第9章因式分解复习

执教：张二平苏科版八年级数学下册第9章因式分解复习学习目标1、能理解好因式分解的概念并能正确判别。2、会用提公因式法、运用公式法来分解因式。学习重点:

熟练运用提公因式法、运用公式法来进行因式分解。学习难点:

因式分解的综合运用。一、知识结构：因式分解提公因式法公式法概念常用方法一般步骤结果要求ab+ac+ad=a(b+c+d)平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2“一提”、“二套”、“三查”必须把每一个因式都分解到不能再分解为止。二、知识点回顾：知识点1：因式分解的概念：2、下列各个分解因式中正确的是

（

）A、10ab2c+6ac2+2ac＝2ac（5b2+3c）B、x(b+c-a)-y(a-b-c)-a+b+c＝（b+c-a)(x+y-1）C、（a-b)3-(b-a)2＝（a-b)2（a-b+1）D、（a-2b)(3a+b）-5(2b-a)2＝(a-2b)(11b-2a）1、下列各式从左到右的变形,属于因式分解的是（）A、a(a-b+1)=a2-ab+aB、a2-a-2=a(a-1)-2C、-4a2+9b2=(3b-2a)(2a+3b)D、x2-4x-5=(x-2)2-9CD因式分解与整式乘法本质上都是恒等变形，恒等变形是研究数学的有用工具.整式乘法主要用于整式的运算、化简与求值，因式分解在后面的分式运算与解方程中有许多应用.学习因式分解，有助于形成和发展运算能力和推理能力.知识归纳：1、因式分解的概念：

把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的变形叫作因式分解(factorization)。因式分解也可称为分解因式。2、因式分解与整式乘法的关系知识点2：提公因式法：1、已知a-b=3,b+c=-5,则代数式ac-bc-b2+ab的值是（）A、2B、-2C、15D、-152、多项式8a2b2+6ab2各项的公因式是

。3、分解因式：（1）ab+2b=

.（2）（a-b)2-(b-a)=

。D2ab2b(a+2)(b-a)(b-a-1)知识归纳：

3、因式分解的方法因式分解与整式乘法是互逆的过程，我们利用这种关系，由整式乘法的法则和公式得到了因式分解的方法：提公因式法和公式法.如果多项式的各项含有公因式，那么就可以采用添括号的方法把这个公因式提到括号外，把多项式写成公因式与另一个多项式的积的形式，

这种分解因式的方法叫作提公因式法.（1）提公因式法①公因式的概念：多项式里各项都含有的因式叫多项式各项的公因式。②确定多项式的公因式的方法：一个多项式的公因式常常不止一个，通常，当多项式的各项系数都是整数时，公因式的系数取各项系数的最大公约数，字母应取各项相同的字母，且各字母的指数取次数最低的。③提公因式法：知识点3：运用公式法---平方差公式1、如图，数轴上A,B,C三点所表示的数分别为a,b,1(AC>BC).对于代数式甲：a-b,乙：a2-b2.下列判断正确的是（）A、甲一定是负数

B、乙一定是正数C、甲可能是正数D、乙可能是负数2、下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（）

A、a2+(-b)2

B、5m2-20mnC、-x2-y2D、-x2+93、把下列各式分解因式：(1)a2b2-9；(2)0.49x2-81y2；(3)a+1)2-(b-1)2.BD知识归纳：

（2）公式法逆向使用平方差公式、完全平方公式等乘法公式进行因式分解的方法叫作公式法.适合用平方差公式a2－b2＝(a＋b)(a－b)分解因式特点：是二次二项式；②两项都能写成平方式；③两项符号为异号。用平方差公式分解因式一般步骤：①两项都能写平方的形式，把正的平方项放在前面；②写成两数和乘以两数差的形式；③验证.2-1平方差公式知识点4：运用公式法---完全平方公式1、下列各式能用完全平方公式分解因式的是()A、x2+1B、x2+2x-1C、x2+x+1D、x2+4x+42、若关于x的多项式x2+mx+1可分解成(x+n)，则n等于()

A、±1

B、1C、-1D、23、已知x=y+4,则代数式x2-2xy+y2-25的值为

。DA-94、把下列各式分解因式：(1)(x-y)2-4(x-y)+4；(2)(m+n)2-6(m+n)+9.解：（1）原式=（x-y-2）2（2）原式=（m+n-3）2两项都能写平方和的形式，另一项写成平方式时底数积的2倍；写成完全平方的形式；③验证。

适合用完全平方公式a2±2ab＋b2＝（a±b）2分解因式特点：知识归纳：是二次三项式；②两项是同号且都能写成平方式，另一项恰好写成平方式时底数积的2倍。用完全平方公式分解因式一般步骤：2-2完全平方公式知识点5：因式分解的综合应用2、下面有三个结论:①两个连续的偶数的平方差一定是8的倍数；②两个连续的奇数的平方差一定是8的倍数；③任意一个个位数是5的整数平方后一定是25的倍，其中正确的是（

）A、①②B、①③

C、①②③D、②③1、下列分解因式的结果正确的是 (

)A、2a2-8b2=2(a+4b)(a-4)B、x2-6x+9=(x-3)2C、2m2-4mn+9n2=(2m-3n)2D、x(x-y)+y(y-x)=(x-y)(x+y)BD知识归纳：4、因式分解的步骤、要求：(1)如果多项式各项有公因式，应先提公因式，再进一步分解.(2)分解因式必须分解到每个多项式的因式都不能再分解为止.(3)因式分解的结果必须是几个整式的积的形式.即：“一提”、“二套”、“三查”特别强调“三查”，检查多项式的每一个因式是否还能继续分解因式，还可以用整式乘法检查因式分解的结果是否正确.总之，把一个多项式分解因式，应先提公因式，再运用公式.进行多项式因式分解时，必须把每一个因式都分解到不能再分解为止。三、问题研讨：例1、将下列多项式分解因式:(1)56x3yz+14x2y2z-21xy2z2；(2)5(x-y)3+10(y-x)2；(3)9(m+n)2-16(m-n)2；(4)16a4-72a2b2+81b4.解:(1)原式=7xyz(8x2+2xy-3yz).(2)原式=5(x-y)2(x-y+2).(3)原式=[3(m+n)+4(m-n)][3(m+n)-4(m-n)]=(7m-n)(7n-m).(4)原式=(4a2-9b2)2=(2a+3b)2(2a-3b)2.例2、数学小组在研究式子M2-N2时，发现当M,N是具有某种关联关系的两位数时，具有一定的运算规律:112-112=0①212-122=1×3×99②

322-232=1×5×99③422-242=2×6×99④根据上述规律解决下列问题:(1)填空:522-252=

×7×99；(2)若两位数M,十位上的数为a,个位上的数为b,写出你发现的规律,并加以证明；(3)小智发现某一式子M2-N2(M≠N)的结果恰好是一个整数的平方,直接写出M的值。解：（2）我发现的规律是：(10a+b)2-(10b+a)2=(a-b)×(a+b)×99.证明如下：(10a+b)2-(10b+a)2=[（10a+b）+(10b+a)]×[（10a+b）-(10b+a)]=11(a+b)×9(a-b)=(a-b)×(a+b)×993（3）因为M2-N2(M≠N)的结果恰好是一个整数的平方，

所以99(a-b)(a+b)是一个整数的平方.

因为99(a-b)(a+b)=9×11×(a-b)(a+b)，又因为1≤a,b≤9,所以a-b=1，a+b=11，解得a=6,b=5,所以M=10a+b=6×10+5=65.例3、已知△ABC的三边长分别是a,b,c.(1)若b2-c2+2ab-2ac=0,求证:△ABC是等腰三角形.(2)求证:a2+c2-b2-2ac<0.解：（1）∵△ABC的三边长分别是a,b,c,b2-c2+2ab-2ac=0,∴（b+c）(b-c)+2a(b-c)=0,∴（b-c）(b+c+2a)=0，∵b+c+2a≠0，∴b-c=0，∴b=c，∴△ABC是等腰三角形。(2)证明:∵a2+c2-b2-2ac=（a-c）2-b2=(a-c+b)(a-c-b)∵△ABC的三边长分别是a,b,c,∴a-c+b＞0，,a-c-b＜0∴a2+c2-b2-2ac<0.例4、阅读与思考：整式乘法与因式分解是方向相反的变形.

由(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq,得x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q),

利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式.例如：将式子x2+3x+2分解因式。分析：这个式子的常数项2=1×2,一次项系数3=1+2，

所以x2+3x+2=x2+(1+2)x+1×2.解：x2+3x+2=(x+1)(x+2).

请仿照上面的方法,解答下列问题：(1)分解因式：x2+7x+12=

；

(2)分解因式：(x2-3)2+(x2-3)-2；(3)填空：若x2+px-8可分解为两个一次因式的积，

则整数p的所有可能的值是

.(x+3)(x+4)原式=(x2-3-1)(x2-3+2)=(x2-4)(x2-1)=(x+2)(x-2)(x+1)(x-1)。(3)若x2十px一8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是-8+1=-7；-1十8=7；-2+4=2；-4+2=-2。±7，±2例5、先计算(1),(2),(3)再研究一下你的计算过程与结果，从中你能发现什么，最后再用你的发现计算第（4）题就方便了.⑴10×101

⑵1999×10001⑶20000×100001

⑷12999×30003000－3000×29992999＝1010＝19991999＝2000020000解：(1)原式

(2)原式(3)原式（4）原式＝12999×3000×10001-3000×2999×10001＝3000×10001×(12999-2999)＝3000×10001×10000＝300030000000四、拓展提高：【实践探究】小青同学在学习“因式分解”时，用如图①所示编号为A,B,C,D的四种长方体

各若干块，进行实践探究:(1)现取其中两个拼成如图②所示的大长方体,请根据体积的不同表示方法，

写出一个代数恒等式：

。【问题解决】(2)若要用这四种长方体拼成一个棱长为x+2y的正方体,其中B长方体和C长方体

各需要多少个?试通过计算说明理由.(x+y)y2=xy2+y3(x+2y)3=(x+2y)2(x+2y)=(x2+4xy+4y2)(x+2y)=x3+6x2y+12xy2+8y3,∵B长方体的体积是x2y，C长方体的体积是xy2，∴B长方体需要6个,C长方体需要12个【拓展延伸】(3)如图③,在一个棱长为y的正方体中挖出一个棱长为x的正方体,请根据体积的不同表示方法，直接写出y3-x3因式分解的结果，并利用此结果解决问题：已知a与2n分别是两个大小不同正方体的棱长,且a3-8n3=(a-2n)(4-4an),当a-2n为整数时，求an的值从整体看几何体的体积为y3-x3，将题图③几何体分割成三个部分的体积和,即(y-x)·y2+(y-x)·x2+(y-x)·xy=(y-x)(y2+xy+x2),∴a3-8n3=a3-(2n)3=(a-2n)(a2+2an+4n2).∵a3-8n3=(a-2n)(4-4an),∴a2+2an+4n2=4-4an，∴（a-2n)2=4-10an.∵a-2n为整数,a与2n分别是两个大小不同正方体的棱长,∴(a-2n)2与4-10an均为正整数.∴10an=1或10an=2或10an=3,∴an=0.1或an=0.2或an=0.3.∴y3-x3=(y-x)(y2+xy+x2)。五、强化训练：1、多项式①16x5-x；②(x-1)2-4(x-1)+4；

③(x+1)4-4x(x+1)2+4x2；④-4x2-1+4x。分解因式后，

结果含有相同因式的是()A、①②B、③④C、①④D、②③C2、下列从左到右的变形属于因式分解的是（

）A、（x+y)(x-y）＝x2-y2

B、2x-4y＝2（x-2y）C、x2-x+1＝x（x-1）+1

D、(a+b)(a-b）＝-（b-a)(b+a）3、不论a，b为何值，a2＋b2－2a＋4b＋5的值总是（

）A、非负数B、正数C、负数D、0BA4、计算：（1）40.22-39.82；（2）199.92＋2×19.99＋0.015、把下列各式分解因式（1）a2－a＋（2）a4－2a2b＋b2

（3）－9x2－24xy－16y2

（4）－x2＋8x－16（5）(a－b)2＋10(a－b)c＋25c2

（6）36(x－y