诱导公式课件2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第三册

第七章三角函数7.2.4诱导公式（不同角的三角函数值之间的关系）《人教B版2019高中数学必修第三册》知识点

探究新知

诱导公式:不同角的三角函数值之间的关系情景与问题

如果已知sin26∘=m，你能用m表示出sin386°，sin(-26°),sin154°,sin206°,cos64°吗？你还能用m表示出更多角的三角函数值吗？

情境中的问题，与本小节所要学习的诱导公式有关.对于任意一个角α来说，α与α+k·2π(k∈Z)的终边有什么关系？由此你能得到它们的正弦、余弦、正切之间的关系吗？我们知道，一个角的三角函数值由它终边上不同于坐标原点的点决定，由此可知，终边相同的角，同名三角函数值相等（“同名”指同是正弦、余弦或正切，下同）.不难看出，α与α+k·2π(k∈Z)的终边相同，所以当k为整数时，有sin(α+k·2π)=sinα,cos(α+k·2π)=cosα,tan(α+k·2π)=tanα.1.角α与α+k·2π（k∈Z)的三角函数值之间的关系利用上述公式，我们可以把绝对值大于2π的任意角的三角函数值问题转化为0∼2π角的同名三角函数值问题.例如，sin386∘=sin(26∘+360∘)=sin26∘

例1

解

探究新知利用上述公式，我们可以把绝对值大于2π的任意角的三角函数值问题转化为0∼2π角的同名三角函数值问题.例如，sin386∘=sin(26∘+360∘)=sin26∘

例1

解

2.角的旋转对称如图7-2-9所示，假设角α的终边是OA，射线OB和OC关于OA对称，∠AOB=θ，那么射线OB是角α+θ的终边，射线OC是角α-θ的终边.由此我们可知，角α+θ的终边和角α-θ的终边关于角α的终边所在的直线对称.图7-2-9

3.角α与-α的三角函数值之间的关系对于任意一个角α来说，α和-α的终边有什么关系？由此你能得到他们的正弦、余弦、正切之间的关系吗？sin(−α)=−sinα,cos(−α)=cosα,tan(−α)=−tanα.如图7-2-10所示，设α和-α的终边与单位圆分别交于P和P’，则

P(cosα,sinα),P’(cos（-α）,sin（-α）)又由α和-α的终边关于角0的终边（即x轴的正半轴）所在的直线对称可知，P和P’关于x轴对称，因此图7-2-10记忆时可以把角α放在第一象限，则−α在第四象限，根据坐标对称性来确定α和-α的三角函数值之间的关系.探究新知

例2

解

图7-2-11这是因为sin(π+α)=sin[π-(-α)]=sin(-α)=-sinα.另外，由前面的公式，我们可证明：

探究新知

例3求下列各值．

解

探究新知

例4求下列各值．

例5

解

解

由以上所学内容，我们还可以得到：

探究新知

例6求下列各值．

解

探究新知

例7计算sin(−36∘)+cos54∘+sin108∘+cos162∘的值．

解原式=-sin(36∘)+cos（90∘-36∘）+sin（90∘+18∘）+cos（180∘-18∘）=-sin(36∘)+sin(36∘)+cos(18∘)-cos(18∘)=0

例8

解

总结：公式①～⑧都称为诱导公式.利用诱导公式可以求三角函数式的值或化简三角函数式，诱导公式本身还反映了我们后面要学习的三角函数的性质.sin(α+k·2π)=sinα,cos(α+k·2π)=cosα,tan(α+k·2π)=tanα.⑦①sin(−α)=−sinα,cos(−α)=cosα,tan(−α)=−tanα.②

③④

⑤⑥⑧

练习B①求下列各值.

解

练习B②证明：

练习B

(2)sin2(−α)−tan(360∘−α)−sin(180∘−α)cos(360∘−α)tan(180∘+α);

练习B④

计算下列各式的值.(1)sin555∘+cos(−435∘)(2)sin67∘+cos157∘+sin115∘−cos(−25∘).(1)sin555∘+cos(−435∘)=sin(360∘+180∘+15∘)+cos(360∘+75∘)=-sin(15∘)+cos(90∘-15∘)=-sin(15∘)+sin(15∘)=0(2)sin67∘+cos157∘+sin115∘−cos(−25∘)=sin67∘+cos(180∘-23∘)+sin(90∘+25∘)−cos25∘=cos23∘-cos23∘+cos25∘−cos25∘=0练习B

巩固提升练习1．利用公式求下列三角函数值：

m3．应用诱导公式化简

巩固提升练习

巩固提升练习

5.三角形中的诱导公式问题：（多选）在△ABC中，下列关系式恒成立的是（

）