2026年广州中考数学二轮复习讲练测热点02 方程与不等式的解法与应用（热点专练）（解析版）

热点02方程与不等式的解法与应用

热点聚焦方法精讲能力突破

第一部分热点聚焦·析考情聚焦中考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。

第二部分题型引领·讲方法纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。

题型01二元一次方程组的解法

题型02分式方程的解法

题型03不等式（组）的解法

题型04一元二次方程中含参数问题

题型05不等式（组）中含参数问题

题型06二元一次方程组的应用

题型07一元二次方程的应用

题型08分式方程的应用

题型09不等式（组）的应用

第三部分能力突破·限时练精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。

近三年：根据近几年广州中考试题，“方程与不等式的解法与应用”部分的考试方向是突出基础性与工具

性。试题严格依据课标，注重对核心概念和基本解法的考查，并高度关注数学建模与实际应用，常结合生

活情境（如行程、利润、配套问题）或广州本土文化背景设计应用题。在题型上，该板块分布广泛：选择

题和填空题常考查不等式的基本性质、不等式组解集的数轴表示、分式方程增根检验以及方程与函数的简

单综合；解答题中，第17-18题位置几乎每年必考方程（组）或不等式（组）的求解；此外，应用题也常

以方程（组）或不等式为载体，考查学生建模能力。

预测2026年：2026年的考试方向将延续“素养立意”，更加注重在真实情境和跨学科背景下考查学生的

模型观念与应用意识。试题可能进一步创新设问方式，例如将方程与不等式结合，设计方案决策或最优化

问题。考试题型预计保持稳定：选择题中仍会出现对不等式性质的辨析或方程解的判断；填空题可能涉及

利用方程解决简单几何问题；解答题大概率继续考查方程（组）或分式方程的解法，而实际应用题则很可

能结合最新时事（如科技发展、绿色出行）呈现，重在检验学生将实际问题抽象为方程（组）或不等式模

型并求解的能力。

题型01二元一次方程组的解法

解｜题｜策｜略

1.灵活选择消元法：根据方程组特征选择方法。若同一未知数系数互为相反数或相等，优先用加减消元

法；否则可用代入消元法，将其中一个方程变形代入另一方程求解。

2.规范求解步骤：按“消元—解一元一次方程—回代求另一未知数”的流程操作，确保每一步计算准确。

3.注意检验结果：将求得的解代入原方程组进行检验，看是否满足每个方程，避免计算失误。

2xy1

例1（2025·广东广州·三模）解方程组：

x

2y2

x0

【答案】．

y1

【分析】此题考查了解二元一次方程组．方程组利用加减消元法求出解即可．

2xy1①

【详解】解：，

x2y2②

①2②，得3x0，

解得x0，

将x0代入②得y1，

x0

方程组的解为．

y1

5x2y2①

例2（2025·广东广州·三模）解方程组：

x3y3②

x0

【答案】

y1

【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，直接利用加减消元法解方程组即可．

5x2y2①

【详解】解：

x3y3②

①3②2得：17x0，解得x0，

把x0代入①得：02y2，解得y1，

x0

∴原方程组的解为．

y1

xy1

【变式1】（2025·广东广州·二模）解方程组：

4xy4

x1

【答案】

y0

【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，理解二元一次方程组的解法是解答关键．

由②-①求出x的值，再将x的值代入②中求出y即可求解．

xy1①

【详解】解：

4xy4②

由②-①得：5x5，

解得：x1，

将x1代入②得：4y4，

解得：y0，

x1

故原方程组的解为．

y0

5xy6

【变式2】（2025·广东广州·二模）解方程组：．

2xy8

x2

【答案】

y4

【分析】本题主要考查了求二元一次方程组的解，解题的关键是熟练掌握求二元一次方程组的解的步骤．

利用求二元一次方程组的解的步骤进行求解即可．

5xy6①

【详解】解：

2xy8②

①②得7x14，

解得x2，

将x2代入①得，

y6524，

x2

所以原方程组的解为．

y4

题型02分式方程的解法

解｜题｜策｜略

1.去分母转化为整式方程：先确定最简公分母，若分母是多项式则需因式分解；方程两边同时乘最简公

分母，注意不要漏乘常数项或整式部分。

2.规范求解与符号处理：去括号时若括号前是负号，括号内每一项均要变号；按解整式方程的步骤求解

后，需将解代入最简公分母检验。

3.务必检验根的情况：代入最简公分母检验，若其值不为0则是原方程的解；若为0则是增根需舍去，

确保答案正确。

23

例1（2025·广东广州·二模）解方程0．

xx2

【答案】x4

【分析】本题考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤解答即可求解，掌握解分式方程的步骤是解题的

关键．

【详解】解：方程两边乘以xx2，得2x23x0，

解得x4，

检验：当x4时，xx2442240，

∴x4是原方程的解．

32

例2（2025·广东广州·二模）解方程：．

2xx1

【答案】x3

【分析】本题主要考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求

解．解分式方程一定注意要验根．

分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

【详解】解：去分母得：3x34x，

解得：x3，

经检验x3是分式方程的解，

所以原方程的解为x3．

2x

【变式1】（2024·广东广州·模拟预测）解方程：2

x33x

【答案】x8

【分析】本题考查了解分式方程，先去分母，将分式方程化为整式方程，再进行计算，最后进行检验即可．

2x

【详解】解：2，

x33x

2x

2，

x3x3

2x2x6，

x2x62，

x8，

x8．

经检验，x8是原分式方程的解，

∴原分式方程的解为x8．

14

【变式2】（2025·广东广州·二模）解方程：0

x2x2x2

【答案】无解

【分析】本题考查了解分式方程，去分母把分式方程化为整式方程，解整式方程并检验即可．

14

【详解】解：0

x2x2x2

去分母得到，x240

解得x2，

当x2时，x2x20

∴x2是增根，分式方程无解

题型03不等式（组）的解法

解｜题｜策｜略

1.规范求解步骤：解一元一次不等式时，按去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤进

行，特别注意系数化为负数时不等号方向要改变。

2.借助数轴定解集：解不等式组时，先分别求出每个不等式的解集，再在数轴上表示，根据“同大取大、

同小取小、大小小大中间找、大大小小无处找”的口诀确定公共部分。

3.结合图像解综合题：对于与函数结合的不等式问题，运用“要解不等关系先解相等关系”的思路，通

过函数图像交点确定取值范围。

x20

例1（2025·广东广州·三模）解不等式组：2x1

3

3

【答案】2x4

【分析】本题考查求不等式组的解集，分别求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分即为不等式组

的解集．

x20①

【详解】解：2x1，

3②

3

由①，得：x2；

由②，得：x4；

∴不等式组的解集为2x4．

3x24x

例2（2025·广东广州·三模）解不等式组：2x1

x1

3

【答案】x1

【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取

小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

分别求出不等式组中两个不等式的解集，找出两解集的公共部分，来确定出不等式组的解集．

3x24x

【详解】解：∵2x1

x1

3

3x2x4①

∴，

2x13x3②

解不等式①得：x1，

解不等式②得：x4，

不等式组的解集为x1．

2x1

【变式1】（2025·广东广州·中考真题）解不等式组，并在数轴上表示解集．

4x3x9

1

【答案】x4，画图见解析

2

【分析】本题考查解不等式组和用数轴表示不等式组的解集，需要注意用数轴表示解集的时候实心点和空

心点的区别．分别求出每一个不等式的解集，根据数轴，确定不等式组的解集即可．

2x1①

【详解】解：，

4x3x9②

1

由①得：x，

2

由②得：x4，

将不等式组的解集表示在数轴上如下：

1

则不等式组解集为x4．

2

2x1x3

【变式2】（2025·广东广州·二模）解不等式组，并在数轴上表示解集

2x5

【答案】1x2.5，见解析

【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，先求出每个不等式的解集，

再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再在数

轴上表示出不等式组的解集即可．

2x1x3①

【详解】解：

2x5②

解不等式①得：x1，

解不等式②得：x2.5，

∴原不等式组的解集为1x2.5，

数轴表示如下所示：

题型04一元二次方程中含参数问题

解｜题｜策｜略

1.紧扣判别式定范围：根据方程根的情况（两个不等实根、相等实根、无实根），利用判别式Δ=b²-4ac

建立不等式或等式，求出参数的取值范围。

2.结合根与系数关系：运用韦达定理（x₁+x₂=-b/a，x₁·x₂=c/a）表示含参数的对称式，再代入条件

求解。

3.注意分类讨论思想：当二次项系数含参数时，需先讨论系数是否为0（分一元一次方程和一元二次方

程两种情况），再运用判别式求解。

例1（2025·广东广州·二模）若关于x的一元二次方程m9x26x10有两个不相等的实数根，则m的

取值范围是________．

【答案】m0且m≠-9

【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义可得

2

m90，再由判别式可得64m90，据此求解即可．

【详解】解：∵关于x的一元二次方程m9x26x10有两个不相等的实数根，

m90

∴2，

Δ64m90

∴m0且m≠-9，

故答案为：m0且m≠-9．

例2（2025·广东广州·模拟预测）关于x的一元二次方程x26x3k0有两个不相等的实数根，则k的取值

范围是______．

【答案】k3

2

【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，根据题意得6413k0，求解得出k的取值范

围即可．

【详解】解：∵关于x的一元二次方程x26x3k0有两个不相等的实数根，

2

∴6413k0，

解得，k3，

故答案为：k3．

【变式1】（2024·广东广州·二模）已知x1是关于x的方程1kx2k2x10的根，则常数k的值为

________．

【答案】0或1

【分析】本题考查了方程的解，解一元二次方程．

先将x1代入1kx2k2x10求出关于k的一元二次方程，再因式分解法求解即可．

【详解】∵x1是关于x的方程1kx2k2x10的根，

∴1kk210，

即kk10，

解得k10，k21

故答案为：0或1．

【变式2】（2024·广东深圳·三模）对于字母m、n，定义新运算m☆nmnmn，若方程x23x10的

解为a、b，则a☆b2的值为__________．

【答案】6

【分析】本题考查一元二次方程的根与系数关系．判断出ab3，ab1，再根据新定义计算即可．

【详解】解：方程x23x10的解为a、b，

ab3，ab1，

∴a☆b2abab21326．

故答案为：6．

题型05不等式（组）中含参数问题

解｜题｜策｜略

1.借助数轴定范围：将含参不等式（组）的解集在数轴上直观表示，根据“覆盖区间”确定参数的位置，

利用数形结合列出关于参数的不等式。

2.抓住临界点讨论：重点关注不等式取等号的临界值，验证该点是否满足题意。当参数取值变化导致不

等号方向改变时，需分类讨论。

3.转化为方程求解：根据已知解集或整数解的个数，将参数问题转化为方程问题，建立关于参数的等式

或不等式组，再求解。

例1（2025·广东广州·模拟预测）关于x的不等式m3xm3的解集如图所示，则m的取值范围是______．

【答案】m3

【分析】本题考查根据不等式的解集求参数的范围，用数轴表示不等式的解集，由数轴可知，不等式的解

集为：x1，进而得到m30，即可得出结果．

【详解】解：由图可知：不等式的解集为：x1，

∴m30，

∴m3；

故答案为：m3．

xm

例2（2025·广东惠州·二模）若关于x的不等式组无解，则m的取值范围为___________．

2x14

【答案】m1

【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先求出不等式中对应不等式的解集，再根据大

大小小找不到（无解）的口诀求解即可．

xm①

【详解】解：

2x14②

解不等式②得：x1，

∵原不等式组无解，

∴m1，

故答案为：m1．

2x1x1,

【变式1】（2025·广东韶关·一模）若关于x的不等式组的解集为x1，则a的取值范围是

3x2x2a

______．

1

【答案】a

2

【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集求参数，先求出不等式组中两个不等式的解集，再根据不等

式组的解集列出关于a的不等式，解不等式即可得到答案．

2x1x1①

【详解】解：

3x2x2a②

解不等式①得：x1，

解不等式②得：x2a，

2x1x1,

∵关于x的不等式组的解集为x1，

3x2x2a

∴2a1，

1

∴a，

2

1

故答案为：a．

2

xm0

【变式2】（2024·广东梅州·模拟预测）若关于x的不等式组的所有整数解的和是12，则m的取

112x1

值范围是____________．

【答案】2m3或3m2

【分析】本题主要考查一元一次不等式组的解集、整数解，根据整数解和解集确定待定字母的取值范围，

在确定的过程中，不等号的选择应认真细心，切实选择正确．解不等式组得出解集，根据整数解的和为12，

可以确定整数解为①5，4,3或②5，4，3，2，1，0，1,2,，再根据解集确定m的取值范围即可．

xm0

【详解】解：解不等式组，

112x1

解得：mx5，

∵所有整数解的和是12，且12543或1254321012

∴不等式组的整数解为①5，4,3或②5，4，3，2，1，0，1,2,

∴2m3或3m2；

故答案为：2m3或3m2．

题型06二元一次方程组的应用

解｜题｜策｜略

1.审题找等量关系：仔细阅读题目，抓住关键语句，找出表示等量关系的词语（如“共”、“比……多/

少”、“是……的几倍”等），设出未知数。

2.列方程组求解：根据找到的等量关系列出方程组，选择代入消元法或加减消元法准确求解，注意单位

统一。

3.检验答案合理性：将解代入原方程检验，并结合实际情境判断是否符合题意（如数量应为正整数、价

格应为正数等）。

例1（2025·广东广州·模拟预测）陈塘关正遭受海夜叉的黑暗能量侵袭，哪吒需要启动两种法器凝聚能量：

2个“乾坤圈”和5个“风火轮”同时运转1小时，可凝聚32单位净化能量；3个“乾坤圈”和2个“风火轮”联合

运转1小时，能产生26单位净化能量．

(1)单个“乾坤圈”和单个“风火轮”每小时各能产生多少单位净化能量？

(2)结界需要450单位能量才能完全净化．若哪吒一次最多能启动18个法器（“乾坤圈”和“风火轮”），法器

持续运转5小时，问哪吒最少要启动几个“乾坤圈”才能完全净化结界？

【答案】(1)单个“乾坤圈”每小时各能产生6单位净化能量，单个“风火轮”每小时各能产生4单位净化能量

(2)9个

【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关

系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．

（1）设单个“乾坤圈”每小时凝聚x单位净化能量，单个“风火轮”每小时凝聚y单位净化能量，根据题意列

出方程组，解方程，即可求解；

（2）设哪吒启动m个“乾坤圈”，则启动18m个“风火轮”，根据5个小时至少产生450单位能量，可列

出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．

【详解】（1）解：设单个“乾坤圈”每小时凝聚x单位净化能量，单个“风火轮”每小时凝聚y单位净化能量，

2x5y32

根据题意得：，

3x2y26

x6

解得：

y4

答：单个“乾坤圈”每小时能凝聚6单位净化能量，单个“风火轮”每小时能凝聚4单位净化能量；

（2）解：设哪吒启动m个“乾坤圈”，则启动18m个“风火轮”，

根据题意得：56m418m450，

解得：m9，

∴m的最小值为9，

答：哪吒最少要启动9个“乾坤圈”才能完全净化结界．

例2（2024·广东广州·一模）某科创公司计划投入一笔资金购进A，B两种型号的芯片．已知购进2片A型

芯片和1片B型芯片共需900元，购进1片A型芯片和3片B型芯片共需950元．

(1)求购进1片A型芯片和1片B型芯片各需多少元？

(2)若该科创公司计划购进A，B两种型号的芯片共10万片，根据生产的需要，购进A型芯片的数量不低于

B型芯片数量的4倍，问该公司如何购买芯片所需资金最少？最少资金是多少万元？

【答案】(1)购进1片A型芯片需350元，购进1片B型芯片需200元；

(2)该公司购买A型芯片8万片，B型芯片2万片所需资金最少,最少资金是3200万元．

【分析】本题考查了二元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的实际应用，正确理解题意，

找出数量关系是解题关键．

（1）设购进1片A型芯片需x元，购进1片B型芯片需y元，根据“购进2片A型芯片和1片B型芯片共需

900元，购进1片A型芯片和3片B型芯片共需950元”列二元一次方程组求解即可；

（2）设购进A型芯片的数量为a万片，则购进B型芯片数量为10a万片，根据“购进A型芯片的数量不

低于B型芯片数量的4倍”列不等式，求出a的取值范围，令购买芯片所需资金为w，根据题意得到w关于a

的一次函数，利用一次函数的增减性求解即可．

【详解】（1）解：设购进1片A型芯片需x元，购进1片B型芯片需y元，

2xy900x350

由题意得：，解得：，

x3y950y200

答：购进1片A型芯片需350元，购进1片B型芯片需200元；

（2）解：设购进A型芯片的数量为a万片，则购进B型芯片数量为10a万片，

由题意得：a410a，

解得；a8，

令购买芯片所需资金为w，

则w350a20010a150a2000，

1500，

w随a的增大而增大，

当a8时，w最小，最小值为150820003200万元，

10a2万片，

答：该公司购买A型芯片8万片，B型芯片2万片所需资金最少,最少资金是3200万元．

【变式1】（2025·广东广州·二模）某超市将购进的糯米咸鹅蛋和肉粽进行组合销售，有A、B两种组合方

式，其中A组合有4枚糯米咸鹅蛋和6个肉粽，B组合有6枚糯米咸鹅蛋和10个肉粽，A、B两种组合的进

价和售价如表：

价格AB

进价（元/件）94146

售价（元/件）120188

(1)求每枚糯米咸鹅蛋和每个肉粽的进价分别为多少？

(2)根据市场需求，超市准备的B种组合数量是A种组合数量的3倍少5件，且两种组合的总件数不超过95件，

假设准备的两种组合全部售出，为使利润最大，该超市应准备多少件A种组合？最大利润为多少？

【答案】(1)每枚糯米咸鹅蛋的进价是16元，每个肉粽的进价是5元

(2)为使利润最大，该超市应准备25件A种组合，最大利润为3590元

【分析】1设每枚糯米咸鹅蛋的进价为x元，每个肉粽的进价为y元，根据A，B两种组合的进价，列出

二元一次方程组，解之即可得出结论；

2设该超市准备m件A种组合，则该超市准备3m5件B种组合，根据准备的两种组合的总件数不超过95

件，列出关于m的一元一次不等式，解之得出m的取值范围，再设该超市准备的两种组合全部售出后获得

的总利润为w元，利用总利润每件A组合的销售利润准备数量每件B组合的销售利润准备数量，列

出w关于m的函数关系式，然后利用一次函数的性质，即可解决最值问题．

【详解】（1）解：设每枚糯米咸鹅蛋的进价为x元，每个肉粽的进价为y元，

4x6y94

根据题意得：，

6x10y146

x16

解得：，

y5

答：每枚糯米咸鹅蛋的进价为16元，每个肉粽的进价为5元；

（2）设该超市准备m件A种组合，则该超市准备3m5件B种组合，

根据题意得：m3m595，

解得：m25，

设该超市准备的两种组合全部售出后获得的总利润为w元，

则w12094m1881463m5152m210，

1520，

w随m的增大而增大，

当m25时，w取得最大值，最大值152252103590．

答：为使利润最大，该超市应准备25件A种组合，最大利润为3590元．

【变式2】（2025·广东广州·三模）学校决定按年级开展师生研学活动，该校八年级师生共580人将参加研

学活动，计划租用12辆大客车，现有甲、乙两种型号的大客车，它们的满座载客量和租车费用如表：

甲型号大客车乙型号大客车

满座载客量（人/辆）5535

租车费用（元/辆）1200800

(1)若租用的12辆大客车恰好能一次将八年级师生送到研学基地，求应分别租用甲、乙型号的大客车多少辆？

(2)设租用甲型号大客车x辆，租车总费用为y元，当租用甲型号大客车多少辆时，租车的总费用最少，最少

费用是多少？

【答案】(1)租用甲型号大客车8辆，租用乙型号大客车4辆；

(2)租用甲型号大客车8辆时，租车的总费用最少，最少费用是12800元．

【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，掌握相关知识的

应用是解题的关键．

ab12

（1）设租用甲型号大客车a辆，租用乙型号大客车b辆，根据题意得，然后解方程即可；

55a35b580

（2）根据题意列关于x的一元一次不等式并求其解集，写出y关于x的函数关系式，根据一次函数的增减

性和x的取值范围，确定当x取何值时y值最小，求出其最小值即可．

【详解】（1）解：设租用甲型号大客车a辆，租用乙型号大客车b辆，

ab12

根据题意，得，

55a35b580

a8

解得，

b4

答：租用甲型号大客车8辆，租用乙型号大客车4辆；

（2）解：租用乙型号大客车12x辆，

根据题意，得55x3512x580，

解得x8，

∴8x12，

y1200x80012x400x9600，

∵400>0，

∴y随x的增大而增大，

∴当x8时，y值最小，为4008960012800，

答：当租用甲型号大客车8辆时，租车的总费用最少，最少费用是12800元．

题型07一元二次方程的应用

解｜题｜策｜略

1.审题建模找等量关系：仔细阅读题目，抓住关键词（如“增长”、“下降”、“面积”、“利润”等），

设出未知数，根据问题情境建立一元二次方程模型。

2.正确列方程并求解：增长率问题通常可列形如a(1x)2=b的方程；面积问题常结合几何图形公式列

方程；选择合适方法（因式分解法、公式法等）准确求解。

3.检验解的合理性：求出方程的解后，务必代入原题±检验，舍去不符合实际意义的解（如增长率不能为

负、边长不能为负等）。

例1（2025·广东广州·二模）某中学开展“莲韵文化”手工实践活动，同学们制作不同工艺等级的莲花灯．基

础款为第1级，每盏利润10元，每天可制作50盏．每提升1个工艺等级，单盏利润增加2元，日产量减

少4盏．

(1)若某天手工社团获得总利润588元请问他们制作的是第几个工艺等级的莲花灯（工艺等级从第1级开始

依次递增）？

(2)若社团希望获得最大日利润，应选择第几工艺等级？此时最大日利润是多少元？

【答案】(1)他们制作的是第3个工艺等级的莲花灯

(2)社团希望获得最大日利润，应选择第5工艺等级，最大利润为612元

【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，正确的列出方程和函数解析式，是解

题的关键：

（1）设他们制作的是第x个工艺等级的莲花灯，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即

可；

（2）设总利润为w，选择第m个工艺等级，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式，求

最值即可．

【详解】（1）解：设他们制作的是第x个工艺等级的莲花灯，由题意，得：

102x1504x1588，

13

解得：x3或x（不合题意，舍去）；

2

答：他们制作的是第3个工艺等级的莲花灯；

（2）设总利润为w，选择第m个工艺等级，由题意，得：

2

w102m1504m18m76m432，

7619

∴当m时，函数取的最大值，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，

164

∵m为整数，

∴m4时，w842764432608；

m5时，w852765432612；

故社团希望获得最大日利润，应选择第5工艺等级，最大利润为612元．

例2（2024·广东广州·一模）某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，

这种淡水鱼的日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）（30x48）存在一次函数关系，部分数据如

下表所示：

销售价格x（元/千克）3545

日销售量y（千克）250150

(1)试求出y关于x的函数表达式；

(2)当该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为2000元时，请求出销售价格．

【答案】(1)y10x600

(2)40

【分析】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用；

（1）根据表格数据，待定系数法求解析式，即可求解；

（2）根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解．

【详解】（1）解：设y关于x的函数表达式为ykxb，将35,250，45,150代入，得

35kb250

，

45kb150

k10

解得：，

b600

∴y10x600；

（2）解：依题意，x30y2000，

即x3010x6002000，

解得：x40或x50（舍去）

答：销售价为40元/千克．

【变式1】（2024·广东广州·模拟预测）今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为主

题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附

近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了

1小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍．

(1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？

(2)乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小时

（a0），乙骑车时间比甲开车时间多a小时，求a的值．

【答案】(1)甲开车的平均速度是40千米/小时，步行的平均速度是4千米/小时

1

(2)a的值为

2

【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用．

（1）设甲步行的平均速度是x千米/小时，则甲开车的平均速度是10x千米/小时，利用时间路程速度，

结合甲到达目的地共花了1小时，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出甲步行的平均速度，再

将其代入10x中，即可求出甲开车的平均速度；

（2）利用路程速度时间，可列出关于a的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．

【详解】（1）设甲步行的平均速度是x千米/小时，则甲开车的平均速度是10x千米/小时，

202

根据题意得：1，

10xx

解得：x4，

经检验，x4是所列方程的解，且符合题意，

10x10440（千米/小时）．

答：甲开车的平均速度是40千米/小时，甲步行的平均速度是4千米/小时；

20

（2）根据题意得：(48a)(a)8，

40

1

即(a)21，

2

13

解得：a，a（不符合题意，舍去）．

1222

答：a的值为1．

2

【变式2】（2024·广东广州·二模）为满足市场需求，某超市购进一种水果，每箱进价是40元．超市规定每

箱售价不得少于45元且不得多于55元，根据以往经验发现：当售价定为每箱45元时，每天可以卖出700

箱．每箱售价每提高1元，每天要少卖出20箱．

(1)如果超市想要每天获得的利润为5120元，则售价定为多少元？

(2)当每箱售价定为多少元时，每天的销售利润y（元）最大？最大利润是多少？

【答案】(1)如果超市想要每天获得的利润为5120元，则售价定为48元

(2)当每箱售价定为55元时，每天的销售利润y最大，最大利润是7500元

【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，二次函数的最值等知识．熟练掌握一元二次

方程的应用，二次函数的应用，二次函数的最值是解题的关键．

（1）设售价定为x元，且45x55，依题意得，x40700x45205120，整理得，

x2120x34560，计算求出满足要求的解即可；

2

（2）依题意得，yx40700x452020x608000，由200，可知当x60时，y随

x的增大而增大，即当x55时，y有最大值，然后计算求解即可．

【详解】（1）解：设售价定为x元，且45x55，

依题意得，x40700x45205120，整理得，x2120x34560，

解得，x48或x72（舍去），

答：如果超市想要每天获得的利润为5120元，则售价定为48元．

22

（2）解：依题意得，yx40700x452020x2400x6400020x608000，

∵200，

∴当x60时，y随x的增大而增大．

∵45x55，

2

∴当x55时，y有最大值，最大值为20556080007500，

∴当每箱售价定为55元时，每天的销售利润y最大，最大利润是7500元．

题型08分式方程的应用

解｜题｜策｜略

1.审题建模找等量关系：仔细阅读题目，抓住关键词（如“同时到达”、“提前”、“比……多用”等），

找出隐含的相等关系，设出未知数列出方程。

2.正确列方程并求解：根据行程问题、工程问题或销售问题中的基本数量关系（如时间=路程÷速度）

列出分式方程，注意单位统一。

3.“双检验”确保合理性：既要检验解是否为原分式方程的解，又要检验解是否符合实际意义（如速度、

时间不能为负）。

例1（2025·广东广州·中考真题）智能机器人广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园

引进一台智能采摘机器人进行某种水果采摘．

(1)若用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低30%．求用智能机器人采

摘的成本是多少元；（用含a的代数式表示）

(2)若要采摘4000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，已

知这台智能采摘机器人采摘的效率是一个工人的5倍，求这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果多少千

克．

【答案】(1)0.7a元

(2)这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果1000千克．

【分析】本题考查的是列代数式，分式方程的应用；

（1）根据人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低30%，再列代数式即可；

（2）设一个工人每天采摘该种水果x千克，则智能采摘机器人采摘的效率是每天5x千克；根据要采摘4000

千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，再建立分式方程求

解即可．

【详解】（1）解：∵用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低30%．

∴用智能机器人采摘的成本是(1-30%)a=0.7a（元）；

（2）解：设一个工人每天采摘该种水果x千克，则智能采摘机器人采摘的效率是每天5x千克；

40004000

∴=-1，

5x4x

解得：x200，

经检验x200是原方程的解且符合题意；

∴5x1000（千克），

答：这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果1000千克．

例2（2024·广东广州·二模）某中学决定购买A，B两种型号的毛绒玩具奖励给表现优异的学生．已知一个

B型毛绒玩具比一个A型毛绒玩具贵30元，且用900元购买A型毛绒玩具的数量和用1800元购买B型毛

绒玩具的数量相等．

(1)求A型、B型毛绒玩具的单价；

(2)学校计划采购A型和B型毛绒玩具共100个，且A型毛绒玩具的数量不超过B型毛绒玩具数量的2倍，

要想花费的资金总额最少，则最多购买A型毛绒玩具多少个？资金总额最少为多少元？

【答案】(1)A型的单价是30元，B型的单价是60元；

(2)最多购买A型66个，资金总额最少为4020元．

【分析】本题考查了分式方程，不等式的解法，一次函数的性质应用，熟练掌握解分式方程，不等式，活

用一次函数的性质是解题的关键．

（1）设A型的单价是x元，则B型的单价是x30元，根据题意，列出方程，即可求解；

（2）设购买A型a个，则B型的100a个．根据题意，列出不等式，可得设花费的资金总额为W元，可

得到W关于a的函数关系式，然后根据一次函数的性质解答即可．

【详解】（1）解：设A型的单价是x元，则B型的单价是x30元，根据题意，得

9001800

，

xx30

解得x30，

经检验，x30是所列分式方程的根，

303060（元），

∴A型的单价是30元，B型的单价是60元．

（2）解：设购买A型a个，则B型的100a个．根据题意，得：

a2100a，

200

解得a，

3

设花费的资金总额为W元，则W30a60100a30a6000，

∵300，

∴W随a的增大而减小，

200

∵a且a为整数，

3

∴当a66时，W取最小值，W最小306660004020，

∴要想花费的资金总额最少，则购买A型66个，资金总额最少为4020元．

【变式1】（2025·广东广州·三模）2025年春晚《秧BOT》的精彩呈现，是一系列关键技术的突破与创新．机

器人采用了先进的AI驱动全身运动控制技术，某科技公司计生产Alpha和Beta两款AI机器人，每款机器人

主要控制芯片和传感器两种核心零件．5月20日，公司采购部门调研市场后得知，花费320元购买的主控芯

片比花200元购买的传感器模块数量少8片，主控芯片的单价是传感器模块的2倍．另一部分人对机器人进

行研究后发现：用6个主控芯片、48个传感器模块恰好能制作1个Alpha机器人和1个Beta机器人，制作1个

Alpha机器人所需主控芯片、传感器模块数量之比是1:7，制作1个Beta机器人需要的主控芯片、传感器模

块数量之比是1:9．

(1)求主控芯片、传感器模块每个单价分别多少元？

(2)求制作一个Alpha机器人和一个Beta机器人分别需要主控芯片、传感器模块多少个？

(3)市场优惠促销，购买3个主控芯片赠送1个传感器模块．该公司发放活动经费25000元，采购部门向市场

采购主控芯片、传感器模块采用来制作Alpha、Beta机器人，由于市场库存数量有限，主控芯片仅剩515个．如

果一个Alpha和一个Beta机器人配成一套，请问最多可以生产多少套机器人？

【答案】(1)主控芯片单价为10元，传感器模块单价为5元；

(2)制作一个Alpha机器人需要主控芯片3个，传感器模块21个，则一个Beta机器人需要主控芯片3个，传

感器模块27个

(3)最多可生产85套机器人

【分析】本题主要考查分式方程和二元一次方程组的应用，读懂题意是解答本题的关键．

（1）设传感器模块单价为m元，则主控芯片单价为2m元，根据花费320元购买的主控芯片比花200元购买

的传感器模块数量少8片列分式方程求解即可；

（2）设制作一个Alpha机器人需要主控芯片a个，传感器模块7a个，则一个Beta机器人需要主控芯片b个，

传感器模块9b个，分别根据用6个主控芯片、48个传感器模块恰好能制作1个Alpha机器人和1个Beta机器

人，制作1个Alpha机器人所需主控芯片、传感器模块数量之比是1:7，制作1个Beta机器人需要的主控芯片、

传感器模块数量之比是1:9列出二元一次方程组求解即可；

（3）采购515个主控芯片，花费5150元，赠送171个传感器模块．需要额外购买3970个传感器模块，主

控芯片可制作85套，传感器可制作86套，最多可生产85套机器人．

【详解】（1）解：设传感器模块单价为m元，则主控芯片单价为2m元，根据题意得：

320200

8

2mm

解得：m5

经检验，m5是原方程的解，且符合题意，

∴主控芯片单价为2510（元）

答：主控芯片单价为10元，传感器模块单价为5元；

（2）解：设制作一个Alpha机器人需要主控芯片a个，传感器模块7a个，则一个Beta机器人需要主控芯片

b个，传感器模块9b个，分别根据题意得，

ab6

7a9b48

a3

解得：，

b3

故制作一个Alpha机器人需要主控芯片3个，传感器模块21个，则一个Beta机器人需要主控芯片3个，传

感器模块27个，

答：制作一个Alpha机器人需要主控芯片3个，传感器模块21个，则一个Beta机器人需要主控芯片3个，

传感器模块27个；

（3）解：采购515个主控芯片，花费5150元，赠送171个传感器模块．需要额外购买3970个传感器模块，

主控芯片可制作85套，传感器可制作86套，最多可生产85套机器人．

答：最多可生产85套机器人．

【变式2】（2025·广东广州·二模）某校九年级物理探究小组在物理实验室发现了一块不知规格的滑动变阻

器，为了以后方便使用，组长决定带领小组成员测量它的最大电阻．他们将两节1.5V的干电池（总电压为

3V），一个开关，一个电流表以及滑动变阻器串联成如下电路（电池和电流表的内阻忽略不计）．若滑动

33

变阻器滑动到距离B端处时的电流表的数值比滑动变阻器滑动到距离B端处时的电流表的数值减小了

45

0.1A．

U

知识小链接：①导体两端的电压U（V），导体的电阻RΩ，通过导体的电流I（A），满足关系式I；

R

②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压．

(1)求滑动变阻器的最大电阻；

(2)由于实验室器材匮乏，学校拟购买电流表和滑动变阻器共50个，已知电流表每个10元，滑动变阻器每

个15元，若滑动变阻器的数量不少于电流表数量的2倍，则学校买这批仪器至少要花多少钱？

【答案】(1)10．

(2)学校买这批仪器至少要花费670元．

【分析】本题主要考查欧姆定律、分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的性质．解题关

键在于理解电路中电阻与电流