第36讲方程与函数思想

第四篇综合与实践第九章数学思想方法运用第36讲方程与函数思想1.

解决函数综合问题时，注意数形结合，以及在函数、方程、不等式之间的灵活转化.2.

解决几何综合问题时，常从面积关系、勾股定理、相似性质寻求关系列方程、函数求解.3.

解决生活中实际问题时，从一些常见数量关系模型入手，建立方程、函数求解.4.

对于一个实际问题或数学问题，构建一个相应的函数，抓住事物在运动过程中那些保持不变的规律和性质，运用函数基本性质和方法，从而更快更好地解决问题.

类型一

运用方程、函数思想求解三角形、四边形与圆问题

【解后感悟】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是构造直角三角形.

类型二

运用函数思想求解方程、不等式问题例2

在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝（x＋a）（x－a－1），其中a≠0.（1）若函数y1的图象经过点（1，－2），求函数y1的表达式.【答案】（1）函数y1的图象经过点（1，－2），得（a＋1）（－a）＝－2，解得a1＝－2，a2＝1，函数y1的表达式为y1＝（x－2）（x＋2－1），化简，得y1＝x2－x－2；或函数y1的表达式为y1＝（x＋1）（x－2），化简，得y1＝x2－x－2，综上所述：函数y1的表达式为y1＝x2－x－2.

（2）若一次函数y2＝ax＋b的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b满足的关系式.【答案】（2）当y＝0时，（x＋a）（x－a－1）＝0，解得x1＝－a，x2＝a＋1，y1的图象与x轴的交点是（－a，0），（a＋1，0），当y2＝ax＋b经过（－a，0）时，－a2＋b＝0，即b＝a2；当y2＝ax＋b经过（a＋1，0）时，a2＋a＋b＝0，即b＝－a2－a.综上所述，b＝a2或b＝－a2－a.

（3）已知点P（x0，m）和Q（1，n）在函数y1的图象上，若m＜n，求x0的取值范围.

【解后感悟】二次函数关系式转化为方程，解第（1）题的关键是利用待定系数法；解第（2）题的关键是把点的坐标代入函数表达式；解第（3）题的关键是利用二次函数的性质，解不等量关系，同时要分类讨论，以防遗漏.类型三

运用方程思想求解几何动点问题例3

如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6

cm，BC＝8

cm，动点P从点B出发，在BA边上以5

cm/s的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以4

cm/s的速度向点B匀速运动，运动时间为t（s）（0＜t＜2），连结PQ.

（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值.

（2）连结AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值.

【解后感悟】由相似三角形的对应边成比例，可列出分式方程，从而求解；在已知一个角对应相等的前提下考虑两个三角形相似时，有两种情况，不可遗漏.

2.

如图，在菱形ABCD中，AB＝10

cm，∠ABC＝60°，E为对角线AC上一动点，以DE为一边作∠DEF＝60°，EF交射线BC于点F，连结BE，DF.

点E从点C出发，沿CA方向以2

cm/s的速度运动至点A处停止.设△BEF的面积为y（cm2），点E的运动时间为x（s）.（1）求证：BE＝EF.

（2）求y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围.

（3）当x＝

时，线段DF的长度最短.

在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有如下问题：如图，AC是▱ABCD的对角线，点E在AC上，AD＝AE＝BE，∠D＝105°，则∠BAC