北京育才学校2026届高三3月月考数学试题（含答案）

2025-2026学年度第二学期北京育才学校高三数学三月月考试卷一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.1.已知集合A={x∈N∣x≤5}，集合A.{2,3,4}2.下列函数中,既是奇函数又在0,+∞上单调递增的是(A.y=x−1xB.3.若实数a、b满足a2A.a>bC.a>b4.若x−24=aA.-41B.41C.-40D.405.已知抛物线C:y2=4x,经过点P的任意一条直线与C均有公共点,则点A.0,1B.1,−36.设无穷等差数列an的前n项和为Sn,则“对任意n∈N∗,都有an>A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.若函数fx=2x+1−A.−2,−1B.0,8.庑殿顶是中国传统建筑中的一种屋顶形式，其顶盖几何模型如图所示，底面ABCD是矩形,侧面由两个全等的等腰梯形和两个全等的等腰三角形组成.若BC=10 m,EF=A.12 mB.15 mC.209.在△ABC中，CA=CB=5，AB=4，点M为△ABC所在平面内一点且AM⋅A.0B.−1625C.−10.已知动直线l与圆O:x2+y2=4交于A,B两点,且∠AOB=120∘.若lA.10−46二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.在复平面内,复数z对应的点的坐标是3,4,则12.在△ABC中，AB=1，BC=4，CA=13，则∠B=_____；若D为BC13.已知双曲线x2m+y2n=1mn<0的渐近线方程为14.已知函数fx是R上的奇函数,当x>0时fx=x+e2−x,则f−2=15.在数列an中,对任意的n∈N∗都有an>①对于任意的n≥3，都有a②对于任意a1>0，数列③若0<a1<2④若a1>2，则当n≥2三、解答题:本大题共6小题，共85分.16.如图,在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中,A1A⊥平面ABCD,在四边形(1)求证:A1E//平面(2)若平面A1ABB1⊥平面A1ADD1,17.已知函数fx=sin2x+φ+cos2x,其中(1)求φ的值；(2)当x∈−π6,π3时，若曲线y=fx条件①:fπ条件②:−π12是f条件③:f0注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.18.根据《国家学生体质健康标准》，高三男生和女生立定跳远单项等级如下(单位:cm):立定跳远单项等级高三男生高三女生优秀260及以上194及以上良好245~259180~193及格205~244150~179不及格204及以下149及以下从某校高三男生和女生中各随机抽取12名同学,将其立定跳远测试成绩整理如下(精确到1cm):男生180205213220235245250258261270275280女生148160162169172184195196196197208220假设用频率估计概率,且每个同学的测试成绩相互独立.(1)分别估计该校高三男生和女生立定跳远单项的优秀率;(2)从该校全体高三男生中随机抽取2人，全体高三女生中随机抽取1人，设X为这3人中立定跳远单项等级为优秀的人数,估计X的数学期望EX(3)从该校全体高三女生中随机抽取3人，设“这3人的立定跳远单项既有优秀，又有其它等级”为事件A，“这3人的立定跳远单项至多有1个是优秀”为事件B.判断A与B是否相互独立.(结论不要求证明)19.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的左顶点为A(1)求椭圆E的方程及离心率；(2)P是椭圆上一点,且在第一象限内,M是点P关于x轴的对称点.过P作垂直于y轴的直线交直线AB1于点Q,再过Q作垂直于x轴的直线交直线PB2于点N.求20.已知函数fx(1)若曲线y=fx在点1,f1处的切线斜率为(2)判断函数y=f(3)证明:对∀x1,x2∈[21.已知an和bn都是无穷数列.若存在正数A,对任意的n∈N∗,均有an−bn≤A,则称数列(1)分别判断下列题目中的两个数列是否具有关系P1①an=2n，bn=n②cn=12n−1，(2)设an=13n−1，bn=an+1+1，n∈N∗，试判断数列(3)已知an是公差为d的等差数列，若存在数列bn满足:bn与an具有关系P1，且b2−b1.B解一元二次不等式求集合B,利用集合交运算求A∩由题设A={0,1,所以A∩故选:B2.A根据常见函数的奇偶性和单调性进行判断即可.对于A,y=x−1x对于B,y=x3−x是奇函数,因为导函数y′=3x2−1=3x+33x对于C,y=x12对于D,y=tanx是奇函数,但在故选:A.3.D对于D,结合对数函数的单调性即可判断;对于ABC,取a=−2由题意,a2>b2>0,所以log当a=−2,b=−1时,a2>故选:D.4.C写出展开式的通项公式,求出a3=−8和x−24展开式的通项公式为令r=1得T2=C令r=3得T4=C所以a3故选:C5.D根据点与抛物线的位置即可求解.0,1在y轴上,所以0将x=1代入抛物线C:y2=4x中,则将x=3代入抛物线C:y2=4x中，则将x=2代入抛物线C:y2=4x中，则将选项中的点分别在直角坐标系中画出来,只有点D2,−2在抛物线内部,故当点P位于点D2,−2处,此时经过点P故选:D6.A利用定义法直接判断.充分性:因为时任意n∈N∗,都有an>0”,所以Sn=必要性:因为“数列Sn为递增数列”,取数列:-1,1,3,5......符合数列an为无穷等差数列,且Sn为递增数列,但是故“对任意n∈N∗，都有an>0故选:A7.D分析该分段函数在各段上的零点情况,将问题转化为直线y=m与y=2x+1在当x>0时,由x−1ln依题意，x≤0时，y=2即方程m=2x+1也即直线y=m与y=2x+如图作出函数的图象.因y=2x+1在(−∞,综上,实数m的取值范围是(1故选:D.8.B取AD,BC的中点G,M过点F作FO⊥面ABCD于点O,过点E作EL⊥面ABCD于点L,作OH⊥AB于点H因为底面ABCD是矩形,所以AB//又因为CD⊂面CDFE,AB⊄面CDFE,所以AB//面又因为AB⊂面ABEF,面CDFE∩面所以AB//因为面ABEF,面CDFE都与底面ABCD所成的角相等,所以点O,L在直线GM上,且因为侧面由两个全等的等腰梯形和两个全等的等腰三角形组成,所以FM⊥所以∠FMO为面FBC与面ABCDFO⊥面ABCD,AB⊂面ABCD又因为OH⊥AB,FO∩所以AB⊥平面FOH,又FH⊂平面所以AB⊥FH，所以∠FHO为面ABEF与面所以∠FMO=∠FHO，又所以Rt△OFM≅Rt△OFH，所以OM所以AB=故选:B.9.C以BC所在直线为x轴,以其上的高线为y轴建立平面直角坐标系,设出点M的坐标,写出各个点坐标,利用数量积的坐标运算,求解问题.在三角形ABC中,由余弦定理cosC=AC2+又AM⋅BC=0,故M点在三角形ABC底边则以BC所在直线为x轴,以其上的高线为y轴建立平面直角坐标系如下所示:又cos∠ACO=−cosC=3故OA=AC则A0,455AM故AM⋅CM=mm−也即AM⋅CM的最小值为故选:C.10.D根据题意当动直线经过圆x−22+y2=25的圆心时,可得到弦长的最大值为该圆的直径,再设线段AB的中点为C,从而得到动直线l在圆x2+y2=1上做切线运动,当动直线l由题意可知圆x−22+y2=25的圆心则当动直线经过圆心,即点A或B与圆心2,0此时弦长t取得最大值，且最大值为tmax=设线段AB的中点为C,在△AOB中,由OA=OB=2,且∠则动直线l在圆x2+所以当动直线l与x轴垂直,且点C的坐标为−1,0此时弦长t取得最小值,且最小值为tmin所以t的最大值与最小值之差为2.故选:D.图1图211.4根据复平面内点的坐标得到复数z,再根据复数的除法法则计算zi因为复数z对应的点的坐标是3,所以复数z=所以zi故答案为:412. 空1使用余弦定理求解即可,空2使用正弦定理求解即可.在△ABC中，由余弦定理得cosB=a2+c2在△ABD中,由正弦定理得:ADsinB=AB故答案为:π313.1;−4(答案不唯一,满足n根据渐近线可得n=−4m因为双曲线x2m+y2则nm=−4,即例如m=故答案为:1；-4(答案不唯一，满足n=−4m14.4(答案不唯一)利用函数的奇偶性可求得f−2的值;先求得x>0,函数fx的单调性,进而可得fx因为函数fx是R上的奇函数,且x>0时,所以f−当x>0时,由fx=x令f′x>0,即1−所以函数fx在0,2单调递减,在所以x>0时,由为函数fx是R上的奇函数,可得x<0时,fx≤由fa=fb=c,可得所以c的取值范围为−e故答案为:-3；4(答案不唯一).15.③④对数列递推关系变形得到an−2=an+1​2−an+1−2=当a1=2时,推导出此时an作差法结合0<a1<2时,0<an由an−2与an+1−2同号,得到当a1>因为an+1​2因为任意的n∈N∗都有an>所以an−2与an+1−2同号,当0<a当a1=2时，a2−2=a1−2a2+1=an由A选项知:若0<a1<2所以an则数列an由an−2与an+1−2同号,当a1且此时an所以数列an综上:若a1>2,则当n≥2故答案为:③④16.(1)连接D1因为AB=2,CD=1所以AE=又AB//CD，所以四边形AECD所以EC//又因为A1D所以A1所以四边形A1EC所以A1又因为A1E⊄平面C1CD所以A1E//平面(2)因为AA1⊥平面所以AA又因为平面A1ABB1⊥平面A1ADD1且AD⊂平面A所以AD⊥平面A所以AD⊥所以AB,AD如图建立空间直角坐标系A−则D0所以E1因为AD⊥平面A所以AD=0,1,0设平面A1C1E则n⋅EA1=令x=2,则y=−2,设平面A1ABB1与平面A1C则cosθ17.(1)选条件①:fπ6=sinπ3+选条件②.由题设f−π12=sin−因为−π2<φ<π2,所以所以φ=−选条件③，由题设sinφ+cossin以下同选条件②.(2)由(1)f因为−π6≤x≤于是,当且仅当2x+π6=π2,即x=当且仅当2x+π6=−π6,即x=−π6又2x+π6=5π6,即且当−π6≤2x+π6≤π6时,fx单调递增,所以曲线y=fxm的取值范围是−118.1(2)7(3)A与B相互独立(1)样本中立定跳远单项等级获得优秀的男生人数为4，获得优秀的女生人数为6,计算频率得到优秀率的估计值;(2)由题设，X的所有可能取值为0,1,2,3.算出对应概率的估计值，得到X的数学期望的估计值;(3)利用两个事件相互独立的定义判断即可.(1)样本中立定跳远单项等级获得优秀的男生人数为4，获得优秀的女生人数为6,所以估计该校高三男生立定跳远单项的优秀率为412=13;(2)由题设，X的所有可能取值为0,1,2,3.PX=0估计为PX=1估计为PX=2估计为PX=3估计X的数学期望EX(3)PA估计为CPB估计为CPAB估计为CPAB=PAPB,所以A19.1(2)π(1)首先由直线AB1的方程求出A、B1的坐标,即可求出a、(2)设Px0,y0,x0>0,y0>0，则Mx0,−y0，求出Q(1)因为直线AB1的方程为x所以A−3,0，B10,1，即a=3所以椭圆方程为x23+y(2)依题意，设Px0,y0，x0且点P是椭圆上一点,可得x0直线AB1的方程为y=33x+1所以Q3直线PB2的