中考复习数学课件第6课一元二次方程的解法及应用

第6课一元二次方程的解法及应用 1.一元二次方程(1)定义：只含一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程；(2)解法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式：x＝

(b2－4ac≥0).1.解一元二次方程：(1)(用直接开方法)

x2－6＝0的解为____；(2)(用因式分解法)一元二次方程x2－2x＝0的解是_______________；±2x1＝0，x2＝2(3)(用配方法)x2－2x＝3；解：整理，得x2－2x＋1＝3＋1，即(x－1)2＝4，∴x－1＝±2.∴x1＝3，x2＝－1.解：2x2－3x＋1＝0，(4)(用公式法)2x2＋1＝3x.x＝

.∴x1＝1，x2＝

.2.一元二次方程根的判别式：Δ＝b2－4ac.(1)Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；(3)Δ＜0⇔方程无实数根；(4)Δ≥

0⇔方程有实数根.2.(2025广东)不解方程，判断一元二次方程2x2＋x－1＝0的根的情况是_________________________．.....

方程有两个不相等的实数根4.一元二次方程的应用常考类型及公式：(1)面积问题：S矩形＝长×宽，S△＝

×底×高；(2)增长率问题：原量×(1＋x)2＝新量，其中x是增长率，原量经过两年增长后得到新量；(3)互赠、握手问题：x人互赠：x(x－1)，x人两两握手：

x(x－1)；(4)营销问题：总利润＝单位利润×销售量

4.(2024牡丹江)一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为()A.20%B.22%C.25%D.28%C解：(1)x2－4x＋3＝0，

∴(x－1)(x－3)＝0. ∴x－1＝0或x－3＝0. ∴x1＝1，x2＝3.5.(1)解一元二次方程：x2－4x＋3＝0；(2)若直角三角形的两边长分别是(1)中方程的根，求第三边的长. 解：(2)当3是直角三角形的斜边长时，

当1和3是直角三角形的直角边长时，

第三边的长＝；

第三边的长＝. 综上所述，第三边的长为

或.6.设一元二次方程x2＋bx＋c＝0.在下列四组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程. ①b＝2，c＝1；②b＝3，c＝1；③b＝3，c＝－1；④b＝2，c＝2. 解：在x2＋bx＋c＝0中，a＝1，

①b＝2，c＝1时，Δ＝b2－4ac＝0，方程有两个相等的实数根；

②b＝3，c＝1时，Δ＝b2－4ac>0，方程有两个不相等的实数根；

③b＝3，c＝－1时，Δ＝b2－4ac>0，方程有两个不相等的实数根；

④b＝2，c＝2时，Δ＝b2－4ac<0，方程没有实数根；

因此可选择②或③.选择②b＝3，c＝1时，x2＋3x＋1＝0，

Δ＝b2－4ac＝32－4×1×1＝5>0，

选择③b＝3，c＝－1时，x2＋3x－1＝0，

Δ＝b2－4ac＝32－4×1×(－1)＝13>0，

x＝

，x1＝

，x2＝

；x＝

，x1＝

，x2＝

.解：设从2月份到4月份该景区游客人数的月平均增长率为x，依题意，得1.6(1＋x)2＝2.5，

解得x＝0.25＝25%(负值已舍掉).

答：从2月份到4月份该景区游客人数的月平均增长率为25%.7.随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人. (1)求从2月份到4月份该景区游客人数的月平均增长率．(2)预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？ 解：(2)设5月份后10天日均接待游客人数是y万人，依题意，得2.125＋10y≤2.5(1＋25%)，

解得y≤0.1. ∴5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人. 8.如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门(建在EF处，另用其他材料).(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640m2的羊圈？

解：(1)设矩形ABCD的边AB＝xm，则边BC为(72－2x)m.依题意，得x(72－2x)＝640. 解得x1＝16，x2＝20. 当x＝16时，72－2x＝40(m)；

当x＝20时，72－2x＝32(m). 答：当羊圈的长为40m，宽为16m或长为32m，宽为20m时，能围成一个面积为640m2的羊圈.(2)羊圈的面积能达到650m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由.解：(2)不能，理由如下：依题意，得x(72－2x)＝650. 化简，得x2－36x＋325＝0. ∵Δ＝(－36)2－4×325＝－4<0，

∴一元二次方程没有实数根. ∴羊圈的面积不能达到650m2. 9.若关于x的一元二次方程(m＋1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是(

)A.m<0且m≠－1B.m≥0 C.m≤0且m≠－1D.m<0 A10.(2025广东改编)关于x的方程x2＋mx－2＝0根的情况是

(

A.有两个不相等的实数根

B.有两个相等的实数根

C.只有一个实数根

D.没有实数根A11.(2024广东)若关于x的一元二次方程x2＋2x＋c＝0有两个相等的实数根，则c的值为____. 12.(2023眉山)已知方程x2－3x－4＝0的根分别为x1，x2，则(x1＋2)(x2

＋2)的值为____.

162022年版课标

了解一元二次方程的根与系数的关系13.(2024遂宁)已知关于x的一元二次方程x2－(m＋2)x＋

m－1＝0. (1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；(1)证明：依题意，得Δ＝[－(m＋2)]2－4×1×(m－1)

＝m2＋4m＋4－4m＋4＝m2＋8. ∵m2≥0，∴Δ>0.∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根. (2)如果方程的两个实数根为x1，x2，且

－x1x2＝9，求m的值. (2)解：∵方程x2－(m＋2)x＋m－1＝0的两个实数根为x1，x2，则x1＋x2＝m＋2，x1x2＝m－1. ∴(m＋2)2－3(m－1)＝9，整理，得m2＋m－2＝0. ∴(m＋2)(m－1)＝0.解得m1＝－2，m2＝1. ∴m的值为－2或1. ∵

－x1x2＝9，即(x1＋x2)2－3x1x2＝9，

214.一元二次方程x2－3x＋a＝0的一个解为x＝1，则a＝____.15.(2024广州)定义新运算：ab＝

例如：－2

4＝(－2)2－4＝0，2

3＝－2＋3＝1.若x1＝－

，则x的值为_________.⊗⊗⊗⊗16.(2021广东)若一元二次方程x2＋bx＋c＝0(b，c为常数)的两根x1，x2满足－3<x1<－1，1<x2<3，则符合条件的一个方程为_____________________. x2－4＝0(答案不唯一)17.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均1台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？ 解：设每轮感染中平均1台电脑会感染x台电脑，依题意，得1＋x＋x(1＋x)＝81，解得x1＝8，x2＝－10(舍去).第三轮被感染的电脑为81＋81×8＝729(台)，

∵729>700，∴3轮感染后，被感染的电脑会超过700台.答：每轮感染中平均1台电脑会感染8台电脑；3轮感染后，被感染的电脑会超过700台． 18.若关于x的一元二次方程(a＋2)x2＋x＋a2－4＝0的一个根是x＝0，则a的值为

(

)A.2B.－2C.2或－2D.

A21.小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是－2和－5.则原来的方程是

(

)A.x2＋6x＋5＝0B.x2－7x＋10＝0C.x2－5x＋2＝0D.x2－6x－10＝0 B23.一元二次方程x2－5x＋2＝0根的判别式的值是

(

)A.33B.23C.17D.24.(2025达州)已知关于x的方程x2＋mx－3＝0的一个根是1，则m的值为___．

C225.(2023重庆)电影《长津湖》上映后，某地第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达7亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为(

)A.2(1＋x)＝7B.2(1＋x)2＝7 C.2＋2(1＋x)2＝7D.2＋2(1＋x)＋2(1＋x)2＝7 D26.(2024泸州)已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋1－

k＝0无实数根，则函数y＝kx与函数y＝

的图象交点个数为

(

)A.0B.1C.2D.3 A27.(2024广州)关于x的方程x2－2x＋4－m＝0有两个不相等的实数根. (1)求m的取值范围；

(2)化简：

. 解：(1)依题意，得Δ＝(－2)2－4(4－m)>0，解得m>3. 解：(2)∵m>3，∴m－3>0.∴原式＝

＝－2.

28.阅读下面材料，并解答相关问题：

如图是一个三角点阵，从上向下数有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，…，第n行有n个点，…，容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10. (1)探索：三角点阵中前8行的点数之和为___，前15行的点数之和为_____，那么，前n

行的点数之和为_______. 36120(2)体验：三角点阵中前n行的点数之和_____(填“能”或“不能”)为500. 不能∵n为正整数，

∴三角点阵中前n行的点数之和不能为500. 故答案为不能