2026届新高考数学热点考前冲刺复习 数列的奇偶项问题

第5讲数列的奇偶项问题2026届新高考数学热点考前冲刺复习数列的奇偶项问题数列的奇偶项问题主要考查学生的综合运算能力与探究问题能力，考查形式既有小题，也有解答题，解决此类问题的难点在于搞清数列中奇数项和偶数项各自的首项、项数、公差或公比等，特别注意分类讨论思想在解题中的灵活运用.考点一数列中相邻两项和或积的问题

【例1】

（2025·广东清远二模）已知数列{an}的首项为a1＝4，且满足an

＋1＋an＝6×5n（n∈N*）.（1）求证：{an－5n}是等比数列；

（2）求数列{an}的前n项和Sn.

【规律方法】（1）构造隔项等差数列：an＋1＋an＝pn＋q（p，

q≠0）⇒an＋2＋an＋1＝p（n＋1）＋q，两式相减得an＋2－an＝p；

【训练1】已知数列{an}满足a1＝1，anan＋1＝9n，n∈N*.（1）求数列{an}的通项公式；

考点二含有（－1）n的类型

（2）设bn＝（－1）n·（Sn＋an），求数列{bn}的前2n项和T2n.

【规律方法】通项中含有（－1）n的情形（1）等差数列的通项公式乘以（－1）n，用并项求和法求数列的前n

项和；（2）等比数列的通项公式中含有（－1）n，其前n项和可写成分段的形

式，可求最值.【训练2】（2025·陕西咸阳二模）已知等差数列{an}的公差为2，且

a2，a3，a5－1成等比数列，记Sn为数列{bn}的前n项和，且4Sn＝3bn＋2.（1）求{an}，{bn}的通项公式；

（2）设cn＝（－1）n－1anbn，求数列{cn}的前n项和Tn.

（1）求{an}的通项公式；

（2）证明：当n＞5时，Tn＞Sn.

【规律方法】对于递推关系分奇偶不同的数列，可以利用a2n，a2n－1及

a2n－1，a2n－2，推导出偶数项递推关系，求出偶数项的通项公式，通过

a2n，a2n－1的关系再推出奇数项的通项公式.求Sn时，可以先把a2n＋a2n－1

看作一项，求出S2k，再求S2k－1＝S2k－a2k.

（1）当a4＝6时，求数列{bn}的通项公式；

（2）若2

000＜S16＜2

510，求a1的取值范围.解：

当a1＋3＝0时，bn＋3＝a2n－1＋3＝0，∴a2n－1＝－3，a2n＝－3＋1＝－2，S16＝8×（－5）＝－40，不合题意，

∴a1＋3≠0.由（1）得{bn＋3}构成以a1＋3为首项，2为公比的等比数列，∴bn＋3＝

（a1＋3）·2n－1.由题意得a2n＝a2n－1＋1，∴S16＝（a1＋a3＋…＋a15）＋（a2＋a4＋…＋a16）＝（a1＋a3＋…＋

a15）＋（a1＋1）＋（a3＋1）＋…＋（a15＋1）

突破点数列奇偶项新视角【例4】已知数列{an}是公差不为0的等差数列，a4＝5，且a1，a3，a7成

等比数列.（1）求数列{an}的通项公式；

【易错提醒】注意项数及最后一项的符号【规律方法】当已知条件中含有三角函数时，需等价转化，常用的三角

函数等价转化有：①cos

nπ＝（－1）n；

（1）求证：{bn}是等比数列；

【训练4】

（2025·黑龙江哈尔滨二模）已知数列{an}满足a1＝5，an＋1－

2an＝3n（n∈N*），记bn＝an－3n.

真题体验

（1）记bn＝a2n，写出b1，b2，并求数列{bn}的通项公式；

（2）求{an}的前20项和.

即a2k＝a2k－1＋1，

①a2k＋1＝a2k＋2，

②a2k＋2＝a2k＋1＋1＝a2k＋1＋1，即a2k＋2＝a