范围.17.(6分)如图,已知△ABD中,AC⊥BD,BC=8,CD=4,cos∠ABC=45,BE为AD边上的中线(1)求AC的长;(2)求△BED的面积.18.(8分)某服装店销售一款卫衣,该款卫衣每件进价为60元,规定每件售价不低于进价.经市场调查发现,该款卫衣每月的销售量y(件)与每件售价x(元)满足一次函数关系y=-20x+2400.(1)若服装店每月既想从销售该款卫衣中获利16000元,又想尽量给顾客实惠,售价应定为多少元?(2)为维护市场秩序,物价部门规定该款卫衣的每件利润不允许超过每件进价的40%.设该款卫衣每月的总利润为w(元),那么售价定为多少元时服装店可获得最大利润?最大利润是多少元?19.(10分)(2024广州中考)2024年6月2日,嫦娥六号着陆器和上升器组合体(简称为“着上组合体”)成功着陆在月球背面.某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置,在一次试验中,如图,该模拟装置在缓速下降阶段从点A垂直下降到点B,再垂直下降到着陆点C,从点B测得地面点D的俯角为36.87°,AD=17m,BD=10m.(1)求CD的长;(2)若模拟装置从点A以每秒2m的速度匀速下降到点B,求模拟装置从A点下降到点B的时间.参考数据:sin36.87°≈0.60,cos36.87°≈0.80,tan36.87°≈0.75.20.(10分)(2024福建中考)如图,已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,其中A(-2,0),C(0,-2).(1)求二次函数的表达式;(2)若P是二次函数图象上的一点,且点P在第二象限,线段PC交x轴于点D,△PDB的面积是△CDB的面积的2倍,求点P的坐标.21.(10分)如图,是一块抛物线形板材,工人师傅以A为坐标原点,AB边所在直线为x轴,过A点作AB的垂线为y轴,建立平面直角坐标系,根据测量得知AB边长为6dm,最高点C到AB的距离为6dm.(1)求该抛物线的表达式.(2)工人师傅计划在抛物线形板材上截出一个正方形CDEF,要求D,F两点在抛物线上(D在F的左侧),点E在抛物线的对称轴上,工人师傅的计划能否实现?若能,请你帮助工人师傅在抛物线上找出点D的位置(即求出点D的坐标),若不能,请说明理由.22.(12分)(2024重庆B卷中考)如图,A,B,C,D分别是某公园四个景点,B在A的正东方向,D在A的正北方向,且在C的北偏西60°方向,C在A的北偏东30°方向,且在B的北偏西15°方向,AB=2km.(参考数据:2≈1.41,3≈1.73,6≈2.45)(1)求BC的长度(结果精确到0.1km);(2)甲、乙两人从景点D出发去景点B,甲选择的路线为:D-C-B,乙选择的路线为:D-A-B.请计算说明谁选择的路线较近?23.(13分)如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点和点A(4,0).经过点A的直线与该二次函数图象交于点B(1,3),与y轴交于点C.(1)求二次函数的表达式及点C的坐标;(2)点P是二次函数图象上的一个动点,当点P在直线AB上方时,过点P作PE⊥x轴于点E,与直线AB交于点D,设点P的横坐标为m.①m为何值时线段PD的长度最大,并求出最大值;②是否存在点P,使得△BPD与△AOC相似.若存在,请求出点P坐标;若不存在,请说明理由.

【详解答案】1.B解析:由题图,tanα=21=2.故选B2.B解析:由y=(m+1)xm2+1+2x-3是二次函数,得m2+1=2m3.D解析:由题意得:抛物线的顶点是(1,3),开口向上.故选D.4.C解析:∵抛物线y=-(x+3)(x-2)与x轴有两个交点,∴-(x+3)(x-2)=0,解得:x1=-3,x2=2,∴两个交点坐标是(-3,0),(2,0),∴两个交点之间的距离是5.故选C.5.A解析:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=BCAB=513,∴设BC=5k,则AB=13k,根据勾股定理可以得到:AC=AB2-BC2=126.C解析:∵AB=36m,∴当x=18时,y=-136×182=-9,当水位上升5m时,y=-4,把y=-4代入抛物线表达式得:-4=-136x2,解得x=±12,此时水面宽CD=24(m).7.B解析:如图,过点O作EF⊥OM,过点A作AG⊥EF于点G,∵AB=6m,OA∶OB=2∶1,∴OA=4m,∵∠AOM=120°,∠EOM=90°,∴∠AOE=30°,在Rt△AOG中,AG=AO·sin30°=2(m),点A位于最高点时到地面的距离为2+3=5(m),∴点A到地面的距离为5m.故选B.8.A解析:如图,延长EF交AB于点H,由题意得,HB=DF=CE=1m,CD=FE=2m,设HF=xm,则EH=HF+FE=(x+2)m,在Rt△AHF中,∠AFH=45°,∴∠FAH=45°,∴AH=HF=xm,在Rt△AHE中,tan30°=AHEH=xx+2∴AB=AH+BH=3+1+1=(3+2)(m).故选A.9.D解析:由题知,4a-2b+c=-8,c=0,9a+3b+c=-3,解得a=-1,b=2,c=0,∴二次函数的表达式为y=-x2+2x.∵a=-1<0,∴抛物线的开口向下.故A选项不符合题意.∵y=-x2+2x=-(x-1)2+1,∴当x>1时,y随x的增大而减小.故B选项不符合题意.令y=0得,-x2+2x=0,解得x1=0,x210.B解析:∵抛物线的对称轴为直线x=1,∴-b2a=1,∴b=-2a,∴2a+b=0,故①正确;∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点的横坐标在2,3之间,∴与x轴的另一个交点的横坐标在-1,0之间,∴方程ax2+bx+c=0一定有一个根在-1和0之间,故②错误;∵抛物线y=ax2+bx+c与直线y=32有两个交点,∴方程ax2+bx+c-32=0一定有两个不相等的实数根,故③正确;∵抛物线与x轴的另一个交点的横坐标在-1,0之间,∴a-b+c<0,∵图象与y轴交点的纵坐标是2,∴c=2,∴a-b+2<0,∴b-a>2.故④11.k≥3解析:将抛物线y=x2-6x+12向下平移k个单位长度得y=x2-6x+12-k,∵平移后得到的抛物线与x轴有公共点,∴Δ=b2-4ac≥0,∴(-6)2-4×1×(12-k)≥0,解得k≥3.12.<解析:∵y=x2-2x+c,∴抛物线对称轴为直线x=--22=1,开口向上,∵|-3-1|>|-2-1|,∴(-2,y∴y1<y2.13.43解析:令CD=x,则AD=AC-CD=8-x,∴BD=AD=8-x,∵∠C=90°,∴BD2=CD2+BC2,∴(8-x)2=x2+42,∴x∴CD=3,∵AD=BD,∴∠ABD=∠A=α,∴∠CDB=∠A+∠ABD=2α,∴tan2α=BCCD14.2.25解析:如图所示,以AE所在直线为x轴,AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系,根据题意知,抛物线的顶点C的坐标为(1.5,2.5),设抛物线的表达式为y=a(x-1.5)2+2.5,将点B(0,1.5)代入得,2.25a+2.5=1.5,∴a=-49.∴抛物线的表达式为y=-49(x-1.5)2+2.5,当y=2.25时,-49(x-1.5)2+2.5=2.25,解得x=0.75(舍)或x=2.25,∴茶几到灯柱的距离AE为215.11.5解析:由题意,知DM∥AC,DC⊥AC,∠MDA=65°,∠MDB=45°.如图,过点B作BE⊥DC,垂足为E.∵BE⊥CD,BA⊥AC,DC⊥AC,∴∠C=∠BEC=∠CAB=90°.∴四边形CABE是矩形.∴BE=AC=10m,CE=AB.∵DM∥AC∥BE,∴∠MDB=∠EBD=45°,∠MDA=∠DAC=65°.在Rt△ACD中,∵tan∠DAC=DCAC∴DC=tan∠DAC·AC=tan65°×10≈2.145×10=21.45(m).在Rt△DBE中,∵tan∠DBE=DEBE,∴DE=tan∠DBE·AC=tan45°×10=1×10=10(m).∴AB=DC-DE=21.45-10=11.45≈11.5(m)16.解:(1)把A(-1,0)和C(0,3)代入二次函数y=ax2+2x+c中,得a-2+∴二次函数的表达式为y=-x2+2x+3.(2)如图所示,y=-(x-1)2+4,x=1时,y的最大值为4,当-1<x<2时,函数y的取值范围为0<y≤4.17.解:(1)∵AC⊥BD,∴∠ACB=∠ACD=90°.在Rt△ABC中,cos∠ABC=BCAB∴AB=845=10,∴AC=10(2)∵BE为AD边上的中线,∴S△BED=12S△ABD又∵S△ABD=12BD·AC=1∴S△BED=12×36=1818.解:(1)根据题意得:(x-60)(-20x+2400)=16000,解得x1=100,x2=80,∵尽量给顾客实惠,∴x=100,不符合题意,舍去.答:售价应定为80元.(2)∵每件利润不允许超过每件进价的40%,∴x-60≤60×40%,解得x≤84,∴60≤x≤84,根据题意得w=(x-60)(-20x+2400)=-20x2+3600x-144000=-20(x-90)2+18000,∵-20<0,∴当x≤90时,w随x的增大而增大,∴当x=84时,w取最大值,最大值为-20×(84-90)2+18000=17280(元).答:售价定为84元时,服装店可获得最大利润,最大利润是17280元.19.解:(1)如图:由题意得:AC⊥CD,BE∥CD,∴∠EBD=∠BDC=36.87°,在Rt△BCD中,BD=10m,∴CD=BD·cos36.87°≈10×0.80=8(m),∴CD的长约为8m.(2)在Rt△BCD中,BD=10m,∠BDC=36.87°,∴BC=BD·sin36.87°≈10×0.6=6(m),在Rt△ACD中,AD=17m,CD=8m,∴AC=AD∴AB=AC-BC=15-6=9(m),∵模拟装置从点A以每秒2m的速度匀速下降到点B,∴模拟装置从点A下降到点B的时间为9÷2=4.5(s).20.解:(1)由题意,将A(-2,0),C(0,-2)代入y=x2+bx+c得4∴b∴二次函数的表达式为y=x2+x-2.(2)由题意,设P(m,n),∵点P在第二象限,∴m<0,n>0,又∵△PDB的面积是△CDB的面积的2倍,∴S△PDBS△∴nCO=2又∵CO=2,∴n=2CO=4.由m2+m-2=4,∴m1=-3,m2=2(舍去).∴点P坐标为(-3,4).21.解:(1)∵AB边长为6dm,最高点C到AB的距离为6dm.∴点B的坐标为(6,0),根据抛物线的对称性可知:顶点C的坐标为(3,6),设这个抛物线的表达式为y=a(x-3)2+6,将点(6,0)代入y=a(x-3)2+6,得0=a(6-3)2+6,解得a=-23∴抛物线的表达式为y=-23(x-3)2+6=-23x2(2)能够实现,∵点D在抛物线上,∴可设点D的坐标为t,-23t2+4t,连接DF交CE于点H,如图:∵四边形CDEF为正方形,∴HD=HC,DF⊥CE,∵CE为抛物线的对称轴,点C的坐标为(3,6),∴点H的坐标为3,-23t2+4t,∴HD=3-t,HC=6--23t2+4t=23t2-4t+6,∴3-t=23t2-4t整理得:2t2-9t+9=0,解得:t=1.5或t=3(不合题意,舍去),当t=1.5时,-23t2+4t=4.∴点D的坐标为(1.5,4.5).22.解:(1)过点B作BE⊥AC于点E,如图,根据已知得∠DAB=90°,∵∠DAC=30°,∴∠EAB=60°,∠EBA=30°,∴AE=12AB=1km,BE=3AE=3km∵C在B的北偏西15°方向,∴∠EBC=90°-30°-15°=45°,∴△EBC是等腰直角三角形,∴CE=BE=3km,BC=2BE=2×3=∴