向量数量积的运算律课件-高一下学期数学苏教版

9.2.3.2向量数量积的运算律我们已经知道，很多运算都满足一定的运算律.例如，向量的加法满足交换律，数乘向量对加法满足分配律，即对任意向量a，b以及实数λ，有a＋b＝b＋a，λ(a＋b)＝λa＋λb.根据向量数量积的定义，向量数量积的运算满足哪些运算律？探究1

利用向量数量积的定义，试证明：(1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝a·(λb)＝λ(a·b)＝λa·b.当a，b有一个为零向量时，(1)(2)显然成立；当a，b均不为零向量时，设向量a与b的夹角为θ，由于a·b＝|a||b|cosθ，b·a＝|b||a|cosθ，∴a·b＝b·a.当λ＝0时，(2)显然成立.当λ>0时，λa与b的夹角为θ，a与λb的夹角为θ，则有(λa)·b＝|λa||b|cosθ＝λ|a||b|cosθ，a·(λb)＝|a||λb|cosθ＝λ|a||b|cosθ，∴(2)成立.当λ<0时，λa与b的夹角为π－θ，a与λb的夹角为π－θ，则有(λa)·b＝|λa||b|cos(π－θ)＝－λ|a||b|cos(π－θ)＝λ|a||b|cosθ，a·(λb)＝|a||λb|cos(π－θ)＝－λ|a||b|cos(π－θ)＝λ|a||b|cosθ，∴(2)成立.综上所述，(1)(2)恒成立.探究2

利用投影的概念，试证明(a＋b)·c＝a·c＋b·c.设AA1⊥OC于A1，BB1⊥OC于点B1，即(a＋b)·c＝a·c＋b·c.对点O，A1，B1，C的其他排列顺序，上式仍成立.当点O，A1，B1，C按从左到右的顺序排列时(如图)，有讨论：下列结论是否正确，并说明理由.(1)(a·b)c＝a(b·c)；(2)若a·c＝b·c，则a＝b.(1)左边表示与c共线的向量，右边表示与a共线的向量，当a与c不共线时，显然不成立，故(1)不正确.(2)由a·c＝b·c，得(a－b)·c＝0，∴a－b＝0(即a＝b)或c＝0或(a－b)⊥c，∴(2)不正确.

类比多项式的乘法公式，写出下表中的平面向量数量积的运算性质.多项式乘法向量数量积(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2(a＋b)2＝______________(a－b)2＝a2－2ab＋b2(a－b)2＝a2－2a·b＋b2(a＋b)(a－b)＝a2－b2(a＋b)·(a－b)＝_________(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·aa2＋2a·b＋b2a2－b2∵a，b不共线，∴|a|，|b|，|a－b|组成三角形，∴|a|－|b|＜|a－b|成立例1(多选)设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论，正确的是()A.a·c－b·c＝(a－b)·cB.(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直C.｜a｜－｜b｜＜｜a－b｜D.(3a＋2b)·(3a－2b)＝9｜a｜2－4｜b｜2∵[(b·c)·a－(c·a)·b]·c＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，∴(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直.ACD例2已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|.

例2已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.(2)求|a＋b|.

求向量a，b的夹角θ的思路归纳总结例3已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，a＝3e1－2e2，b＝2e1－3e2.求证：(a＋b)⊥(a－b).

根据本节课内容，回答下列问题：1.向量数量积远算律有哪些？2.说说求向量a，b的夹角θ的步骤.

BC3.已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则在下列向量中，与向量a－b的夹角为锐角的向量有(

)A.－aB.a＋b