提分微课(5)平行四边形的对称性

平行四边形的对称性提分微课(四)分/类/精/析平行四边形的中心对称性的一般结论类型一

(浙教版八下P87例3)已知:如图W4-1,▱ABCD的对角线AC,BD交于点O.过点O作直线EF,分别交AB,CD于点E,F.求证:OE=OF.例1图W4-1证明:如图.在▱ABCD中,∵AB∥CD,∴∠1=∠2.又∵OA=OC,∠3=∠4,∴△AOE≌△COF.∴OE=OF.[通性通法]由平行四边形的性质得到的结论:(1)平行四边形的两条对角线将其分成四个面积相等的小三角形,且相邻两个三角形的周长之差等于平行四边形两邻边之差;(2)过平行四边形两条对角线交点的直线平分平行四边形的周长和面积.

①②③④图W4-2

图W4-2变式2如图W4-3,▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O,EF过点O且与AB,CD分别相交于点E,F,AC=6,△AEO的周长为14,则CF+OF的值为

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图W4-3[解析]∵四边形ABCD是平行四边形,AC=6,∴OA=OC=3,AB∥CD,∴∠EAO=∠FCO.又∵∠AOE=∠COF,∴△AOE≌△COF(ASA),∴OE=OF,AE=CF.∵△AEO的周长为14,∴OA+AE+OE=14,∴AE+OE=14-3=11,∴CF+OF=AE+OE=11.11利用平行四边形的中心对称性求面积类型二

例2图W4-4

B[通性通法]涉及过平行四边形中心的直线,求面积或已知面积(关系)时,注意借助平行四边形的对称性和等量转化求解.

图W4-5

1.如图W4-6,矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,过点O的直线EF分别交AD和BC于点E,F.若AB=2,BC=4,则图中阴影部分的面积为

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巩/固/训/练图W4-642.(2024眉山)如图W4-7,在▱ABCD中,O是BD的中点,EF过点O,下列结论:①AB∥DC;②EO=ED;③∠A=∠C;④S四边形ABOE=S四边形CDOF.其中正确结论的个数为(

)A.1 B.2 C.3 D.4图W4-7C

图W4-8【探究】若图①中的直线EF分别交边CB,AD的延长线于点H,G,其他条件不变,如图②.求证:△BOH≌△DOG;

图W4-8

4.(2025杭州滨江区一模)如图W4-9①,在正方形ABCD中,过对角线的交点O的两条互相垂直的直线交该正方形各边于点E,F,G,H.求证:AE=BG,EF与GH把该正方形分成面积相等的四部分.小滨、小江在完成上述解答后,进一步思考,若将图形一般化,是否也会有类似的结论?两位同学进行了如下探究.图W4-9(1)如图②,在矩形ABCD中,过对角线的交点O的两条直线交该矩形各边于点E,F,G,H.小滨:若BG∶AE=BA∶AD,则EF与GH把该矩形分成面积相等的四部分.小江:若EF⊥GH,则EF与GH把该矩形分成面积相等的四部分.请判断小滨、小江的猜想是否正确,并说明理由;(2)请仿照小滨、小江同学的探究过程,写出一个类似的真命题:如图③,在▱ABCD中,

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(1)如图②,在矩形ABCD中,过对角线的交点O的两条直线交该矩形各边于点E,F,G,H.小滨:若BG∶AE=BA∶AD,则EF与GH把该矩形分成面积相等的四部分.小江:若EF⊥GH,则EF与GH把该矩形分成面积相等的四部分.请判断小滨、小江的猜想是否正确,并说明理由;解:(1)小滨的猜想正确,小江的猜想错误.理由如下:如图,过点O作OT⊥BA,OP⊥AD,垂足分别为T,P.∵四边形ABCD是矩形,∴OB=OA=OD=OC,∠BAD=90°,∴∠OTB=∠BAD=90°,

(2)请仿照小滨、小江同学的探究过程,写出一个类似的真命题:如图③,在▱ABCD中,