数学物理方程第十三讲 格林（Green）公式及其应用

调和函数：1

拉普拉斯（Laplace）方程的基本解格林（Green）公式及其应用

具有二阶连续偏导数的调和方程的连续解；或满足Laplace方程的函数。三维Laplace方程的基本解：特点：除点外，任一点满足Laplace方程。同学们自己验证。二维Laplace方程的基本解：特点：除点外，任一点满足Laplace方程。同学们自己验证。2Green公式（1）奥－高公式（高斯公式）：设是有界区域，是其边界曲面且足够光滑，在上连续，在内有连续偏导数，则推导：令其中是的外法线方向。（2）第一Green公式：设是有界区域，是其边界曲面且足够光滑，及其一阶偏导数在上连续，在内有二阶连续偏导数，则代入高斯公式，并注意方向导数公式即可得。（2）第二Green公式：设是有界区域，是其边界曲面且足够光滑，及其一阶偏导数在上连续，在内有二阶连续偏导数，则推导：由第一Green公式，有两式相减即可得。3调和函数的积分表达式意义：调和函数在内任一点的函数值可用其边界上的函数值及其法向导数值表示。定理：设在有界区域内为调和函数，且在上有一阶连续偏导数，则，有证明：如图作球取则和在内均为调和函数，由第二Green公式有在上（其外法线方向与向径反向）于是代入上式，得令，则从而得证4调和函数的基本性质性质1：设在有界区域内为调和函数，且在上有一阶连续偏导数，则证：令将代入第二Green公式即可。性质1物理意义：对于稳定的温度场，在内部无热源的情况下，任何封闭曲面上的热流量应该为零。推论1：诺伊曼问题有解的必要条件是性质2（平均值定理）：设在有界区域内为调和函数，，是以为球心，以为半径的球面，则有意义：球平均值证明：将调和函数积分表达式用于此球面上，有而为什么？于是为什么？性质3（极值原理）：若在有界区域内为调和函数，在上连续，且不为常数，则其最大值、最小值只能在边界上达到。推论1：设在有界区域内为调和函数，在上连续，若在上有，则在内也有证明从略证明：用反证法若在内有，即，而在边界上，说明在内部可能取最大值。推论2：狄利克莱问题的解唯一。证明：设和均为该问题的解，则满足由极值原理，

先考察调和方程的狄利克雷内问题。定理2.4：调和方程的狄利克雷内问题的解如果存在，必是唯一的，而且连续依赖于边界条件f。证：假设两个调和函数u1(x,y,z)

和u2(x,y,z)

，它们在有界区域Ω的边界Г上完全相同，那么它们的差u=u1(x,y,z)-u2(x,y,z)在Ω中也满足调和方程，而在Г上等于零。按照前面的推论一，u1≡u2，即狄利克雷内问题的解唯一。

其次，假设在边界上给定了两个函数f和f*，而且在Г上处处成立5

第一边值问题解的唯一性和稳定性推论3：对狄利克莱问题有现在转而研究调和方程的狄利克雷外问题。设u1，u2是狄利克雷外问题的解，令v=u1-u2

，则调和函数v在边界Г和无穷远处取值为零。即5第一边值问题解的唯一性和稳定性设u和u*，分别是调和方程在区域Ω上的以f和f*为边界条件的狄利克雷内题的解。那么调和函数u-u*在Г上取值f-f*。由极值定理的推论1得到因此，在区域Ω上各点有（连续依赖性得证）此时取一个半径足够大的球面