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文档简介

2.1.2空间两点间的距离

距离是几何空间基本的度量，给定了空间两点的坐标，就确定了它们的位置，也就确定了它们的距离．怎样根据它们的坐标求它们的距离?1.数轴上两点间的距离是

．2.平面内任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离为

.两点的坐标之差的绝对值问题1：如图，若已知一个长方体的长、宽、高分别为a，b，c．如何它的对角线的长度？我们先来看看如何求一个长方体的对角线的长度.

点C的坐标为(x1，y2，z1)，

点D的坐标为(x2，y2，z1)．问题2：对于空间任意两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，我们以AB为对角线在空间直角坐标系O-xyz中作长方体，且长方体的所有棱分别与坐标轴平行，如图．能否确定顶点C，D的坐标？

|AC|=|y2－y1|，|CD|=|x2－x1|，|DB|=|z2－z1|．因此|，长方体的对角线，即A，B两点间的距离

问题3

在确定了顶点C，D的坐标后，那么长方体的长、宽、高分别为多少？长方体的对角线AB的长度为多少？空间两点的距离公式：

对于空间任意两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则A，B两点间的距离为特别地，原点O到空间中任意一点P(x，y，z)的距离为要点归纳

√

2.如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1，A1C的中点E到AB的中点F的距离为

.

例1

已知P(1，0，1)与Q(4，3，－1)．

（1）求原点O到点Q的距离|OQ|；

（2）求点P，Q之间的距离；

（3）在z轴上求一点M，使|MP|=|MQ|．解：（1）由原点到空间任一点的距离公式得例1

已知P(1，0，1)与Q(4，3，－1)．

（2）求点P，Q之间的距离；

（3）在z轴上求一点M，使|MP|=|MQ|．解：（2）由空间两点间的距离公式得

例1

已知P(1，0，1)与Q(4，3，－1)．（3）在z轴上求一点M，使|MP|=|MQ|．提示：解决此类问题，往往先设出待求点的坐标，根据题中条件和距离公式建立已知和未知之间的关系式，进而求解.解：（3）设点M的坐标为(0，0，z)，则又|MP|=|MQ|，所以z2-2z+2=z2+2z+26，解得z=-6.因此所求点M的坐标为(0，0，-6).3.在空间直角坐标系O-xyz中，y轴上的点M到点A(1，0，2)与到点B(2，2，1)

的距离相等，则点M的坐标是A.(0，-1，0) B.(0，1，0)C.(0，0，1) D.(2，0，0)

√4.已知A(x，2，1－x)，B(1，x，2)，求线段AB长度的最小值．解：依题意，得

例2

求证∶以M1(4，3，1)，M2(7，1，2)，M3(5，2，3)三点为顶点的三角形是等腰三角形．证明：因为所以|M1M3|=|M2M3|因此∆M1M2M3是等腰三角形5.已知点A(1，-2，11)，B(4，2，3)，C(6，-1，4)，则△ABC的形状是A.等腰三角形 B.等边三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形√

1.知识清单：(1)空

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