分类加法计数原理与分步乘法计数原理第3课时课件-高二下学期数学人教A版选择性

6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理第3课时（3课时）

陶新军1（1）

学习目标核心素养1.通过实例，理解分类加法计数原理、分步乘法计数原理与解题策略。数学抽象2应用探究：（1）分配问题；（2）涂色问题；（3）组数问题。逻辑推理1（1）

一.新课引入特别地，如果完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，

‧‧‧‧‧‧在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有m1+m2+

‧‧‧+mn种不同的方法.分类加法计数原理：分步乘法计数原理：特别地，如果完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，‧‧‧‧‧，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法.1（2）

二.自主构建（1）完成一件什么事？（3）如何分类、分步？解题策略：（2）确定是先分类还是先分步？3（5）

二.自主构建（课本P12，第11、12题）例1

在国庆长假期间，要从7人中选若干人在7天假期值班（每天只需1人值班），不出现同一人连续值班2天，有多少种可能的安排方法？解：完成一件什么事：

是分类还是分步：

如何分：

7天排班分步例22160有多少个不同的正因数？解：完成一件什么事：

是分类还是分步：

如何分：

分步3（8）

二.自主构建例3

我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如1230，2022)，则首位为3的“六合数”共有(

)A．18个 B．12个C．10个 D．7个解：完成一件什么事：

是分类还是分步：

如何分：

3分3类：（1）111；（2）120；（3）300

总10个，选C3（11）

三.应用探究：1分配分组问题（课本P12第8题改编）例4

4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，每个队都要有人报，不同报法的种数是多少？解：完成一件什么事：

是分类还是分步：

如何分：

4名同学选球队，球队要有人先分3类再分步（1）足球队有2人；

（2）篮球队有2人；

（3）兵乓球队有2人；

3+1（15）

三.应用探究：1分配分组问题练习1

高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有(

)A．16种 B．18种C．37种 D．48种解1：

完成一件什么事：(直接法)是分类还是分步：

如何分：

解2：(间接法)先计算三个班自由选择去何工厂的总数，再扣除甲工厂无人去的情况，即4×4×4－3×3×3＝37种方案．3个班实习，甲厂有班去

分3类：（1）甲厂来3个班；（2）甲厂来2个班；（3）甲厂来1个班；

总37，选C4（19）

三.应用探究：2涂色问题例5

(2025·徐州高二期中)如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在用6种颜色给5个小区域(A，B，C，D，E)涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法有(

)解1：完成一件什么事：

是分类还是分步：

如何分：

A．480种 B．720种C．1080种 D．1560种ABCDE涂色按用颜色多少分3类再分步（1）3色：AE、BD、C；（2）4色：AE、B、D、C或A、E、BD、C；（3）5色：A、B、C、D、E。

2（21）

三.应用探究：2涂色问题解2：完成一件什么事：ABCDE涂色

是分类还是分步：先分步，按区域位置涂分4步进行分析：(1)对于区域A，有6种颜色可选；(2)对于区域B，与区域A相邻，有5种颜色可选；(3)对于区域C，与区域A，B相邻，有4种颜色可选；(4)对于区域D，E，若D与B颜色相同，区域E有4种颜色可选，若D与B颜色不相同，区域D有3种颜色可选，区域E有3种颜色可选，则区域D，E有4＋3×3＝13(种)选择，则不同的涂色方案有6×5×4×13＝1560(种).3+1（25）

三.应用探究：2涂色问题练习2

(2025·临沂高二期中)在如图所示的五块土地上种植四种庄稼，有五种庄稼秧苗可供选择，要求相邻的土地不种同一种庄稼，不同的种植方式有(

)A．240种 B．300种C．360种 D．420种解：根据题意，从五种庄稼秧苗中选出4种庄稼秧苗，共有5种选择，则土地1，5种植相同庄稼或土地2，4种植相同庄稼，共有2×(4×3×2×1)＝48种选择，根据分步乘法计数原理可知，有5×48＝240种．3+1（29）

三.应用探究：2涂色问题练习3

将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，使同一条棱的两端点异色，如果只有五种颜色可供使用，那么不同的染色方法总数是多少？SABCD解1：从颜色的种数进行分类：若染5种颜色，则不同的染色方法有5×4×3×2×1＝120(种).(2)若染4种颜色，则不同的染色方法有5×4×3×2×2＝240(种).(3)若染3种颜色，则不同的染色方法有5×4×3＝60(种).所以不同的染色方法共有120＋240＋60＝420(种).2（31）

三.应用探究：2涂色问题练习3

将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，使同一条棱的两端点异色，如果只有五种颜色可供使用，那么不同的染色方法总数是多少？SABCD解2：按位置涂色：5×4×3×1×3+5×4×3×2×2=420(种).

三.应用探究：3组数问题例6

用0，1，2，3，4五个数字，(1)可以排出多少个三位数字的密码？(2)可以排成多少个三位数？(3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？解：(1)三位数字的密码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共有5×5×5＝125种排法，即可以排出125个三位数字的密码．(2)三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，因此共有4×5×5＝100种排法，即可以排成100个三位数．(3)能被2整除的数即偶数，末位数字可取0，2，4，因此可以分两类，一类是末位数字是0，则有4×3＝12种排法；另一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因为0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因此有2×3×3＝18种排法．因此共有12＋18＝30种排法，即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数．4（35）3+1（39）

三.应用探究：3组数问题练习4

用0,1,2,3,4,5这6个数字：(1)可以组成______个数字不重复的三位数;(2)可以组成______个数字允许重复的三位数;(3)可以组成______个大于3000，小于5421的数字不重复的四位数．解：(1)由分步计数原理得，所求三位数共有5×5×4＝100个．(2)由分步计数原理得，所求三位数共有5×6×6＝180个．(3)分四类：

①千位数字为3,4之一时，有2×5×4×3=120个；②千位数字为5，百位数字为0,1,2,3之一时，有4×4×3=48个；

③千位数字是5百位数字是4，十位数字是0,1之一时，有2×3=6个；

④千位数字是5百位数字是4，十位数字是2时，有1个；所以所求四位数共有120+48+6+1=175个．四.总结归纳知识点：题型：方法：1（40）1分类加法记数原理2分